Leçons sur la théorie des équations selon Galois: précédés d'une introduction a la théorie des groupes
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|---|---|
| adam_text | TABLE DES MATIÈRES.
PREMIÈRE PARTIE.
Chapitre premier.
La notion de groupe. Pages.
1. Complexes i
2. Considérations générales 5
3. Définition d un groupe 8
4. Conséquences immédiates 9
5. Exemples de groupes 11
6. Table de multiplication 12
7. Puissances d un élément 13
Chapitre II.
Sous groupes. Groupes cycliques.
1. Sous groupes 15
2. Relation entre l ordre d un groupe et l ordre d un sous groupe 18
3. Ordre et période d un élément 21
4. Groupes cycliques 24
5. Caractéristique des sous groupes d un groupe fini 27
Chapitre III.
Les transformés.
1. Éléments permutables 28
2. Eléments conjugués 3o
3. Éléments permutables à un sous groupe 33
4. Sous groupes conjugués 33
5. Diviseurs normaux 35
6. Plus grand commun diviseur 38
Chapitre IV.
Les groupes de substitutions.
1. Décomposition d une substitution en cycles 40
2. Groupes de substitutions 46
Chapitre V.
Isomorphisme. Homomorphisme.
1. Isomorphisme 48
2. Automorphisme 5o
3. Homomorphisme 5i
346 TABLE DES MATIÈRES.
Pages.
4. Groupes facteurs 54
5. Propriétés des groupes homomorphes 57
Chapitre VI.
La transitivité dans les groupes de substitutions.
1. Groupes transitifs. Groupes intransitifs 62
2. Propriétés des groupes intransitifs 64
3. Propriétés des groupes transitifs 66
4. Propriétés des groupes transitifs abéliens 67
5. Groupes primitifs. Groupes imprimitifs 60
0. Propriétés des groupes imprimitifs 70
ClIAriTRE VII.
Les suites de composition.
1. Diviseurs normaux maximum 74
2. Un théorème fondamental 75
3. Suites de composition 77
4. Théorème de Jordan Hôlder 78
5. Groupes métacycliques, 81
SECONDE PARTIE.
Chapitre VIII.
Les corps.
1. Notion de corps 87
2. Adjonction 93
3. isomorphisme. Automorphisme...... 94
Chapitre IX.
Les polynômes.
1. Division des polynômes 96
2. Décomposition d un polynôme en facteurs 101
3. Dérivée d un polynôme 105
Chapitre X.
Les racines d un polynôme.
1. Propriétés des racines d un polynôme 106
2. Racines multiples 109
3. liacines hypercomplcxes 110
4. Corps factorisant 117
Chapitre XI.
Les jonctions symétriques.
La formule d interpolation de Lagrange.
1. 1 onctions symétriques 118
2. Fonctions symétriques des racines 121
3. Formule d interpolation de Lagrange 122
TABLE DES MATIÈRES. 347
Chapitre XII.
Les polynômes à coefficients rationnels.
P.iSi ï.
1. Polynômes primitifs 123
2. Décomposition en facteurs 127
3. Critères d irréductibilité 128
Chapitre XIII.
Les corps algébriques.
1. Adjonction transcendante 13l
2. Adjonction algébrique simple 132
3. Adjonction de plusieurs grandeurs algébriques 133
Chapitre XIV.
Les grandeurs conjuguées.
1. Propriétés fondamentales des grandeurs conjuguées i4o
2. Grandeurs primitives. Grandeurs imprimitives 144
3. Corps primitifs. Corps imprimitifs 148
Chapitre XV.
Corps isomorphes.
1. Isomorphisme de corps conjugués 150
2. Isomorphisme de corps factorisants 151
Chapitre XVI.
Les automorphismes d un corps normal.
Le groupe de Galois.
1. Corps algébriques normaux. Équations normales 154
2. Automorphismes d un corps normal 158
3. Propriétés fondamentales des substitutions automorphiques 164
4. Substitutions automorphiques d un ensemble générateur 164
5. Groupe de Galois d une équation 165
6. Propriétés fondamentales du groupe de Galois 170
7. Automorphismes d un sous corps normal : 173
8. Groupe de Galois d une équation réductible 174
Chapitre XVII.
Le groupe de Galois. Sa construction.
1. Recherche du groupe de Galois d une équation à coefficients numériques
entiers 176
2. Dépendance du groupe de Galois et du corps de base 184
3. Groupe de l équation générale i85
¦4. Groupe de l équation binôme de degré premier 189
J48 TABLE DES MATIÈRES.
Chapitre XVIII.
Le groupe de Galois. Sa réduction.
Pascs.
1. Relation entre les groupes d une même équation considérée par rapport
à des corps différents 193
2. Réduction du groupe d une équation par l adjonction de la racine carrée
du discriminant 195
, i. Résolvante de Galois 197
i. Résolvante et groupe d une équation normale 201
5. Relation entre les grandeurs du corps factorisant et les sous groupes du
groupe de Galois 203
6. Réduction du groupe de Galois par une adjonction 207
7. Calcul d une grandeur appartenant à un sous groupe donné 209
8. Recherche de la résolvante de Galois par rapport au nouveau corps de
base 217
9. Relation entre les sous corps du corps factorisant et les sous groupes du
groupe de Galois 222
10. Réduction du groupe d une équation par l adjonction simultanée de
plusieurs grandeurs 223
11. Relation entre le groupe d une équation et les groupes de ses résolvantes. 225
12. Irrationnelles naturelles et irrationnelles accessoires 227
13. Adjonction de grandeurs normales 231
Chapitre XIX.
La théorie de Galois.
1. Résolution progressive d une équation et construction progressive du corps
factorisant 233
2. Résolution des résolvantes partielles 238
3. Corps normaux successifs 242
4. Application à l équation générale du troisième degré 243
5. Application aux équations imprimitives 2491
Chapitre XX.
Les équations cycliques.
1. Racines primitives de l unité 253
2. Equations cycliques en général. 255
3. Equations cycliques de degré premier 255
4. Résolvantes de Lagrange 258
5. Application à l équation générale du troisième degré 260
6. Equations à groupe cyclique 261
Chapitre XXI.
Représentation des racines de l unité par des radicaux.
1. Les corps considérés comme des groupes 263
2. Corps formé de classes de restes suivant un module premier 264
3. Racine primitive d un nombre premier 268
4. Représentation des racines ntëmei de l unité par des extractions de racines
d ordre inférieur à rc 269
TABLE DES MATIÈRES. 349
Chapitre XXII.
Les équations résolubles par des extractions de racines.
PilïCS.
1. Adjonction de radicaux 273
2. Adjonction de racines primitives de l unité 274
3. Equations métacycliques 277
4. Equation dont une racine est représentable par des radicaux 278
5. Impossibilité de résoudre algébriquement l équation générale de degré
supérieur à quatre 279
Chapitre XXIII.
Les équations abéliennes. Quelques questions spéciales.
1. Equations abéliennes 280
2. Cas irréductible de l équation du troisième degré 282
3. Réduction réciproque 286
4. Aft ect d une équation 287
Chapitre XXIV.
L équation de la division du cercle.
1. Racines de l unité 289
2. Racines primitives de l unité 289
3. Nombre de racines primitives nlème de l unité 291
4. Équations aux racines primitives 294
5. Équation et corps de la division du cercle 297
6. Groupe de l équation de la division du cercle 299
7. Résolution de l équation de la division du cercle 3oi
8. Résolution de l équation X;, = o 3o4
9. Problèmes géométriques résolubles à l aide de la règle et du compas 314
Appendice.
La vie d Évariste Galois 320
La théorie de Galois 324
Index alphabétique 341
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