Algebraische Algorithmen:
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Braunschweig [u.a.]
Vieweg
1999
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Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Die Pseudoprogrammiersprache 1
1.2 Listen 3
2 Euklidische Ringe und Ringe mit eindeutiger Primfaktorzerlegung 5
2.1 Integritätsbereiche 5
2.2 Ringe mit eindeutiger Primfaktorzerlegung 7
2.3 Euklidische Ringe 10
2.4 Lineare Diophantische Gleichungen 13
3 Ring der ganzen Zahlen 16
3.1 Darstellung der Zahlen 16
3.2 Grundoperationen (+, —, *, div) 19
3.3 Berechnung des größten gemeinsamen Teilers 27
4 Restklassenringe, Primzahltests und Faktorisierung in Z 33
4.1 Ideale kommutativer Ringe 33
4.2 Idealarithmetik 36
4.3 Chinesischer Restalgorithmus über euklidischen Ringen 40
4.4 Endliche Körper 43
4.5 Primzahltests 49
4.5.1 Vorbereitungen 50
4.5.2 Probabilistische Primzahltests 56
4.5.3 Deterministische Primzahltests 62
4.6 Primfaktorzerlegung in Z 64
5 Körper der rationalen und reellen Zahlen 76
5.1 Quotientenkörper 76
5.2 Radixdarstellung reeller Zahlen 77
5.3 Kettenbruchentwicklung 80
5.4 Kettenbruchentwicklung reeller algebraischer Zahlen 85
5.5 Faktorisierung mittels Kettenbruchentwicklung 93
5.6 Die Pellsche Gleichung 95
5.7 Die Thuesche Gleichung und Kettenbruchreduktion 103
5.8 Ein Problem von Diophant 106
5.9 Baker Davenport Reduktion 111
5.10 Gitter 115
5.10.1 Gitterbasen 116
5.10.2 Kurze Vektoren in Gittern 120
5.10.3 Die LLL Basisreduktion 127
ix
5.10.4 Anwendungen in diophantischen Approximationen 131
6 Polynomringe 134
6.1 Definition und Darstellungen 134
6.2 Analyse der Grundoperationen 138
6.3 Division von Polynomen 140
6.4 Polynomfunktionen 144
6.5 Nullstellen von Polynomen 148
6.6 Verschiedene Maßbegriffe 150
6.7 Größter gemeinsamer Teiler von Polynomen 157
6.8 Die Subresultante 161
6.9 Modulare Berechnung des größten gemeinsamen Teilers 167
6.10 Resultante 171
6.11 Polynomiale Gleichungsysteme 1 174
6.12 Algebraische Zahlen 176
7 Polynomfaktorisierung 179
7.1 Quadratfreie Faktorisierung von Polynomen 179
7.2 Polynomzerlegung über endlichen Körpern 182
7.3 Faktorisierung in Z[x] 186
7.3.1 Berlekamp Faktorisierung 187
7.3.2 LLL Faktorisierung 190
8 Polynomideale 195
8.1 Noethersche Ringe 195
8.2 Polynomreduktion 197
8.3 Gröbner Basen 204
8.4 Anwendungen der Gröbner Basen 213
8.4.1 Elimininationsideale 213
8.4.2 Radikale der Ideale 215
8.4.3 Polynomiale Gleichungssysteme 2 217
Sachwortverzeichnis 223
Literaturverzeichnis 227
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