Tonhöhe: physikalisch - musikalisch - psychologisch - mathematisch
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Frankfurt am Main [u.a.]
Lang
1999
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| adam_text | Titel: Tonhöhe
Autor: Ebeling, Martin
Jahr: 1999
Inhaltsverzeichnis:
0. Einleitung 9
1. Das Verhâltnis von Mathematik und Musik 15
1.1. Rechnerische Mittel zur konkreten Berechnung von Saitenlân-
gen und Frequenzen 16
1.1.1. Bruchrechnung bei den Griechen 17
1.1.2. Die Erfindung des Logarithmus 18
1.2. Moderne Algebra zur Beschreibung von Strukturen der Musik
und des Musikdenkens 22
1.3. Infinitesimalrechnung zur Beschreibung geringfligiger Abwei-
chungen von normativen Tonhôhen 29
2. Aspekte der Tonhôhenwahrnehmung 37
2.1. LogarithmischesTonhôhenempfinden 37
2.2. Skalen der Tonhôhe 45
2.3. Tonhôhenwahrnehmung komplexer Klânge 49
2.3.1. Die Virtuelle Tonhôhe 55
2.4. Zurechthôren, Stimmungssysteme und das Sonanz- Distanzprin-
zip 57
2.5. Oktavidentivikation, Zyklizitât und Zweikomponententheorie 67
2.6. Helligkeit und Tonigkeit als die beiden Dimensionen des Tones 73
2.7. Tonalitât, Kadenz und Modulation 80
2.7.1. Zur Kadenz 85
2.7.2. Zur Modulation 87
2.7.3. Grundtonfestlegungen 88
2.8. Graphische Darstellungen der Tonhôhe und Tonverwandtschaf-
ten 89
3. Mathematisch-musikalischer Teil 103
3.1. Zahlenebene fflr Tône 103
3.2. Der komplexe Logarithmus zur Beschreibung des Tonhôhen-
empfindens 106
3.2.1. Der komplexe Logarithmus 106
3.2.2. Musikalische Interprétation des komplexen Logarithmus 108
3.2.3. Riemannsche Flâchen fur den komplexen Logarithmus und die
komplexe Exponentïalfunktion 111
3.2.4. Musikalische Interprétation der Riemannschen Flâchen fur die
komplexe Exponentîal nktion 1Î3
3.3. Geraden in der Zahlenebene zur Beschreibung der Beziehung
zwischen Tonigkeit und Frequenz 114
3.4. Logarithmische Spiralen 116
3.4.1. Logarithmische Spiralen mit Oktavidentifikation 117
3.4.2. Logarithmische Spiralen fur Tonsysteme reiner Quinten und
Terzen 118
3.5. Kommarechnung bei Logarithmischen Spiralen 121
3.5.1. Phythagoreisch.es Komma 121
3.5.2. Diesis 122
3.5.3. Syntonisches Komma 123
3.6. Wege und Spiralen zur Beschreibung der Zyklizitât bei nichtli-
nearen Beziehungen zwischen Frequenzverhâltnissen und To-
nigkeiten 126
3.7. Gleichteilungssysteme und Tonigkeiten im Restklassenring Zn 128
3.8. Vektorfelder zur Darstellung der zyklischen Tonhôhenwahr-
nehmung 132
3.8.1. Das Vektorfeld der Hôrspirale 132
3.8.2. Vektorfelder fur nichtlineare AbhSngigkeiten zwischen Fre-
quenzverfialnissen und Tonigkeiten 135
3.9. Eigenschaften der logarithmisehen Spirale mit Oktavidenti-
fîkation 137
4. Anwendungen 145
4.1. Darstellung komplexer Klânge 145
4.2. Akkorddarstellungen 147
4.3. Zyklische Akkorddarstellungen mit Obertonstrukturen 151
4.4. Tonfortschreitungen 152
4.5. Akkordfortschreitungen 154
4.5.1. Parallèle Stlmmfiihrung 154
4.5.2. Fortschreitungsfbnktion fur Akkorde 154
4.5.3. Akkordfortscîireitungsfolge 157
4.5.4. Zyklisches Modell fur Akkordfortschreitungsfolgen auf der Lo-
garithmischen Spirale 158
4.6. Modulation und Transposition 161
4.7. Intonationskorrekturen und Intonationsbeurteilungen 165
4.8. Zurechthôrbereiche auf der Logarithmischen Spirale 169
5. Anhang 173
6. Literaturverzeichnis 177
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