Elementare Differentialgeometrie mit Maple:
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Inhaltsverzeichnis
1 Der Raum der elementaren Differentialgeometrie 1
1.1 Der n dimensionale affine Raum 1
1.2 Affine Abbildungen 2
1.3 Affine Unterräume 3
1.4 Orientierte euklidische Vektorräume 4
1.5 Der n dimensionale euklidische Raum 7
1.6 Kartesische Koordinatensysteme 8
1.7 Differentialrechnung in euklidischen Räumen 9
2 Maple Arbeitsmethoden im IRn 12
2.1 Der IRn: Punkte, Vektoren und Matrizen 12
2.2 Der IRn als orientierter euklidischer Vektorraum 15
2.3 Arbeiten mit Abbildungen 19
2.4 Differentialrechnung im IRn 22
3 Ebene Kurventheorie 25
3.1 Länge von Wegen 25
3.2 Parametrisierung nach der Bogenlänge 27
3.3 Differentiation und Integration nach der Bogenlänge 28
3.4 Geometrische Grundgrößen der Kurventheorie 29
3.5 Orientierte Winkel in der Ebene 30
3.6 Die ebene Frenetsche Kurventheorie 32
3.7 Der Hauptsatz der ebenen Kurventheorie 33
3.8 Krümmungskreise 34
3.9 Enveloppen, Parallelkurven, Evoluten und Involuten 35
3.10 Der Jordansche Kurvensatz 38
3.11 Die isoperimetrische Ungleichung 41
3.12 Die Totalkrümmung einer Kurve 41
3.13 Eilinien 43
4 Ebene Kurventheorie mit Maple 47
4.1 Wie wir Kurven mit Maple behandeln 47
4.2 Erstellung von Kurvenplots 48
4.3 Bahngeschwindigkeit und Kurvenlänge 49
viii Inhaltsverzeichnis
4.4 Geometrische Grundgrößen der Kurventheorie 51
4.5 Orientierte Winkel in der Ebene 53
4.6 Ebene Frenetsche Kurventheorie 55
4.7 Der Hauptsatz der ebenen Kurventheorie 56
4.8 Krümmungskreise 57
4.9 Enveloppen, Parallelkurven, Evoluten und Involuten 58
4.10 Eilinien 60
5 Räumliche Kurventheorie 61
5.1 Generalvoraussetzungen und Bezeichnungen 61
5.2 Die Frenetschen Gleichungen 62
5.3 Auswertung der Taylorentwicklung 3. Ordnung einer Kurve 63
5.4 Infinitesimale Charakterisierung ebener Kurven 64
5.5 Sphärische Kurven 64
5.6 Kinematik eines starren Körpers 66
5.7 Hauptsatz der räumlichen Kurventheorie 68
5.8 Satz von Fenchel und von Fary/Milnor 69
6 Räumliche Kurventheorie mit Maple 71
6.1 Dreidimensionale Frenetsche Kurventheorie 71
6.2 Die ausgezeichneten Ebenen einer Kurve 73
7 Einführung in die Flächentheorie 75
7.1 Der Begriff der Fläche 75
7.2 Graphenflächen 77
7.3 Rotationsflächen 77
7.4 Regelflächen 78
7.5 Tangential und Normalenräume einer Fläche 82
7.6 Zwei Theoreme für Flächenparameterisierungen 83
7.7 Der Maßtensor einer Parametrisierung 84
7.8 Orthogonale Parametrisierungen 89
7.9 Isotherme Parametrisierungen 92
7.10 Höherdimensionale Flächen, Integration und Volumina 94
8 Modellierung von Flächen und Riemannschen Gebieten mit Maple 97
8.1 Wie wir Flächen behandeln 97
8.2 Erstellung von Flächenplots 98
8.3 Graphen , Rotations und Regelflächen 98
8.4 Riemannsche Gebiete 99
8.5 Der Maßtensor einer Parametrisierung 102
8.6 Mit dem SchifF von der alten in die neue Welt 104
ix
9 Äußere Geometrie von Flächen 107
9.1 Das Einheitsnormalenfeld einer Flächenparametrisierung 107
9.2 Formoperator und zweite Fundamentalform einer Parametrisierung .... 108
9.3 Normalkrümmung und geodätische Krümmung einer Flächenkurve .... 111
9.4 Die skalaren Krümmungsgrößen 115
9.5 Zur Berechnung der skalaren Krümmungsgrößen 120
9.6 Die Gaußsche Krümmung als Maß der Flächenverzerrung der Gaußabbil
dung 123
9.7 Spezielle lokale Parametrisierungen 124
9.8 Tubenabbildung und Fokalpunkte 127
9.9 Fokalflächen von Kurven und Röhren um Kurven 130
9.10 Minimalflächen 132
10 Äußere Geometrie von Flächen mit Maple 136
10.1 Das Einheitsnormalenfeld einer Flächenparametrisierung 136
10.2 Formoperator und zweite Fundamentalform einer Parametrisierung .... 136
10.3 Normalkrümmung und geodätische Krümmung einer Flächenkurve .... 138
10.4 Die skalaren Krümmungsgrößen 138
10.5 Tubenabbildung und Fokalpunkte einer Flächenparametrisierung 141
10.6 Fokalflächen von Kurven und Röhren um Kurven 142
10.7 Minimalflächen 143
11 Innere Geometrie von Flächen 144
11.1 Christoffelsymbole Riemannscher Gebiete 144
11.2 Die Levi Civita Ableitung eines Riemannschen Gebietes 147
11.3 Die Gaußsche Ableitungsgleichung 150
11.4 Geodätische Linien 151
11.5 Das Theorema egregium von Gauß 156
11.6 Der Fundamentalsatz der Flächentheorie 162
12 Innere Geometrie von Flächen mit Maple 163
12.1 Christoffelsymbole Riemannscher Gebiete 163
12.2 Die Levi Civita Ableitung eines Riemannschen Gebietes 164
12.3 Geodätische Linien 165
12.4 Gaußsche Krümmung Riemannscher Gebiete 172
A Eine kurze Einführung in Maple 174
A.l Die Online Hilfe von Maple 174
A.2 Wichtige Maple Befehle 175
A.3 Datentypen in Maple 178
A.4 Programmieren mit Maple 179
A.5 Erstellen eigener Programmpakete 182
x Inhaltsverzeichnis
B Benutzung der Programm CD 186
C Übersicht über die Prozeduren des Programmpaketes 187
C.l Zu den Arbeitsmethoden im IRn 187
C.2 Zur Kurventheorie 187
C.3 Zur Flächentheorie 188
Literaturverzeichnis 190
Index 191
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