Manifest relativistisch kovariante Hamilton-Jacobi-Gleichungen für zweidimensionale Feldtheorien: Wellenfronten und Extremalen
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1. Verfasser: | |
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1997
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INHALTSVERZEICHNIS
EINLEITUNG
5
MOTIVATION
.
5
ZUR
ROLLE
DER
ZEIT
IN
RELATIVISTISCHEN
FELDTHEORIEN
.
5
NACHTEILE
KONVENTIONELLER
HAMILTONSCHER
FORMULIERUNGEN
.
6
KOVARIANTE
HAMILTONSCHE
FORMULIERUNGEN:
VORZUEGE
UND
SCHWIERIGKEITEN
7
SCHWERPUNKTE
DER
GEGENWAERTIGEN
FORSCHUNG
.
9
DAS
THEMA
.
9
GEGENSTAND
DER
ARBEIT
.
9
EINORDNUNG
DES
THEMAS
.
9
ZIELSTELLUNG
DIESER
ARBEIT
.
10
GLIEDERUNG
.
11
BEZEICHNUNGEN
.
14
1
LEPAGESCHE
HAMILTONSCHE
FORMULIERUNGEN
17
1.1
DER
DIFFERENTIALKALKUEL
DER
MECHANIK
.
20
1.1.1
DIE
POINCARE-CARTAN-FORM
0
.
20
1.1.2
DIE
GESCHLOSSENHEIT
DER
POINCARE-CARTAN-FORM
.
21
1.1.3
DIE
HAMILTON-JACOBI-THEORIE
UND
IHRE
WELLENFRONTEN
.
22
1.1.4
DUALITAETS
UND
TYANSVERSALITAETSRELATIONEN,
ERHALTENE
STROEME
.
.
22
1.2
DIE
GEOMETRIE
DER
FELDTHEORIEN
.
24
1.2.1
DIE
POINCARE-CARTAN-FORM
.
24
1.2.2
EINE
HAMILTON-JACOBI-THEORIE
FUER
FELDER
.
27
1.2.3
DIE
TRANSVERSALITAETSBEDINGUNG
FUER
FELDER
.
28
1.2.4
DIE
DUALITAETSRELATION
IN
FELDTHEORIEN
.
28
1.2.5
ERHALTENE
STROEME
IN
FELDTHEORIEN
.
30
2
EINKOMPONENTIGE
FELDTHEORIEN
33
2.1
BEISPIELE
FUER
EINDIMENSIONALE
FELDTHEORIEN
.
35
2.1.1
THEORIEN
FUER
NICHTWECHSELWIRKENDE
FELDER
.
35
2.1.2
DIE
LIOUVILLE-THEORIE
.
36
2.1.3
DIE
SINUS-GORDON
UND
DIE
SINH-GORDON-THEORIE
.
36
2.1.4
DIE
^-THEORIE
.
38
2.2
DER
KANONISCHE
FORMALISMUS
FUER
EIN
FELD
.
38
2.3
EINE
HAMILTON-JACOBI-THEORIE
FUER
EIN
FELD
.
39
2.3.1
DAS
ZU
LOESENDE
GLEICHUNGSSYSTEM
.
40
2.3.2
DIE
BESTIMMUNG
DER
KOEFFIZIENTEN
DER
ZWEITEN
ORDNUNG
.
42
2.3.3
DIE
BESTIMMUNG
DER
KOEFFIZIENTEN
DER
HOEHEREN
ORDNUNGEN
.
.
43
2.4
BAECKLUND-TRANSFORMATIONEN
.
45
2.4.1
DAS
GLEICHUNGSSYSTEM
FUER
BAECKLUND-TRANSFORMATIONEN
.
45
2.4.2
DIE
BESTIMMUNG
DER
BAECKLUND-TRANSFORMATION
.
46
2.5
ANWENDUNGEN
.
47
2.5.1
DIE
HOMOGENE
GLEICHUNG
.
47
2
2.5.2
DIE
STABILITAET
VON
SOLITONEN,
QUANTENFLUKTUATIONEN
.
50
2.5.3
DIE
INHOMOGENE
GLEICHUNG
.
51
2.6 DIE
EXTREMALEN
.
54
2.6.1
DIE
EINGEBETTETE
EXTREMALENSCHAR
.
54
2.6.2
DIE
ENTWICKLUNG
DER
BEWEGUNGSGLEICHUNGEN
.
55
2.6.3
BEISPIELE
.
56
2.7 DIE
WELLENFRONTEN
.
62
2.7.1
CARATHEODORYS
HAMILTON-JACOBI-FUNKTIONEN
.
62
2.7.2
EINE
EXPLIZITE
DARSTELLUNG
DER
WELLENFRONTEN
.
65
2.8
BEISPIELE
FUER
CHJ-FUNKTIONEN
.
66
2.8.1
CARATHEODORYSCHE
HAMILTON-JACOBI-FUNKTIONEN
DER
SINUS-GOR
DON-THEORIE
.
67
2.8.2
CARATHEODORYSCHE
HAMILTON-JACOBI-FUNKTIONEN
DER
LIOUVILLE
THEORIE
.
-
.
68
2.9
EINE
DARSTELLUNG
DER
WELLENFRONTEN,
BEISPIELE
.
70
2.9.1
DIE
WELLENFRONTEN
DER
SG-THEORIE;
SINGULAERER
FALL
.
70
2.9.2
DIE
ANALYTISCHE
BERECHNUNG
DER
WELLENFRONTEN
IM
SG-MODELL
.
72
2.9.3
DIE
EXPLIZITE
DARSTELLUNG
DER
WELLENFRONTEN
IN
DER
SG-THEORIE
IM
REGULAEREN
FALL
.
73
2.9.4
DIE
EXPLIZITE
DARSTELLUNG
DER
WELLENFRONTEN
IN
DER
SG-THEORIE
IM
REGULAEREN
FALL
UNTER
BENUTZUNG
DER
REIHENENTWICKLUNG
.
.
75
2.9.5
DIE
WELLENFRONTEN
IN
DER
LIOUVILLE-THEORIE
.
77
2.10
DIE
ZWEITE
METHODE
ZUR
WELLENFRONTENBESTIMMUNG
.
78
2.10.1
DER
ALTERNATIVE
ZUGANG
AM
BEISPIEL
DER
SG-THEORIE
.
79
2.10.2
DER
ALTERNATIVE
ZUGANG
AM
BEISPIEL
DER
LIOUVILLE-THEORIE
.
79
2.11
ERHALTENE
STROEME
.
80
2.12
2.
KAPITEL:
RESULTATE,
OFFENE
PROBLEME
UND
AUSBLICK
.
83
2.12.1
2.
KAPITEL:
RESULTATE
.
83
2.12.2
2.
KAPITEL:
AUSBLICK
.
84
3
DER
FORMALISMUS
VON
DEDONDER
WEYL
87
3.1
LAGRANGEDICHTEN
MIT
REDUZIERBARER
METRIK
.
89
3.1.1
DIE
HAMILTON-JACOBI-GLEICHUNG
UND
DIE
INTEGRABILITAETSBEDIN
GUNGEN
.
91
3.1.2
DIE
ENTWICKLUNGSKOEFFIZIENTEN
DER
ZWEITEN
ORDNUNG
.
93
3.1.3
BEISPIEL:
DIE
ANWENDUNG
AUF
DIE
STRINGTHEORIE
.
96
3.1.4
DIE
VERALLGEMEINERUNG
FUER
DIE
KOEFFIZIENTEN
HOEHERER
ORDNUNG
.
98
3.2
LAGRANGEDICHTEN
MIT
NICHTREDUZIERBARER
METRIK
.
100
3.2.1
DIE
KANONISCHE
FORMULIERUNG
FUER
DAS
O(3)- Z-MODELL
.
101
3.2.2
DIE
POINCARE-CARTAN-FORM
FUER
DAS
O(3)- R-MODELL
.
102
3.2.3
DIE
POINCARE-CARTAN-FORM
FUER
DIE
THEORIE
VON
DEDONDER
&
WEYL
.
103
3.2.4
DIE
POINCARE-CARTAN-FORM
DER
THEORIE
VON
CARATHEODORY
.
.
103
3.2.5
DIE
GESCHLOSSENHEIT
DER
ALLGEMEINEN
HAMILTON-CARTAN-FORM
.
104
3.2.6
CARATHEODORYS
HAMILTON-JACOBI-FUNKTIONEN
FUER
DIE
EINGEBET
TETEN
INSTANTONLOESUNGEN
.
104
3.3
3.
KAPITEL:
ERGEBNISSE,
OFFENE
FRAGEN,
AUSBLICK
.
105
3.3.1
3.
KAPITEL:
ERGEBNISSE
.
106
3.3.2
3.
KAPITEL:
OFFENE
FRAGEN
UND
AUSBLICK
.
106
3
4
DIE
STRINGTHEORIE
109
4.1
DIE
KLASSISCHE
STRINGTHEORIE
.
111
4.1.1
DIE
NAMBU-GOTO-WIRKUNG
.
111
4.1.2
DIE
POLYAKOV-WIRKUNG
.
113
4.2
CARATHEODORYS
FORMULIERUNG
.
115
4.2.1
DER
HAMILTONSCHE
FORMALISMUS
FUER
STRINGS
.
115
4.2.2
DIE
HAMILTON-JACOBI-THEORIE
VON
CARATMODORY
FUER
STRINGS
.
116
4.3
EINE
REKURSIVE
LOESUNGSMETHODE
.
117
4.3.1
DIE
KOEFFIZIENTEN
A
Z,!
(Z,Z)
UND
B
Z,1
(Z,
Z)
.
118
4.3.2
DIE
KOEFFIZIENTEN
DER
2.
ORDNUNG
C
'
(Z,Z),
C*(Z,Z)
.
119
4.3.3
DAS
BERECHNEN
DER
KOEFFIZIENTEN
UE(Z,
2)
UND
U(Z,
Z)
.
126
4.3.4
DIE
HAMILTON-JACOBI-FUNKTIONEN
S
Z,I
(Z,
Z,X)
.
130
4.3.5
BEISPIELE
.
133
4.4
DIE
HOELDER-TRANSFORMATION
.
134
4.4.1
DIE
DEFINIERENDEN
RELATIONEN,
EINIGE
NUETZLICHE
GLEICHUNGEN
.
.
134
4.4.2
DIE
IMPULSE
UND
GESCHWINDIGKEITSFELDER
.
136
4.4.3
DAS
GLEICHUNGSSYSTEM
FUER
DIE
FUNKTION
S(A,Z,X)
.
136
4.4.4
DER
SPEZIALFALL
S
'
(Z,X)
=
E(Z,
F'
V
[X
'
'
-
/"])
.
138
4.5
WELLENFRONTEN,
EXTREMALEN,
STROEME
.
140
4.5.1
DIE
WELLENFRONTEN
.
140
4.5.2
DIE
EXTREMALEN
.
142
4.5.3
ERHALTENE
STROEME
.
147
4.6
ZUSAMMENFASSUNG
UND
AUSBLICK,
4.
KAPITEL
.
149
4.6.1
ERGEBNISSE
DES
VIERTEN
KAPITELS
.
149
4.6.2
4.
KAPITEL:
OFFENE
FRAGEN
UND
AUSBLICK
.
150
5
ANALYTISCHE
LOESUNGSMETHODEN
153
5.1
ALLGEMEINE
STRUKTUREN
DER
CH
J-THEORIE
.
155
5.1.1
CARATHEODORYS
HAMILTON-JACOBI-THEORIE
FUER
ZWEI
FELDER
.
.
.
156
5.1.2
CARATHEODORYS
HAMILTON-JACOBI-THEORIE
FUER
MEHRERE
FELDER
.
158
5.2
DIE
WELLENFRONTENDARSTELLUNG
.
161
5.2.1
DIE
TRANSFORMATION:
(Z,
Z,
-
YY
(A
=
S
Z
,
AE
=
S
L
,
P)
.
162
5.2.2
DIE
CARATHEODORYSCHE
HAMILTON-JACOBI-GLEICHUNG
.
163
5.2.3
DIE
GESCHWINDIGKEITSFELDER
.
163
5.2.4
DIE
INTEGRABILITAETSBEDINGUNGEN
.
163
5.2.5
DIE
EXTREMALENSCHAREN
IN
DER
(ER,
AE)-DARSTELLUNG
.
165
5.3
DIE
STRINGTHEORIE
IN
DER
WELLENFRONTENDARSTELLUNG
.
168
5.3.1
DER
CARATHEODORYSCHE
HAMILTONFORMALISMUS
IN
DER
WELLEN
FRONTENDARSTELLUNG
.
168
5.3.2
DIE
GESCHWINDIGKEITSFELDER
UND
DIE
INTEGRABILITAETSBEDINGUNGEN
169
5.4
DAS
O(3)- 7-MODELL
IN
DER
WELLENFRONTENDARSTELLUNG
.
170
5.4.1
DIE
KANONISCHEN
VARIABLEN
.
171
5.4.2
DIE
CARATHEODORYSCHE
HAMILTON-JACOBI-GLEICHUNG
.
171
5.4.3
DIE
GEFALLFUNKTIONEN
UND
DIE
INTEGRABILITAETSBEDINGUNGEN
.
.
.
172
5.5
LOESUNGEN
FUER
DIE
STRINGTHEORIE
.
174
5.5.1
DIE
ALLGEMEINE
LOESUNG
DER
CHJG
FUER
DIE
EINKOMPONENTIGE
STRINGTHEORIE
FUER
FUNKTIONEN
DER
GESTALT
S
Z
=
S
L
(Z,
P),
S*
=
S*(Z,Z, )
.
175
5.5.2
DIE
WELLENFRONTEN
UND
EINGEBETTETEN
EXTREMALENSCHAREN
IN
DER
EINKOMPONENTIGEN
STRINGTHEORIE
.
177
4
5.5.3
DIE
ALLGEMEINE
LOESUNG
DER
CHJG
IN
DER
ZWEIKOMPONENTIGEN
STRINGTHEORIE
FUER
FUNKTIONEN
DER
GESTALT
S
'
=
S
'
(Z, P),
S
'
=
S*(Z,Z,(P)
.
179
5.5.4
DIE
VERALLGEMEINERUNG
DER
RESULTATE
.
190
5.6
DIE
SCHWACHE
EINBETTUNG
VON
EXTREMALEN
.
192
5.6.1
EIN
ANSATZ
FUER
DIE
FUNKTION
Z(A,
AE,
.
193
5.6.2
BEISPIELE:
.
194
5.6.3
CARATHEODORYSCHE
WELLENFRONTEN
IN
DER
STRINGTHEORIE
.
195
5.7
ZUSAMMENFASSUNG
UND
AUSBLICK,
5.
KAPITEL
.
200
ZUSAMMENFASSUNG
UND
AUSBLICK
203
ERGEBNISSE
.
203
OFFENE
PROBLEME
UND
AUSBLICK
.
207
ANMERKUNGEN
211
A
DIFFERENTIALSYSTEME
(GRUNDLAGEN)
213
B
EINKOMPONENTIGE
FELDTHEORIEN,
THEOREME
215
B.L
DER
QUADRATISCHE
ANSATZ
IN
DEN
FELDERN
.
215
B.1.1
DIE
LOESUNG
DES
GLEICHUNGSSYSTEMS
MIT
F(Z,
Z,
Y)
=
0
.
217
B.1.2
FREIE
FELDTHEORIEN
.
218
B.2
BAECKLUND-TRANSFORMATIONEN
.
218
C
DIE
THEORIE
VON
DEDONDER
&
WEYL
223
C.L
DIE
KOEFFIZIENTEN
DER
2.
ORDNUNG
.
223
C.2
DIE
EINBETTUNG
VON
INSTANTONEN
.
225
DANKSAGUNG
234
ABBILDUNGEN
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