Numerische Methoden in der Technik: ein Lehrbuch mit MATLAB-Routinen
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Braunschweig [u.a.]
Vieweg
1998
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Inhaltsverzeichnis
1 Einführung 1
2 Iterationsverfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen 7
^ 2.1 Fixpunktsatz 7
a 2.2 Fehlerschranken 12
^ 2.3 Newtonverfahren 13
2.4 Regula falsi 15
2.5 Konvergenzordnung 16
2.6 Übertragung auf mehrdimensionale Probleme 18
2.7 Realisierung mit MATLAB 22
3 Lineare Gleichungssysteme 25
3.1 Gauß Algorithmus 25
f 3.2 Pivotelementsuche 29
Ür)3.3 Nachiteration 31
3.4 Iterative Lösung von linearen Gleichungssystemen 32
3.5 Überbestimmtes lineares Gleichungssystem 34
3.6 Nichtlineare Ausgleichsprobleme 38
4 Lineare Optimierung 43
4.1 Austauschverfahren 43
4.2 Graphische Lösung des linearen Optimierungsproblems 47
4.3 Simplex Verfahren 53
5 Interpolation und Approximation 59
^ 5.1 Polynominterpolation 60
. 5.2 Ausgleichspolynome 64
5.3 Kubische Splines 67
5.4 Bezier Splines 71
5.5 Approximation durch trigonometrische Polynome 74
5.6 Fast Fourier Transformation 79
6 Numerische Integration 85
X 6.1 Trapezformel 85
X6.2 Simpsonformel 86
6.3 Rombergverfahren 88
7 Differentialgleichungen 92
7.1 Eulerverfahren 92
7.2 Weitere Einschrittverfahren 94
7.2.1 Theoretischer Hintergrund Grundprinzip 94
x 7.2.2 Heun Verfahren 96
7.2.3 Runge Kutta Verfahren 98
7.2.4 Schrittweitensteuerung und Genauigkeit 99
yjjj Inhaltsverzeichnis
7.3 MATLAB Routinen 101
7.3.1 Symbolische Lösung 101
7.3.2 Numerische Lösung 102
7.3.3 Drei Körper Problem 106
7.4 Wasserrakete Beispiel für ein Differentialgleichungssystem 108
7.4.1 Physikalische Grundlagen 109
7.4.2 Herleitung der Differentialgleichungen 109
7.4.3 Realisierung mit MATLAB HO
7.5 Implizite Verfahren 117
7.5.1 Implizites Eulerverfahren 117
7.5.2 Trapezmethode 119
7.5.3 Allgemeine Vorgehensweise 119
7.6 Stabilität 120
7.6.1 Absolute Stabilität 120
7.6.2 Inhärente Instabilität 124
7.6.3 Steife Differentialgleichungssysteme 125
7.7 Mehrschrittverfahren 128
7.8 Randwertaufgaben 130
7.8.1 Schießverfahren 130
7.8.2 Differenzenverfahren 132
7.8.3 Beispiel für eine nichtlineare Randwertaufgabe 135
7.9 Partielle Differentialgleichungen 138
7.9.1 Poisson Gleichung 138
7.9.2 Wärmeleitungsgleichung 143
7.9.3 Finite Elemente 148
8 Aufgaben 156
8.1 Aufgaben zu Gleitpunktarithmetik 156
8.2 Aufgaben zu Iterationsverfahren 156
8.3 Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen 158
8.4 Aufgaben zur linearen Optimierung 160
8.5 Aufgaben zu Interpolation und Approximation 161
8.6 Aufgaben zu Integration und Differentialgleichungen 162
8.7 Aufgaben zu MATLAB 164
9 Lösungen 168
9.1 Aufgaben zu Gleitpunktarithmetik 168
9.2 Aufgaben zu Iterationsverfahren 169
9.3 Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen 179
9.4 Aufgaben zur linearen Optimierung 184
9.5 Aufgaben zu Interpolation und Approximation 190
9.6 Aufgaben zu Integration und Differentialgleichungen 197
9.7 Aufgaben zu MATLAB 208
A Einführung in MATLAB 225
A.l Allgemeines 225
A.2 Fundamentals 225
A.2.1 Eingabe von Matrizen 225
A.2.2 Matrixelemente 225
IX
A.2.3 Variable 226
A.2.4 Information über Variable 226
A.2.5 Zahlen und Arithmetik 226
A.2.6 Komplexe Zahlen 227
A.2.7 Ausgabeformat 227
A.2.8 Help Funktion 227
A.2.9 Sichern 227
A.3 Matrizen, Vektoren 228
A.3.1 Rechenoperationen 228
A.3.2 Matrizenfunktionen 228
A.3.3 Elementeweise Rechenoperationen 228
A.3.4 Vektor und Matrixmanipulationen 229
A.4 Analysis 229
A.4.1 Differentiation 229
A.4.2 Integration 230
A.4.3 Polynome 230
A.4.4 Interpolation 230
A.4.5 Nichtlineare Gleichungen und Optimierung 231
A.4.6 Differentialgleichungen 232
A.5 Graphik 232
A.5.1 Zweidimensionale Graphik 232
A.5.2 Dreidimensionale Graphik 233
A.5.3 Graphikbildschirm 234
A.6 Programmsteuerung 234
A.6.1 for Schleifen 234
A.6.2 while Schleifen 235
A.6.3 if/else Ausdrücke 235
A.6.4 Vergleichsoperatoren, logische Operatoren 235
A.6.5 Eingabe 235
A.7 m Files 236
A.7.1 Programm Files 236
A.7.2 function Files 236
B Verzeichnis der m Files 237
C Orthogonalitätsbeziehungen 239
D FFT Algorithmus für N = V Punkte 242
E Drei Körper Problem 245
Literaturverzeichnis 247
Sachwortverzeichnis 249
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