Partielle Differentialgleichungen: elliptische (und parabolische) Gleichungen
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Berlin [u.a.]
Springer
1998
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Einleitung: Was sind partielle Differentialgleichungen?........ 1
1. Die Laplacegleichung als Prototyp einer elliptischen parti¬
ellen Differentialgleichung zweiter Ordnung............... 9
1.1 Harmonische Funktionen. Greensche Funktionen.
Das Dirichletproblem für die Kugel....................... 9
1.2 Mittelwerteigenschaften harmonischer Funktionen. Subhar¬
monische Funktionen. Das Maximumprinzip ............... 17
2. Das Maximumprinzip..................................... 33
2.1 Das Maximumprinzip von E. Hopf........................ 33
2.2 Das Maximumprinzip von Alexandrov und Bakelman....... 39
2.3 Maximumprinzipien für nichtlineare Differentialgleichungen . . 44
3. Existenzverfahren
zip beruhen............................................... 53
3.1 Differenzenverfahren: Diskretisierung von
Differentialgleichungen.................................. 53
3.2 Die Perronsche Methode ................................ 62
3.3 Das alternierende Verfahren von H. A. Schwarz............. 66
3.4 Randregularität........................................ 71
4. Existenzverfahren
leitungsgleichung ......................................... 79
4.1 Die Wärmeleitungsgleichung: Definition und Maximumprin¬
zipien ................................................. 79
4.2 Die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung. Bezie¬
hung zwischen Wärmeleitungsgleichung und Laplacegleichung 83
4.3 Das Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleich¬
ung ................................................... 91
4.4 Diskrete Verfahren......................................105
X
5. Exkurs: Die Wellengleichung und ihre Beziehungen zur
Laplace-
5.1 Die eindimensionale Wellengleichung......................109
5.2 Die Mittelwertmethode: Lösung der Wellengleichung mittels
der Darbouxschen Gleichung.............................
5.3 Die Energieungleichung und der Zusammenhang mit der Wär¬
meleitungsgleichung ....................................115
6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche
Bewegung................................................121
6.1 Halbgruppen...........................................121
6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen..................123
6.3 Brownsche Bewegung...................................139
7. Das Dirichletsche Prinzip. Variationsmethoden zur Lösung
partieller Differentialgleichungen
(Existenzverfahren
7.1 Das Dirichletsche Prinzip................................151
7.2 Der Sobolevraum W1 2..................................154
7.3 Schwache Lösungen der Poissongleichung..................161
7.4 Quadratische Variationsprobleme.........................164
7.5 Abstrakte Hilbertraumformulierung des Variationsproblems.
Ausblick auf die Methode der finiten Elemente.............166
8. Sobolevräume und die L2-Regularitätstheorie.............177
8.1 Allgemeine Sobolevräume. Einbettungssätze von
Sobolev, Morrey und John-Nirenberg.....................177
8.2 Die L2-Regularitätstheorie: Innere Regularität
schwacher Lösungen der Poissongleichung..................192
8.3 Regularität am Rande und Regularitätsaussagen für Lösun¬
gen allgemeiner linearer elliptischer Differentialgleichungen... 199
9. Starke Lösungen..........................................209
9.1 Die Regularitätstheorie der starken Lösungen..............209
9.2 Ausblick auf die ¿ -Regularitätstheorie und Anwendungen
auf Lösungen semilinearer elliptischer Gleichungen..........214
10. Die Schaudersche Regularitätstheorie und die Kontinuitäts¬
methode (Existenzverfahren
10.1 Die C-Regularitätstheorie für die Poissongleichung......... 221
10.2 Die Schauderschen Abschätzungen.................... 229
10.3 Existenzverfahren
Inhaltsverzeichnis
11. Die Mosersche Iterationstechnik und der Regularitätssatz
von de
11.1 Die Mosersche Harnackungleichung.......................241
11.2 Eigenschaften von Lösungen elliptischer Gleichungen........253
11.3 Die Regularität von
A. Banach-und Hilberträume. Die Xp-Räume................275
Notationsindex...............................................283
Sachverzeichnis...............................................287
Literaturverzeichnis ..........................................291
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