Finite-Volumen- und Mehrgitter-Verfahren für elliptische Randwertprobleme:
Gespeichert in:
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| Format: | Abschlussarbeit Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Stuttgart ; Leipzig
Teubner
1998
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| Schriftenreihe: | Advances in numerical mathematics
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
i
Einleitung 5
Bezeichnungen 19
1 Einführung in die Theorie und Numerik elliptischer Randwertprobleme 27
1.1 Punktionenräume 27
1.1.1 Stetig differenzierbare Punktionen 28
1.1.2 Gebiete 30
1.1.3 LP-Räume 31
1.1.4 Sobolev-Räume 33
1.1.5 Sobolev-Slobodeckij-Räume 35
1.1.6 Randwerte und Spursatz 36
1.1.7 Spezielle Räume für Dirichlet-Probleme 38
1.1.8 Dualräume 39
1.1.9 Der Raum iJ(div; Q) 41
1.1.10 Eine verallgemeinerte Produktregel 43
1.2 Elliptische Randwertprobleme 45
1.2.1 Das Dirichlet-Problem 46
1.2.2 Schwache Formulierung elliptischer Randwertprobleme 47
1.2.3 Existenz und Eindeutigkeit schwacher Lösungen 51
1.2.4 Regularität schwacher Lösungen 54
1.3 Simplizes und Triangulierungen 58
1.3.1 Simplizes 58
1.3.2 Affine Transformationen 61
1.3.3 Triangulierungen im W 64
1.3.4 Eckpunkte und Ansatzräume 67
1.4 Die Methode der Finiten Elemente 70
16 Inhalt
1.4.1 Der Galerkin-Ansatz 70
1.4.2 Abstrakte Fehlerabschätzungen 71
1.4.3 Finite-Elemente-Diskretisierung 73
1.4.4 Finite-Elemente Fehlerabschätzungen 75
1.4.5 Inhomogene Dirichlet-Randbedingungen 78
1.4.6 Verwendung von Quadraturformeln 79
2 Adaptive Verfeinerungsalgorithmen 82
2.1 Multileveltriangulierungen und adaptive Verfeinerungsalgorithmen 85
2.1.1 Multileveltriangulierungen 85
2.1.2 Adaptive Folgen von Multileveltriangulierungen 88
2.1.3 Adaptive Verfeinerungsalgorithmen 90
2.2 Verfeinerungsalgorithmen im Überblick 92
2.2.1 Rot/Grün-Verfeinerungsalgorithmen 92
2.2.2 Bisektionsverfahren 96
2.3 Ein adaptiver Verfeinerungsalgorithmus für Tetraedergitter 99
2.3.1 Reguläre Verfeinerung von Tetraedern 99
2.3.2 Irreguläre Verfeinerungen 101
2.3.3 Abstrakte Datenstrukturen 102
2.3.4 Der globale Algorithmus 106
2.3.5 Beschreibung der aufgerufenen Funktionen 110
2.3.6 Der Adaptive Gitter-Manager AGUm 114
2.4 Analyse des Verfahrens 118
2.4.1 Korrektheit von Algorithmus GlobaleVerfeinerung3D 118
2.4.2 Die Notwendigkeit der Verfeinerungen vom Typ (3) 121
2.4.3 Komplexität von Algorithmus GlobaleVerfeinerung3D 124
3 Stabile Verfeinerung von (n)-Simplizes 129
3.1 Der Algorithmus von Freudenthal 130
3.1.1 Die Kuhn-Triangulierung 131
3.1.2 Verfeinerung der Kuhn-Triangulierung 136
3.1.3 Affin invariante Verfeinerungsstrategien 141
3.1.4 Freudenthals Algorithmus 143
3.1.5 Freudenthals Algorithmus im Fall n=3 146
Inhalt 17
3.1.6 Globale Verfeinerungen im ffi,™ 147
3.1.7 Adaptive Verfeinerungen im W 153
3.2 Über die Anzahl der Ähnlichkeitsklassen 155
3.2.1 Einige Lemmata aus der linearen Algebra 156
3.2.2 Hauptsatz über die Anzahl der Ähnlichkeitsklassen 162
4 Finite-Volumen-Diskretisierung 168
4.1 Herleitung des Verfahrens 169
4.1.1 Verallgemeinerte schwache Formulierung elliptischer Randwertprobleme 171
4.1.2 Duale Boxgitter 175
4.1.3 Die Finite-Volumen-Diskretisierung 179
4.2 Fehlerabschätzungen in der H1- und L2-Norm 181
4.2.1 Abstrakte Fehlerabschätzungen 181
4.2.2 Gleichgewichts- und Regularitätsbedingungen 184
4.2.3 Darstellung des Boxenrandes 187
4.2.4 Eine Reihe vorbereitender Lemmata 189
4.2.5 Abschätzung der Einzelterme 194
4.2.6 Globale Fehlerabschätzungen 198
4.3 Varianten des Verfahrens 204
4.3.1 Mass Lumping 204
4.3.2 Verwendung von Mittelwertprojektionen 206
4.3.3 Verwendung von Quadraturformeln 210
4.3.4 Verwendung der unmodifizierten Bilinearform 214
4.4 Konstruktion der dualen Boxgitter 217
4.4.1 Das Schwerpunktverfahren im K 217
4.4.2 Eigenschaften des Schwerpunktverfahrens 222
4.4.3 Zerlegung des Boxenrandes 226
4.4.4 Das Vektorprodukt im IR 228
4.4.5 Beweis der dritten Regularitätsbedingung 230
4.4.6 Das Volumen der Hyperflächenstücke Siyk(T) 234
18 Inhalt
5 Ein robustes Mehrgitterverfahren für konvektionsdominierte Probleme 236
5.1 Finite-Volumen Upwind-Diskretisierung 241
5.1.1 Das einfache Finite-Volumen-Verfahren 242
5.1.2 Upwind-Stabilisierung 248
5.1.3 Eine globale Variante des Upwindverfahrens 257
5.2 Mehrgitterverfahren 261
5.2.1 Lineare Iterationsverfahren 261
5.2.2 Das klassische Mehrgitterverfahren 264
5.2.3 Eine Auswahl möglicher Komponenten 270
5.2.4 Mehrgitterkonvergenz im symmetrischen Fall 275
5.2.5 Mehrgitterverfahren für konvektionsdominierte Probleme 283
5.3 Downwind Numbering 288
5.3.1 Einige Grundbegriffe aus der Graphentheorie 291
5.3.2 Bestimmung und Numerierung maximaler Zusammenhangskomponenten296
5.3.3 Ein lokaler Block-Gauß-Seidel-Glätter 303
5.3.4 Feedback Vertices 309
5.3.5 Künstliche Zyklen 312
5.4 Numerische Tests 314
5.4.1 Das Poisson-Problem 316
5.4.2 Konvektions-Diifusions-Probleme auf strukturierten Gittern 321
5.4.3 Adaptive Verfeinerungen 326
5.4.4 Kompliziertere Strömungen 329
Literatur 333
Index 342
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