Die Ausdehnungslehre von 1844 oder Die lineale Ausdehnungslehre: ein neuer Zweig der Mathematik dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert
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1878
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Saite
III
xv
XXI
XXI
xxiii
C. Darlegung des Begriffs der Ausdehnungslehre............XXVIII
D. Form der Darstellung................................... XXXI
Uebersicht der allgemeinen Formenlehre...................... 1—14
§ 1, Begriff der Gleichheit. — § 2. Begriff der Verknüpfung. —
§ 3. Vereinbarkeit der Glieder. —§ 4. Vertausehbarkeit der Glie-
der, Begriff der einfachen Verknüpfung. —§5. Die synthetische
und analytische Verknüpfung.— §6. Eindeutigkeit der Analyse,
Addition und Subtraktion. — § 7. Die indifferente und die ana-
lytische Form, — § 8. Addition und Subtraktion gleichartiger
Formen. ■— § 9. Verknüpfungen verschiedener Stufen, Multipli-
kation. — § 10. Allgemeine Gesetze der Multiplikation. — §11.
Gesetze der Division. — § 12. Realer Begriff der Multiplikation.
Erster Abschnitt. Die Ausdehnnngsgrösse.
Erstes Kapitel.
Addition und Subtraktion der Strecken ..... 15—47
A, Theoretische Entwickelung........................15—32
§ 13. 14. Das Ausdehnungsgebilde, die Strecke und das System
erster Stufe. — § 16. Addition und Subtraktion gleichartiger
Strecken. — § 16. Systeme höherer Stufen. — § 17 —19.
Addition und Subtraktion ungleichartiger Strecken. — § 20.
Selbständigkeit der Systeme höherer Stnfen.
B. Anwendungen..........................................33—47
§ 21—23. Unhaltbarkeit der bish erigen Grundlage der Geometrie
und Versuch einer neuen Grundlegung. — §24. Geometrische
Vorrede zur ersten Auflage......................
Vorrede zur zweiten Auflage..................■
Einleitung.................................. .
A. Ableitung des Begriffs der reinen Mathematik .
B. Ableitung des Begriffs der Ausdehnungsichre .
Inhalt.
Aufgaben und Sätze, Mitte zwischen mehreren Punkten. —
§ 25. Die Neutongchen Grundgesetze der Mechanik. —
§ 26. Geeammtbewegung, Bewegung des Schwerpunktes. —
§ 27. Bemerkung über die Anwendbarkeit der neuen Analyse.
Zweites Kapitel.
Die äussere Multiplikation der Strecken ....
§ 28—30. Erzeugnis der Fortbewegung in der Geometrie, vor-
bereitende Betrachtung.
A. Theoretische Entwickelung.........................
§ 31. Erzeugung von Ausdehnungen höherer Stufen. — § 32.
Die Ausdehnungen höherer Stufen als Produkte. — § 33. 34.
Grundgesetz der äusseren Multiplikation. — § 36. 36. Haupt-
gesetze der äusseren Multiplikation.
B. Anwendungen.......................................
§ 37—40. Das Gesetz der Zeichenänderung bei Vertauschung
räumlicher Faktoren. — $ 41. Das statische Moment. —
§ 42. 43. Sätze über das Gesammtmoment, Gleichgewicht fester
Körper. — § 44. Das Vertauschungsgesetz durch die Statik
bestätigt, — §45.46. Lösung algebraischer Gleichungen ersten
Grades mit mehreren Unbekannten.
Drittes Kapitel.
Verknüpfung der Ausdehungsgrös s e n höherer
Stufen...............................................
A. Theoretische Entwickelung.........................
§ 47. 48, Summe von Ausdehnungen in einem Systeme nächst
höherer Stufe. — § 49. 50. Geltung der Additionsgesetze für
diese neue Summe. — § 51. Formelle Summe oder Summen-
grösse, — § 52. 53. Multiplikation der Ausdehnungsgrössen. —
§ 54. 55. Hauptgesetze der äusseren Multiplikation. —
B. Anwendungen.......................................
§ SSSfeEfkeugnisse der Fortbewegung im Baume. — § 57.
A-RgöP^B^teegriff des Gesammtmomentes. — § 58. 59. Ab-
hang] gkenuer,Momcnte.
Viertes Kapitel.
Aeussere Division, Zahlen grosse....................
A. Theoretische Entwickelung.........................
§ 60. Begriff der äusseren Division. — § 61. 62. Realität und
Vieldeutigkeit des Quotienten. — 63. 64. Ausdruck für den
eindeutigen Quotienten. — § 65. 66. Begriff des Quotienten
297
Seite
47—73
51—61
61—73
73-89
73—85
85—89
90—114
90—109
298
Inhalt.
zweier gleichartiger Grössen. — § 67. Proportion. — § 68.
Zahlengrösse, Produkt derselben mit einer Ausdehnungs-
grösse. — § 69. 70. Produkt mehrerer Zahlengrössen. —§71.
Geltung aller Gesetze arithmetischer Multiplikation und Divi-
sion für Zahlengrössen. — § 72. Addition der Zahlengrössen.—
§ 73. Beziehung dieser Addition und Multiplikation. Allge-
meines Gesetz.
B. Anwendungen.......................................
§ 74. Die Zahlengrösse in der Geometrie. — § 75—79. Bein
geometrische Darstellung der Proportionen in der Geometrie.
Fünftes Kapitel.
Gleichungen, Projektionen..............................
A. Theoretische Entwickelung.........................
§ SO. Ableitung neuer Gleichungen aus einer gegebenen durch
Multiplikation. — § 81. Wiederherstellung der ursprüng-
lichen. — §82. Projektion oder Abschattung, Abschattung der
Summe. — § 83. Wann die Abschattung null und wann sie
unmöglich wird. — § 84. Abschattung des Produktes und
Quotienten, allgemeines Gesetz. — §85. Analytischer Aus-
druck der Abschattung. — § 86. Ableitung eines Vereins
von Gleichungen, welcher die ursprüngliche ersetzt. — § 87.
Richtsysteme (Koordinatensysteme), Bichtgebiet, Richtmasse,
Hauptmass. — § 88. Bichtstücke, Zeiger. — § 89. Gleichungen
zwischen den Richtstücken und zwischen den Zeigern. — § 90.
Abschattungen einer Gleichung im Sinne eines Richtsystems.
Ausdruck für den Zeiger.
B. Anwendungen.......................................
§ 91. Abschattung in der Geometrie. — §92. Verwandlung der
Koordinaten. — § 93. Elimination einer Unbekannten aus
Gleichungen höherer Grade.
Zweiter Abschnitt. Die Elementargrösse.
Erstes Kapitel.
Addition und Subtraktion der Elementargrössen
erster Stufe .....................................
A. Theoretische Entwickelung......................
§ 94. Gesetz über die Summe der Strecken, welche von einem
veränderlichen Elemente nach einer Reihe fester Elemente
gezogen sind. —§ 95. Abweichung eines Elementes, eines
Elementarvereins, Gewicht. — § 96. Begriff der Elementar-
grössen und ihrer Summe. — § 97. Vervielfachung dieser
Beite
109—114
114—130
114—126
126—130
131—147
131—140
Inhalt.
Grösse. — § 98. Die Elementargrösse als vielfaches Element. —
§ 99. Die Elementargrösse mit dem Gewichte null ist eine
Strecke. — § 100. Summe einer Strecke und eines einfachen
oder vielfachen Elementes.
B. Anwendungen...........................................
§ 101. Mitte eines Punktvereins. —§ 102. die Mitte als Axe. —
§ 103. Schwerpunkt, Axe des Gleichgewichts. — § 104. Mag-
netismus , mangnetische Axe. — § 105. Anwendung auf die
Differenzialrechnung.
Zweites Kapitel.
Multiplikation, Division und Abschattung der
Elementargrössen .....................................
A. Theoretische Entwickelung........................
§ 106. In wiefern die Strecke als Produkt aufgefasst werden
kann, — § 107. Elementarsysteme. — § 108. Aeusseres Pro-
dukt der Elementargrössen, formell bestimmt. —§ 109. Reali-
sation dieses Produktes, Ausweichung, starre Elementar-
grösse. — § 110. Das Eckgebilde. — § 111. Vergleichung
desselben mit dem Produkte, Ausdehnung der Elementar-
grösse. — §112. Gleiche Elcmentargrössen haben gleiche Aus-
weichungen. — § 113. Summe der Elementargrössen.
B. Anwendungen......................................
§114. Die Elementargrössen im Raume, Liniengrössen, Plan-
grössen. — § 115. Produkte und Summen derselben. —
§ 116. 117. Richtsysteme für Elementargrössen. — § 118.
Verwandlung der Koordinaten. — § 119. Gleichung der Ebene.
— § 120. Das statische Moment als Abweichung. — § 121.
NeuerWegfürdie Behandlung der Statik.— §122· Allgemeines
Gesetz für das Gleichgewicht. — § 123. Allgemeine Bezie-
hung zwischen den statischen Momenten. — §124. Wann ein
Verein von Kräften einer einzelnen Kraft gleichwirkt.
Drittes Kapitel.
Das eingewandte Produkt...............................
A. Theoretische Entwickelung........................
§ 125. Formelle Erklärung des eingewandten Produktes; Grad
der Abhängigkeit und der Multiplikation. —§126. Beziehung
zwischen dem gemeinschaftlichen und nächstumfassenden Sy-
steme. — §127. Einführung des Beziehungssytemes. —§128.
Dadurch ist die Einheit der äusseren und eingewandten Multi-
plikation vermittelt. — § 129. Das eingewandte Produkt in
Form der Unterordnung. —§130—132. Reale Bedeutung des
eingewandten Produktes; der auf ein Hauptmass bezügliche
Mi»
Seite
140—147
147—181
147—162
162—181
181—227
181—221
300
Inhalt.
eigenthümliche Werth desselben. — § 133. Einführung der
Ergänzzahlen. —[§ 134. Multiplikation von Produkten, die in
Form der Unterordnung erscheinen. —§135. Jedes reale Pro-
dukt lässt sich auf die Form der Unterordnung bringen. —
§ 136. Multiplikation mit einander eingeordneten Grössen.—
§ 137. Eigentümlicher Werth eines eingewandten Produktes
ans mehreren Faktoren; reines und gemischtes Produkt. —
§ 138. Gesetz für die Ergänzzahlen reiner Produkte. —§139.
Die Faktoren eines reinen Produktes lassen sieh beliebig zu-
sammenfassen. — § 140. Beziehung zur Addition und Sub-
traktion. — § 141. Division in Bezug auf ein System; Grad
der Beziehungsgrösse. — §142. Vollkommene Analogie zwi-
schen äusserer und eingewandter Multiplikation. — § 143.
Doppelsystem und darauf bezügliches Produkt.
B. Anwendungen........................................
§ 144. Eingewandtes Produkt in der Geometrie. —§145. All-
gemeiner Satz über algebraische Kurven und Oberflächen. —
§ 146—148. Allgemeiner Satz über Kurven in der Ebene und
Anwendung desselben auf die Kegelschnitte.
Viertes Kapitel.
Verwandtschaftsbeziehungen............................... 227—272
§ 149—151. Allgemeiner Begriff der (äusseren und einge-
wandten) Abschattung und Projektion. — § 152. Abschattung der
Summe. — § 153. Abschattung des Produktes. —§154. Affinität.
Bildung affiner Vereine. —§155.156. Entsprechen der Produkte
entsprechender Grössen aus zwei affinen Vereinen. — § 157.
Direkte und reciproké Affinität, allgemeiner Satz. — §158. Zu-
sammenhang zwischen Abschattung und Affinität. § 159. Affini-
tätin der Geometrie. — §160. Lineare Verwandtschaft, Kollinea-
tion und Reciprocität nach dem Prinzip der gleichen Zeiger. —
§ 161. 162. Kollineation nach dem Princip der gleichen Zeiger
und nach dem Prinzip der gleichen Konstruktion. Identität
beider Begriffe. —§ 163. IdentitätderReciproeitätnach beiden
Principien. — § 164. Identität des Affinitätsbegriffes nach beiden
Prinzipen für Punktvereine. — § 165. Die metrischen Relatio-
nen zweier kollinearer Punktgebilde. —§ 166. Zusammenhang
zwischen Kollineation und Projektion. (Perspektivität). —
§ 167. Harmonische Gleichungen, Konstruktion der harmo-
nischen Mitte. Harmonische Summe, harmonische Koefficien-
ten, Polsystem. — §168. Umgestaltung reiner harmonischer
Gleichungen. — § 169. Umwandlung des Polsystems einer har-
monischen Gleichung. § 170. Umwandlung harmonischer Gleich-
ungen bei unverändertem Polsysteme. Allgemeiner Satz über
Bat«
221—227
Inhalt.
ЗОЇ
Seite
harmonische Mitten. — § 171. Anwendung auf die Krystall-
gestalten. — Anmerkung über offene Produkte.
Anhang I. Ueber das Verhältniss der nichteuklidischen Geo-
metrie zur Ausdehnungslehre................................
Anhang II. Ueber das eingewandte Produkt ......
Anhang III. Uebersicht über das Wesen der Ausdehnungslehre
(aus Grunerts Archiv)..................................
Verzeichniss der gebrauchten Kunstausdrücke............
273—275
275—277
277—293
294—295
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| spelling | Graßmann, Hermann 1809-1877 Verfasser (DE-588)118541617 aut Die Ausdehnungslehre von 1844 Die Ausdehnungslehre von 1844 oder Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert von Hermann Grassmann Die lineale Ausdehnungslehre Zweite, im Text unveränderte Auflage Leipzig Verlag von Otto Wigand 1878 XXXIV, 301 Seiten, 1 ungezähltes, gefaltetes Blatt Bildtafel Illustration txt rdacontent n rdamedia nc rdacarrier Ausdehnungslehre Ausdehnung (DE-588)4143503-5 gnd rswk-swf Geometrie (DE-588)4020236-7 gnd rswk-swf Ausdehnung (DE-588)4143503-5 s Geometrie (DE-588)4020236-7 s DE-604 Elektronische Reproduktion Göttingen : Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, 2007 https://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN534901565 Resolving-System kostenfrei Volltext // Exemplar mit der Signatur: Göttingen, Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek -- 8 MATH III, 140 KOBV Fremddatenuebernahme application/pdf http://bvbr.bib-bvb.de:8991/F?func=service&doc_library=BVB01&local_base=BVB01&doc_number=008043687&sequence=000001&line_number=0001&func_code=DB_RECORDS&service_type=MEDIA Inhaltsverzeichnis |
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