Introduction géométrique a la mécanique rationelle:
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Geneve [u.a.]
Georg [u.a.]
1924
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Pages
Préface v
Avertissement de l auteoh xi
PREMIÈRE PARTIE
ÉTUDE ALGÉBRIQUE DE LA GÉOMÉTRIE
ET DE LA CINtMATIQUE DANS L ESPACE A n DIMENSIONS
CHAPITRE PREMIER
FORMES LINÉAIRES
I. •— Les séries linéaires de points et leur représentai ion.
| i. — Sérios linéaires de points 1
| 2. — Séries complémentaires et composition des séries . . 5
| 3. — Coordonnées plûckérîennes d une Sp_i 7
î 4 — Le problème de la composition en coordonnéss pliické
riennes 12
II. — Classification des formes bilinéaires
et identité fondamentale.
§ 5. — Formes linéaires, symétrie, antisymétrie 15
ï 6. — Identité fondamentale 20
III. — Forme adjointe.
g 7. — Polyèdres dérivés 24
| 8. — Dérivées et adjointe 30
CHAPITRE II
FORMES QUADRATIQUES
I. — Normalisation des coordonnées.
§ 9. —. Généralités. Surface fondamentale. Normalisation des
coordonnées 36
618 TABLE DES MATIÈBES
Pagres
| io. ¦— Points conjugués et polyèdres normaux 38
| il. — Normalisation des coordonnées pluckériennes. Séries
conjuguées. Séries orthogonales 40
§ 12. — Sinus d un jo èdre et séries singulières 44
II. — Eléments de la géométrie non euclidienne
dans l espace Em_4.
§ i3. — Notion de distance 49
§ i4. •— Résumé des propriétés de dualité 52
III. — Réduction des formes quadratiques.
| i5. — Formes réduites d un polynôme quadratique. ... 54
§ 16. —Réduction simultanée de deux formes quadratiques . 58
| 17. — Loi d inertie. Théorème de Hermite 60
CHAPITRE III
THÉORIE DES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES
I. — Transformation linéaire et transformations dérivées.
| 18. — Interprétation géométrique; composition ; modification
d une transformation par une autre 64
§ 19. •— Transformations dérivées de divers ordres .... 68
§20. — Symétrie droite ou gauche des éléments des transfor¬
mations dérivées 70
| 21. — Déterminants des transformations dérivées .... 74
II. — Forme canonique et transformation des formes
quadratiques.
| 22. •— Forme canonique d une transformation linéaire . . 76
| 23. — Transformation linéaire d une forme quadratique en
une autre 81
III. — Transformations isométriques.
| 24. — Transformations isométriques ou automorphes. . . 84
§ 25. — Recherche des transformations automorphes correspon¬
dant à une forme quadratique donnée 89
| 26. — Quelques propriétés des isométries, mouvements et
retournements 93
| 27. ¦—¦ Représentation paramétrique des transformations auto¬
morphes 97
| 28. — Représentation paramétrique d une transformation com¬
posée 101
TABLE DES MATIÈRES 619
Pages
IV. — Eléments de courbure d une courbe
de l espace E^ j.
| 2g. — Elément d arc . . . . • 102
| 3o. — Formules de Frenet et éléments de courbure . . . . io3
§ 3i. — Quelques propriétés déduites des formules de Frenet . 107
| 32. — Retour à l espace ordinaire 109
DEUXIÈME PARTIE
GÉOMÉTRIE VECTORIELLE, THÉORIE DES DYNAMES.
GÉOMÉTRIE RÉGLÉE
CHAPITRE IV
GRANDEDRS VECTORIELLES
I. — Définitions.
| 33. — Généralités 111
§ 34. — Composition des vecteurs libres 118
| 35. — Le produit intérieur ... 121
§ 36. — Le produit extérieur 126
§ 37. — Propriétés du produit extérieur 128
| 38. — Combinaison des symboles 130
II. — Applications géométriques.
§ 3g. — Quelques applications 131
§ 4° — Changement des axes coordonnés. Transformations
orthogonales 137
i I 41 • — Théorie des aires. Première esquisse de la théorie des
moments 142
. * CHAPITRE V
LES FIGURES FONDAMENTALES. NOTION DE DUALITÉ
i I. — Le trièdrv.
i
| 42. — Généralités 147
| 43. — Le trièdre. Trigonométrie sphérique 148
II. — Coordonnées obliques.
g 44 ¦— Composantes et projections ¦ . . 151
| 45_ — Produit intérieur de deux vecteurs 153
: 620 TABLE DES MATIÈRES
Pages
| 46. — Trièdres polaires, coordonnées conlrevariantes et cova
riantes 154
| 47 — Propriétés dualistiques des coordonnées obliques . . 158
§ 48. — Produit extérieur . 159
§ 4g. — Généralisation 161
III. — Triangle et tétraèdre.
| 5o. — Le triangle 162
| 5i. — Le tétraèdre. ... . 166
IV. ¦— Coordonnées d une droite.
| 52. — Volume du tétraèdre . 171
| 53. — Coordonnées d un vecteur glissant 172
§ 54. — Coordonnées d une droite ; première forme .... 173
| 55. — Coordonnées d une droite ; seconde forme 174
| 56. — Nouvelle expression du volume du tétraèdre. ... 178
CHAPITRE VI
GÉOMÉTRIE HÉGLÉB
I. — Moment relatif et moment linéaire.
% 57. — Moment relatif. 181
% 58. — Moment linéaire 185
II. — Coordonnées complexes de la droite.
§5g. — Digression sur certaines quantités complexes. . . . 187
§ 60. •— Coordonnées complexes de la droite 190
III. — Géométrie sphériqne et géométrie réglée.
% 61. — Identité de la géométrie réglée et de la géométrie ponc¬
tuelle sphérique 193
§ 62. — Recticongruence 194
| 63. — Trigonométrie générale 200
CHAPITRE VII
LES ÉLÉMENTS COTÉS. COMPOSITION, CENTRE DE 6KAVITÉ
I. — Puissance mutuelle de deux éléments cotés ,
en géométrie non euclidienne de Riemann.
| 64. — Généralité sur la géométrie non euclidienne de Rie¬
mann .... . . . . 202
§ 65. — Points, plans cotés, Droites cotées. ...... 2o5
! TABLE BIS MATIÈRES 621.
Pages
§ 60. — Puissance mutuelle de deux éléments cotés .... 206
§67. — Puissance mutuelle de deux systèmes chargés. Equi¬
valence, réduction et composition 207
( II. — Composition des éléments cotés en géométrie
euclidienne.
§ 68. — Retour à la géométrie euclidienne 210
| 6g. — Composition des points massifs et des plans. . . . 2i3
1 § 70. — Exceptions et compléments. Couple 215
| 71. — Quelques propriétés du centre de gravité. Coordonnées
baryeentriques 218
III. — Cas particulier de la composition des points
et des plans cotés.
§ 72. — Plans cotés passant par un même point 223
§ 73. — Points cotés sur la sphère .... .... 224
§ 74. — Plans cotés perpendiculaires à un plan fixe. Vecteurs
glissants dans un même plan 227
1 i 7^: — Théorie géométrique des vecteurs glissants situés dans
un même plan 231
I ¦ IV. — Centre de gravité des corps continus.
I 76. — Eléments de symétrie 234
§ 77. — Exemples. Théorème de Guldin 236
| CHAPITRE VIII
1 THÉORIE DES DYNAMES
I
I
1 I. — Equivalence et composition.
j § 78. — Généralités . ; 245
; I 79. — Equivalence 247
§ 80. — Composition 249
! § 81. — Couples 253
| 82. — Réduction, axe central 255
j
1 II. — Théorie générale des moments.
| 83. — Définitions 260
§ 84. — Moment linéaire d un dyname 262
§ 85, — Distribution du moment linéaire 264
| 86. — Corollaires 266
i
(
)
622 TABLE DES MATIÈRES j
i
Pages
III. — Complexe linéaire.
§87. — Droite de moment nul. Complexe linéaire 269
| 88. — Droites conjuguées 275
IV. — Réduction élémentaire des systèmes de forces.
| 8g. — Réduction d un système de force par ïa composition
élémentaire 276
| go. — Réduction à des éléments particuliers 27g
V. — Exemples servant à illustrer les théories générales.
% gi. — Réduction des forces parallèles 281
| g2. — Exemples divers 284
CHAPITRE IX
LE CYLINDROÏDE DE PLUCKER
I. — Définitions.
§ q3. — Première définition 291
| g4. — Seconde définition 295
| g5. — Troisième définition 296 ;
II. — Propriétés. !
| g6. — Complexe de Bail 300 j
§ 97. — Points et flèches symétriques relativement au cylin
droïde 303
% g8. — Cylindroïdes orthogonaux et cylindroïdes complémen¬
taires 309
§ gg. •— Gylindroïdes orthogonaux à deux cylindroïdes donnés. 312
TROISIÈME PARTIE :
CINÉMATIQUE. ÉTUDE DES MOUVEMENTS FINIS
CHAPITRE X
ISOMÉTBIE. MODVEMENïS ET RETOURNEMENTS.
I. — Représentation analytique des isométries.
§ 100. — Généralités 315
| 101. — Schémas orthogonaux 318
| 102. — Mouvements et retournements dans les espaces à une
et deux dimensions 322
TABLE DES MATIÈRES 623
Pages
II. — Transformations orthogonales à trois indéterminées.
Isométrie sur une sphère fixe.
§ io3. — Formules de Rodrigues 327
| 104. — Relation entre les paramètres de Rodrigues et les
coefficients de la transformation orthogonale . . 33i
| io5. — Mouvements sur la sphère 334
§ 106. — Retournement de la sphère sur elle même .... 337
III. — Transformations isométriques dans l espace
à trois dimensions. Composition des mouvements.
% 107. — Lemmes 339
| 108. — Mouvement hélicoïdal 341
| 109. — Construction des figures contraires 342
§.no. — Propositions sur la composition des translations et
relations d un solide 343
CHAPITRE XI
THÉORIE DES QUATERNIONS
I. — Définition des quaternions.
§111. — Introduction 352
§ 112. — Définitions 353
§ n3. — Addition 357
§ 114. — Multiplication 359
§ n5. — Quaternions inverses et conjugués . . . . . . 362
| 116. —Vecteur considéré comme quaternion 363
H. — Forme quaternion de l isométrie.
§ 117. — Expression en quaternion des formules de Rodrigues.
Transformée d une opération 364.
| 118. — Biquaternions 367
§ 119. — Transformations isométriques linéaires de points, de
plans et de droites 371
CHAPITRE XII
GÉOMÉTRIE DES CORPS SOLIDES.
I. — Géométrie de la figure sphérique.
§ 120. — Analogie entre la géométrie de Riemann et la ciné¬
matique d une figure sphërique se mouvant sur sa
sphère .... 378
624 TABLE DES MATIÈRES
Pages
§ 121. — La couronne et le couronoïde, éléments* corrélatifs de
la droite et du plan 381
II. — Géométrie générale des corps solides.
| 122. — Géométrie des corps solides 386
§ 123. —¦ Corps solides cotés 390
| 124. — Systèmes linéaires de corps solides 391
CHAPITRE XIII
TRANSFORMATIONS ORTHOGONALES A QUATRE INDÉTERMINÉES
I. — Trois aspects du schéma quaternaire.
§ 125. — Représentation de la transformation orthogonale qua¬
ternaire 396
| 126. — Relations algébriques entre les paramètres des trois
formes d un schéma quaternaire 402
§ 127. — Relations du schéma quaternaire et des deux formes
ternaires correspondantes 406
| 128. — Le schéma quaternaire exprimé en fonction des sché¬
mas ternaires ; valeur de certains déterminants. . 410
II. — Recherche des éléments invariants.
| 12g. — Equation en s 414
§ i3o. — Tétravecteurs et Hexavecteurs 420
| i3i. — Recherche des hexavecteurs invariants 425
QUATRIÈME PARTIE
CINÉMATIQUE.
ÉTUDE DES MOUVEMENTS INFINITÉSIMAUX
CHAPITRE XIV
VITESSE ET ACCÉLÉRATION
|
1. — Eléments de courbure du cône,
de la courbe gauche et de la surface réglée. !
| i32. — Vitesse et accélération considérées comme quantités
scalaires 429
| i33. — Courbure gêodésique du cône 433
§ i34. — Courbure et torsion d une courbe gauche, formules de
Frenet 436
TABLE DES MATIÈRES 625
Pages
§ i35. — Quelques propriétés des courbes gauches .... 439
| i36. — Extension à la géométrie des surfaces réglées . . . 442
| 137. — Exemples 445
II. — Vitesse et accélération, grandeurs vectorielles.
§ i38. — La vitesse 451
| i3g. — L accélération 455
| i4o. — Généralisation, vitesse et accélération d un dyname . 4^9
| i4i. — Projection et composition des mouvements . . , . 463
III. — Exemples .de mouvements.
| 142. — Mouvement parabolique de Galilée, problème du tir . 4°5
§ 143. — Mouvement harmonique elliptique 470
§ 144 — Mouvement rectiligne harmonique 474
§ 145. — Figures de Lissajous 478
IV. — Accélération centrale.
| 146 — Propriété des moments, loi des aires 479
| 147. — Mouvement planétaire 485
§ i48. — Le problème de Kepler 491
CHAPITRE XV
THÉORIE DES MOUVEMENTS RELATIFS ET TRANSFORMATION
DB LAGRANGE
I. — Mouvements relatifs.
| 149. — Mouvement de translation 494
§ i5o. — Mouvement quelconque 496
§ i5i. — Exemples 501
II. — Transformation de Lagrange.
% i52. — Composantes et projections de la vitesse; mouvements
sur une surface 509
| i53. — Composantes et projections de l accélération . . . 514
§ 154. — Généralisation, mouvement dépendant de n para¬
mètres . . 515
| 155. — Quelques remarques d un ordre général 617
III. — Application de la transformation de Lagrange.
| 106, — Expressions de la vitesse et de l accélération en coor¬
données polaires et cylindriques 520
C. Cailler 40
626 TAB1E DES MA.TIÈBES
Pages
g .107. — Composition des accélérations 522
| i58. — Application à la théorie des surfaces, courbes géodé
siques 525
CHAPITRE XVI
MOUVEMENT INSTANTANÉ D*CN CORPS SOLIDE
!
I. — Distribution des vitesses.
| i5t). — Définition du mouvement instantané 528 ,
§ 160. — Mouvement instantané d un point, d un plan et d une ¦
droite du corps • •• .. . 529
§ 161. — Mouvement hélicoïdal 532
| 162. — Mouvement d un plan sur un plan et d une lamelle
sphérique sur sa sphère . . . 534 .
| i63. — Passage du mouvement autour d un point fixe au
mouvement hélicoïdal 537
| 164. — Détermination du mouvement instantané en fonction
de certains éléments 539
| i65. — Composition des mouvements instantanés; exemples. 540
| 166. — Rapport entre les vitesses d un point,d un plan et d une
droite qui appartiennent à une droite donnée . . 542
II, — Distribution des accélérations.
§ 167. — Mouvement instantané du second ordre 544
| 168. — Mouvement d un plan sur un plan ... .. 546
| iOg. — Mouvement d une lamelle sphérique sur sa sphère . 547
III. — Passage du mouvement fini an mouvement
infinitésimal.
% 170. — Expression du mouvement instantané en fonction des
coefficients de la transformation isométrique . . 550
| 771. — Expression de la rotation instantanée en fonction des
angles d Euler 553
g 172. — Expression du mouvement instantané en quaternions. 556
IV. — Passage du mouvement infinitésimal •
au mouvement fini.
§ 173. — Aspect du problème de l intégration, résolution dans
un cas particulier 550.
I 74. — Intégration dans le cas général 561 i
S 17 ). — Intégration des équations du mouvement sous forme 1
quaternion 566 ¦
TABLE DES MATIÈRES 627
Pages
| 176. — Le problème de la détermination d une surface réglée
à partir de ses éléments intrinsèques : arc et cour¬
bure 571
CHAPITRE XVII
THÉORIE DU ROULEMENT ET APPLICATIONS
I. — Roulement.
§ 177. — Définition du roulement 573
| 178. — Propriété de transitivité du roulement 577
| 179. — Surface roulante et surface base; proposition fonda¬
mentale 578
§ 180. — Proposition réciproque .... 581
| 181. — Roulement de deux courbes sphériques ou planes . . 583
| 182. — Retour au cas général; la formule de Savary . . . 586
§ i83. — Nouvelle étude du roulement de deux courbes sphé¬
riques 590
IL — Applications.
§ 184. — Slalions et rétrogradations des planètes 594
g i85. — Mouvement épicycloïdal; mouvement de la lune; pré¬
cession des équinoxes 598
§ 186. — Equation différentielle polaire des épicycioïdes . . 601
§ 187. — Les épicycioïdes plaaes, nouvelles propriétés . . . 603
§ 188. — Bielle et manivelle 607
| 18g. — Le joint de Cardan et les cames 609
î 190. — Les engrenages 612
§ 191. — Théorie du planimètre d Amsler 615
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