Finite Elemente - ein Einstieg:
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| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
1998
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| Schriftenreihe: | Springer-Lehrbuch
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Autor: Steinbuch, Rolf
Jahr: 1998
Inhaltsverzeichnis
1 Praktisches Rechnen - Beispiele und Probleme 1
1.1 Berechnungen mit begrenzt genauen Zahlen 3
1.2 Numerische Integration 10
1.3 Integration einer Differentialgleichung mit Euler-Verfahren 12
1.4 Ritz-Verfahren 19
1.5 Galerkin-Verfahren 22
2 Grundlagen der FEM 27
2.1 Die drei Bestandteile eines Berechnungsproblems 27
2.2 Ein einfaches Berechnungsproblem 29
2.3 Kontimium und diskretes System 30
2.4 Diskretisierung des Kontinuums 33
2.5 Ansatzfunktionen 36
2.6 Die Methode der Finiten Elemente 42
2.7 Anwendungsgebiete der FEM 45
3 Zugstab und Fachwerk 49
3.1 Die Steifigkeit des Zugstabs 49
3.1.1 Kraftmethode 50
3.1.2 Energiemethode 53
3.1.3 Steifigkeit des Zugstabs aus Ansatzfunktionen 54
3.2 Zugstabketten, zusammengesetzte Steifigkeiten 57
3.3 Zugstäbe in der Ebene und im Raum 60
3.4 Fachwerke, Gesamtsteifigkeiten, Randbedingungen 64
3.4.1 Gesamtsteifigkeitsmatrizen 64
3.4.2 Randbedingungen 66
3.4.3 Dehnungen, Spannungen, Stabkräfte 69
3.5 Optimierung der Matrizen 69
4 Elastostatik 75
4.1 Grundbegriffe 76
4.2 Das ebene QUAD4-Elenient 79
4.2.1 Das ebene rechtwinkelige QUAD4-Element 80
4.2.2 Das verzerrte QUAD4-Element 85
4.3 Die Elemente der Elastostatik 91
4.3.1 Die 2-dimensionalen, ebenen Elemente der Elastostatik 93
4.3.2 Die 3-dimensionalen, räumlichen Elemente der Elastostatik 97
4.4 Randbedingungen und Zwangsbedingungen 100
4.4.1 Randbedingungen 100
4.4.2 Zwangsbedingungen 103
4.5 Balken und Schalen 104
4.5.1 Balken 105
4.5.2 Schalen 108
4.6 Strecken-und Flächenlasten 109
4.7 Einige einfache Berechnungsprobleme 110
4.7.1 Blech unter Zugbeanspruchung 110
4.7.2 Patch-Test 110
4.7.3 Balkenbiegung, Schubsteifigkeitsüberhöhung 111
Potentialprobleme 115
5.1 Einige elementare Potentialprobleme 115
5.2 Der Wärmeleitstab 119
5.2.1 Die l-dimensionale Transportgleichung 119
5.2.2 Die Matrizen der Wärmeleitfähigkeit und der Wärmekapazität 123
5.2.3 Diagonale Massenmatrizen 127
5.3 Die FEM, ein Galerkinverfahren 127
5..4 Randbedingungen, Gesamtmatrizen 129
5.4.1 Randbedingungen bei Wärmeleitproblemen 129
5.4.2 Gesamtmatrizen, Berücksichtigung der Randbedingungen 130
5.4.3 Die Integration der Transportgleichung in der Zeit 131
5.5 Die Elemente der Potentialmechanik 133
5.6 Beispiele einfacher Wärmeleitungsberechnimgen 137
5.6.1 Einheiten bei wärmetechnischen Berechnungen 137
5.6.2 Beispiele von Temperaturberechnungen 138
5.7 Gekoppelte Probleme, Wärmespannungen 139
Dynamik 143
6.13 Fragestellungen der linearen Dynamik. 143
6.1.1 Modale Analysen 146
6.1.2 Erzwungene Schwingungen 154
6.1.3 Transiente Analysen 158
6.2 Massenmatrizen 163
6.2.1 Aufbau der Massenmafrizen 164
6.2.2 Die Massenmatrix des homogenen eindimensionalen Zugstabs 165
6.2.3 Die Massenmatrix des linearen räumlichen Hexaeders HEX8 165
6.2.4 Diagonale Massenmatrizen 166
6.3 Dämpfung 166
6.4 Berechnungen von Eigenschwingungen 168
7 Nichtlineare Probleme 173
7.1 Beispiele nichtlinearer Probleme 174
7.2 Klassifizierung nichtlinearer Probleme 182
7.2.1 Geometrische Nichtlinearität 182
7.2.2 Werkstoffnichtlinearität 183
7.2.3 Nichtlineare Randbedingungen 187
7.3 Berechnung nichtlinearer Probleme 189
8 Probleme beim Arbeiten mit Finiten Elementen 191
8.1 Aufgabenstellung 191
8.1.1 Auftraggeber und Auftragnehmer 191
8.1.2 Ziel der Berechnung 192
8.1.3 Isolierte Berechnungen und Großprojekte 193
8.1.4 Vorgaben und Freiheiten 193
8.1.5 Aufwand und Kosten 194
8.2 Ablauf einer Berechnung 194
8.2.1 Art des Berechnungsproblems 195
8.2.2 Bestandteile des Modells 197
8.2.3 Probleme während des Rechenlaufe 200
8.3 Interpretation 201
8.3.1 Welche Daten fallen an? 201
8.3.2 Wie sind die Daten zu interpretieren? 201
8.3.3 Parametersensibilität 202
8.3.4 Verifikation 203
8.4 Gefahren bei der Analyse komplexer Systeme 203
9 Entwicklungstendenzen 207
9.1 Kostenentwicklung 207
9.2 Mitarbeiter 208
9.3 CAD-FEM Kopplung 209
9.4 Automatische Netzqualifikation 211
9.5 Expertensysteme 212
9.6 FE-Prozesse 213
9.7 Optimierung 214
9.8 Qualitätssicherung 215
A1 Mathematische Grundlagen 217
A. 1.1 Lineare Algebra 217
Al.1.1 Matrizen 217
AI. 1.2 Vektoren 221
AI.1.3 Lineare Gleichungssysteme 224
AI .2 Differential-und Integralrechnung 229
AI .2.1 Grundbegriffe der Differential- und Integralrechnung 229
AI .2.2 Funktionen mehrerer Veränderlicher 230
AI .2.3 numerische Differentiation und Integration 232
AI .2.4 Operatoren 235
AI .3 Differential-und Integralgleichungen 235
AI .3.1 gewöhnliche Differentialgleichungen 236
AI.3.2 Finite Differenzen 238
Al.3.3 Ritz-oder Galerkinansatz (Finite Elemente) 239
AI .3.4 partielle Differentialgleichungen 240
Al.3.5 Integralgleichungen 241
A2 3 Herangehensweisen der Physik 243
A2.1 Energieerhaltungssatz 243
A2.2 Stationäre Potentiale 244
A2.3 Prinzip der virtuellen Verrückungen 248
A3 Dehnungen und Spannungen 251
A3.1 Spannungs-Dehnungsbeziehungen 251
A3.2 Verschiebungen und Dehnungen 255
A3.3 Hauptspannungen, 256
A3.4 Vergleichsspannungen 256
A3.5 Anisotropie 258
Literatur 259
Sachverzeichnis 261
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