Ein Kompaktheitssatz für Mannigfaltigkeiten mit unteren Schranken für Riccikrümmung und Konvexitätsradius:
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| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Bochum
Inst. für Mathematik
1997
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Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung und Ergebnisse 1
2 Die Weingartenabbildung von Abstandssphären eines Punktes 5
2.1 Definition und Eigenschaften 5
2.2 Daten in den Modellräumen konstanter Schnittkrümmung 10
2.3 Der zweite Fundamentaltensor von Abstandssphären und wichtige geo¬
metrische Größen 11
3 Vergleichsmethoden und Abschätzungstechniken für Lösungen von
Riccatigleichungen 14
3.1 Integralgleichung für eine modifizierte zweite Fundamentalform, der Ric-
cativergleich 14
3.2 Techniken zur Diskussion von Lösungen der Jacobifeld- und Riccati-
gleichung 15
3.3 Variation des Zentrums 19
3.4 Konvexität der Exzeßfunktion 26
3.5 Der konjugierte Radius und eine untere Schranke für die Schnitt- bzw.
Riccikrümmung 28
4 Zwei Beispiele 35
4.1 Allgemeine Überlegungen zur Bestimmung des konjugierten Radius . . 35
4.2 Eine Folge von Rotationsflächen 38
4.3 Ein Beispiel zur Analysis der Matrix-Riccatigleichung 42
5 Anwendungen 48
5.1 Geodätische ohne konjugierte Punkte 48
5.2 Ein relativer Volumenvergleichssatz für Mannigfaltigkeiten mit unteren
Schranken für Riccikrümmung und konjugierten Radius 49
5.3 LP- Schranken für eine modifizierte zweite Fundamentalform 51
5.4 Jacobifeldabschätzungen und ein Rauch-artiger Vergleichssatz für Man¬
nigfaltigkeiten mit unterer Riccikrümmungsschranke 53
6 Schranken für die Hauptkrümmungen von Abstandssphären, hinrei¬
chende und notwendige Voraussetzungen 56
6.1 Allgemeine Vorüberlegungen 56
6.2 Integrale Krümmungsschranken und Hauptkrümmungen 57
6.3 Riccikrümmung und Hauptkrümmungen 58
6.4 Wechselspiel zwischen den Weingartenabbildungen von zwei verschiede¬
nen Parallelflächenfamilien 60
7 Radiusfunktionen in der Riemannschen Geometrie 65
7.1 Definition von Radiusfunktionen 65
7.2 Einige Beziehungen zwischen Radiusfunktionen 67
7.3 Konvergenz im Tangentialbündel und eine fast Fermi-Basis 71
7.4 Ein Stetigkeitsmodul für den Krümmungstensor 74
7.5 Ein Stetigkeitsmodul für Lösungen von Riccatigleichungen 80
7.6 Der kleinste Eigenwert und die Singularität von Lösungen der Riccati-
gleichung 83
7.7 Stetigkeitsaussagen über Radiusfunktionen 85
8 Ein (^'-Koordinatensystem für Mannigfaltigkeiten mit unterer Ricci¬
krümmungsschranke 91
8.1 Konvexität, konvexe Mengen und Riccikrümmung 91
8.2 Definition einer Karte f 96
8.3 Eigenschaften der Abbildung f 97
8.4 Die Kartenwechselabbildung 101
8.5 Eigenschaften der Bild- und Definitionsbereiche der Karte f , der Para-
metrisierung ip und der Kartenwechselabbildung 104
8.6 Eigenschaften der Metrik in der Karte j HO
9 Ein Kompaktheitssatz für Mannigfaltigkeiten mit unterer Riccikrüm¬
mungsschranke 113
9.1 Ein Kompaktheitssatz 113
9.2 Der Nervkomplex 114
9.3 Die Kartenwechselabbildungen und die Metrik 116
9.4 Der Definitionsbereich der Kartenwechselabbildung 117
9.5 Auswahl einer Teilfolge 117
9.6 Konstruktion einer Grenzmannigfaltigkeit 119
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