Stabilitätsanalyse zeitdiskreter nichtlinearer dynamischer Systeme auf der Basis der konvexen Zerlegung mit paralleler Implementierung:
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Düsseldorf
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| adam_text | Titel: Stabilitätsanalyse zeitdiskreter nichtlinearer dynamischer Systeme auf der Basis der konvexen Zerle
Autor: Rumpf, Oliver
Jahr: 1997
FORTSCHRITTBERICHTE VM Dipl.-Ing. Oliver Rumpf, Walldorf Stabilitätsanalyse zeitdiskreter nichtlinearer dynamischer Systeme auf der Basis der konvexen Zerlegung mit paralleler Implementierung Reihe 8 : Meß-, Steuerungsund Regelungstechnik Nr. 651
Inhalt _ V Inhalt 1 Einleitung 1 2 Methode der konvexen Zerlegung - Grundlagen und Erweiterungen 5 A Grundkonzept von Kiendl ................... 5 2.1 Definition der P H ^-Stabilität................... 5 2.2 Grundgedanke der Methode der konvexen Zerlegung....... 8 2.3 Systemvoraussetzungen....................... 10 2.4 Beschreibung des Grundalgorithmus................ 13 2.5 Schlüsseloperationen des Algorithmus............... 16 B Weiterentwicklung der Methode der konvexen Zerlegung 18 2.6 Reihenfolge der Schlüsseloperationen............... 18 2.7 Bearbeitung des entstehenden Polyederbaums.......... 19 2.8 Erweiterung für zonenweise affine Nichtlinearitäten mit komplexer Struktur............................. 22 2.8.1 Aufwand für die Zerlegung in einzonige Polyeder..... 22 2.8.2 Methode zur Bestimmung der relevanten Zonen..... 24 2.8.3 Berechnung der Halbraumzonentabelle.......... 31 2.9 Beurteilung des Verlaufs der konvexen Zerlegung......... 38 2.9.1 Rückwärtsabbilden der ins Abbruchgebiet eingetretenen Polyeder........................... 39 2.9.2 Berechnen des Volumenanteils am Startpolyeder..... 41 2.10 Zusammenfassung.......................... 42
VI Inhalt 3 Realisierung der Schlüsseloperationen 44 3.1 Schlüsseloperation Ia: Bestimmen der relevanten Zonen..... 45 3.2 Schlüsseloperation Ib: Zerlegen eines Polyeders durch eine Zone 49 3.3 Schlüsseloperation Ha: Abbilden der Polyeder.......... 54 3.4 Schlüsseloperation III: Überprüfen der Abbruchbedingung ... 55 3.5 Schlüsseloperation IV. 1: Rückwärtsabbilden der Polyeder .... 60 3.6 Schlüsseloperation IV.2: Volumenberechnung der Polyeder .... 61 3.7 Entfernen redundanter Halbräume................. 72 3.7.1 Redundante Nebenbedingungen.............. 74 3.7.2 Integration des Redundanzverfahrens........... 75 3.8 Vergleich der Polyederdarstellungsformen............. 77 3.8.1 Vergleich des Rechenaufwandes der Polyederdarstellungen 77 3.8.2 Rechenzeitbedarf...................... 78 3.8.3 Speicherplatzbedarf..................... 82 3.9 Zusammenfassung.......................... 83 4 Systematische Ermittlung zonenweise affiner Beschreibungen 85 4.1 Umwandlung typischer Regelkreisstrukturen in Funktionennetze 85 4.1.1 Struktur I: Lineare zeitdiskrete Strecke mit zonenweise affinem Regler........................ 86 4.1.2 Struktur II: Zonenweise affines Streckenmodell mit zonenweise affinem Regler .................... 88 4.2 Berechnung der zonenweise affinen Beschreibung eines Funktionennetzes .............................. 90 4.2.1 Serienschaltung eines zonenweise affinen Teilsystems und einer Matrix......................... 92
Inhalt VII 4.2.2 Serienschaltung einer Matrix und eines zonenweise affinen Teilsystems......................... 93 4.2.3 Serienschaltung zonenweise affiner Teilsysteme...... 93 4.2.4 Parallelschaltung zonenweise affiner Teilsysteme..... 96 4.3 Approximation nichtlinearer Teilsysteme............. 96 4.4 Anwendungsbeispiel: Approximation eines Multilayer-Perceptrons 97 4.5 Neues Approximationsverfahren für mehrdimensionale Kennfelder 101 4.5.1 Strategie des Verfahrens..................102 4.5.2 Berechnung der affinen Abbildung für eine Zone.....103 4.5.3 Simplexzerlegung des Kennfeldeingangsraumes......105 4.6 Beispiel zur Kennfeldapproximation................111 4.7 Zusammenfassung..........................115 5 Berechnung und Optimierung von Ljapunowfunktionen 116 5.1 Formulierung des Optimierungsproblems.............119 5.1.1 Gütefunktional.......................121 5.1.2 Einhaltung der Nebenbedingungen............122 5.2 Struktur des Optimierungsalgorithmus..............124 5.3 Verwendete Optimierungsverfahren................125 5.4 Quadratische Ljapunowfunktionen.................125 5.4.1 Berechnung eines geeigneten Startwertes.........126 5.4.2 Ansatz für die Optimierungsparameter..........127 5.4.3 Realisierung des Gütefunktionais.............127 5.5 Spatförmige Ljapunowfunktionen.................128 5.5.1 Berechnung eines geeigneten Startwertes.........129
VIII Inhalt 5.5.2 Wahl der Optimierungsparameter.............133 5.5.3 Realisierung des Gütefunktionais.............133 5.6 Exakte Berechnung der Spatausdehnung.............136 5.6.1 Umwandlung der Maximumnorm in Ungleichungen . . . 137 5.6.2 Zusammenfassen der Ungleichungen............139 5.6.3 Bestimmung der maximalen Spatausdehnung.......140 5.7 Anwendungsbeispiel zur Optimierung von Ljapunowfunktionen . 142 5.8 Zusammenfassung..........................145 6 Implementierung der Methode der konvexen Zerlegung 146 6.1 Objektorientierte Implementierung................147 6.1.1 Komplexität der konvexen Zerlegung...........147 6.1.2 Verwendete Eigenschaften objektorientierter Programmierung .............................149 6.1.3 Implementierung der konvexen Zerlegung.........154 6.2 Verteilte Implementierung.....................156 6.2.1 Parallelisierbare Teilalgorithmen der konvexen Zerlegung 156 6.2.2 Auswahl einer Parallelrechnerarchitektur.........157 6.2.3 MIMD-Rechnerarchitekturen...............158 6.2.4 Kommunikation zwischen verteilten Prozessen......160 6.2.5 Verwendete Client-Server-Struktur............161 6.2.6 Teilprozesse bei der konvexen Zerlegung.........163 6.2.7 Dynamisches Loadbalancing................165 6.2.8 Paralleler Ablauf der Stabilitätsanalyse..........167 6.2.9 Erzielte Zeitersparnis....................167 6.3 Zusammenfassung..........................169
Inhalt IX 7 Anwendungen 171 7.1 Neuronale Regelung einer Verladebrücke.............171 7.1.1 Ermittlung der zonenweise affinen Systembeschreibung . 172 7.1.2 Berechnung des Abbruchgebietes.............174 7.1.3 Durchführung der Stabilitätsanalyse............174 7.2 Anfahrregelung für eine automatisch betriebene Kfz-Kupplung . 176 7.2.1 Systembeschreibung....................176 7.2.2 Ermittlung der zonenweise affinen Systembeschreibung . 182 7.2.3 Durchführung der Stabilitätsanalyse............183 7.3 Zusammenfassung..........................187 8 Zusammenfassung 188 A Darstellung konvexer Polyeder 191 A.l Polyederdarstellung mit Eckpunkten ...............191 A.2 Polyederdarstellung mit Hyperebenen...............192 A.3 Universelle Beschreibungsform...................193 B Schnelle Prüfung von Eckpunktsnachbarschaften 196 C Algorithmus zur Entfernung redundanter Nebenbedingungen 199 C.l Erweiterte Vorzeichentestmethode.................199 C.2 Besonderheiten bei Polyedern in der universellen Beschreibungsform .................................207 D Entwickelte objektorientierte Klassenhierarchie 208 E Gewinnung spatförmiger Gebiete 212
X Inhalt F Lineare Optimierung 214 F.l Standardform eines linearen Optimierungsproblems.......215 F.2 Eigenschaften linearer Optimierungsprobleme..........216 F.3 Simplexalgorithmus.........................218 F.3.1 Kanonische Form eines linearen Optimierungsproblems . 218 F.3.2 Simplextableau.......................219 F.3.3 Austauschschritt ......................221 F.3.4 Erzeugen einer zulässigen kanonischen Form.......223 Literatur 226
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