Lineare Algebra und analytische Geometrie:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
1997
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| Ausgabe: | 4., erg. und aktualisierte Aufl. |
| Schriftenreihe: | Grundwissen Mathematik
Springer-Lehrbuch |
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Inhaltsverzeichnis
Teil
Α.
Lineare Algebra
I
Kapitel 1. Vektorräume. 1
§ 1. Der Begriff eines Vektorraumes. 1
1. Vorbemerkung 2. Vektorräume 3. Unterräume 4. Geraden 5. Das Standard¬
beispiel K" 6. Geometrische Deutung 7. Anfänge einer Geometrie im Dl2
§ 2*. Über den Ursprung der Vektorräume. 10
1. Die GRAssMANNsche Ausdehnungslehre 2. Grassmann: Übersicht über die
allgemeine Formenlehre 3. Extensive Größen als Elemente eines Vektorraumes
4. Reaktion der Mathematiker 5. Der moderne Vektorraumbegriff
§ 3. Beispiele von Vektorräumen. 15
1. Einleitung 2. Reelle Folgen 3. Vektorräume von Abbildungen 4. Stetige
Funktionen 5. Reelle Polynome 6*. Reell-analytische Funktionen 7*. Lineare
Differentialgleichungen
η
-ter
Ordnung mit konstanten Koeffizienten 8. Die
Vektorräume
АЬЪ[М,К]
§ 4. Elementare Theorie der Vektorräume. 20
1. Vorbemerkung 2. Homogene Gleichungen 3. Erzeugung von Unterräumen
4. Lineare Abhängigkeit 5. Der Begriff einer Basis 6. Die Dimension eines
Vektorraums 7. Der Dimensions-Satz 8*. Der Basis-Satz für beliebige Vektor¬
räume 9*. Ein Glasperlen-Spiel
§ 5. Anwendungen. 30
1. Die reellen Zahlen als Vektorraum über
Q
2. Beispiele 3. Der Rang einer
Teilmenge 4. Anwendung auf lineare Gleichungssysteme
§ 6. Homomorphismen von Vektorräumen. 35
1. Einleitung 2. Definition und einfachste Eigenschaften 3. Kern und Bild 4. Die
Dimensionsformel für Homomorphismen 5. Äquivalenz-Satz für Homomor¬
phismen 6. Der Rang eines Homomorphismus 7. Anwendung auf homogene
lineare Gleichungen 8. Beispiele 9*. Die Funktionalgleichung f(x + y) =
ƒ(■*)
+/ІУ)
§ 7*. Linearformen und der
duale
Raum. 45
1. Vorbemerkungen 2. Definition und Beispiele 3. Existenz von Linearformen
4. Der Dual-Raum 5. Linearformen des Vektorraums der stetigen Funktionen
§ 8*. Direkte Summen und Komplemente. 48
1. Summe und direkte Summe 2. Komplemente 3. Die Dimensionsformel für
Summen 4. Die Bild-Kern-Zerlegung
X
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 2. Matrizen. 52
§ 1. Erste Eigenschaften. 52
1. Der Begriff einer Matrix 2. Über den Vorteil von Doppelindizes
3. Mat(m,n;K) als K-Vektorraum 4. Das Transponierte einer Matrix
5. Spalten- und Zeilenrang 6. Elementare Umformungen 7. Die Rangglei¬
chung 8. Kästchenschreibweise und Rangberechnung 9. Zur Geschichte des
Rang-Begriffes
§ 2. Matrizenrechnung. 62
1. Arthur Cayley oder die Erfindung der Matrizenrechnung 2. Produkte von
Matrizen 3. Produkte von Vektoren 4. Homomorphismen zwischen Standard-
Räumen 5. Erntezeit 6. Das Skalarprodukt 7*.
Rang A
^
r
8. Kästchenrech¬
nung
§ 3. Algebren. 70
1. Einleitung 2. Der Begriff einer Algebra 3. Invertierbare Elemente 4. Ringe
5. Beispiele
§ 4. Der Begriff einer Gruppe. 73
1. Halbgruppen 2. Gruppen 3. Untergruppen 4. Kommutative Gruppen
5. Homomorphismen 6. Normalteiler 7. Historische Bemerkungen
§ 5. Matrix-Algebren. 79
1. Mat(rt;
/ř)
und GL(n;K) 2. Der Äquivalenz-Satz für invertierbare Matrizen
3. Die Invarianz des Ranges 4. Spezielle invertierbare Matrizen 5*. Zentrali¬
sator und Zentrum 6. Die Spur einer Matrix 7. Die Algebra Mat(2;ÄT)
§ 6. Der Normalformen-Satz. 86
1. Elementar-Matrizen 2. Zusammenhang mit elementaren Umformungen
3. Anwendungen 4*. Die WEYR-FROBENius-Ungleichungen 5. Aufgaben zum
Normalformen-Satz 6. Zur Geschichte des Normalformen-Satzes
§ 7. Gleichungssysteme. 89
1. Erinnerung an lineare Gleichungen 2. Wiederholung von Problemen und
Ergebnissen 3. Der Fall
m
=
n
4. Anwendung des Normalformen-Satzes
5. Lösungsverfahren 6. Basiswechsel in Vektorräumen
§ 8*.
Pseudo-Inverse
. 94
1. Motivation 2. Der Begriff des Pseudo-Inversen 3. Ein Kriterium für
Gleichungssysteme 4. Zerlegung in eine direkte Summe
Kapitel 3. Determinanten. 98
§ 1. Erste Ergebnisse über Determinanten. 98
1. Eine Motivation 2. Determinanten-Funktionen 3. Existenz 4. Eigenschaften
5. Anwendungen auf die Gruppe GL(n;K) 6. Die CRAMERSche Regel
§ 2. Das
Inverse
einer Matrix. 106
1. Vorbemerkung 2. Die Entwicklungs-Sätze 3. Die komplementäre Matrix
4. Beschreibung des
Inversen
§ 3. Existenzbeweise. 109
1. Durch Induktion 2. Permutationen 3. Die LEiBNizsche Formel 4. Permuta¬
tionsmatrizen 5. Ein weiterer Existenzbeweis
§ 4. Erste Anwendungen. 112
1. Lineare Gleichungssysteme 2. Zweidimensionale Geometrie 3. Lineare
Abhängigkeit 4. Rangberechnung 5. Die Determinanten-Rekursionsformel
6. Das charakteristische Polynom 7*. Mehrfache Nullstellen von Polynomen
8*. Eine Funktionalgleichung 9. Orientierung von Vektorräumen
Inhaltsverzeichnis
XI
§ 5. Symmetrische Matrizen. 121
1. Einleitung 2. Der Vektorraum der symmetrischen Matrizen 3. Quadratische
Ergänzung 4. Die jACOBische Normalform 5. Normalformen-Satz 6*. Träg¬
heits-Satz
§ 6. Spezielle Matrizen. 126
1. Schiefsymmetrische Matrizen 2. Die VANDERMONDESche Determinante
3. Bandmatrizen 4. Aufgaben
§ 7. Zur Geschichte der Determinanten. 128
1. Gottfried Wilhelm
Leibniz
2. Baltzer's Lehrbuch 3. Die weitere Entwicklung
Teil B. Analytische Geometrie
Kapitel 4. Elementar-Geometrie in der Ebene. 130
Der pythagoreische Lehrsatz. 130
§ 1. Grundlagen . . . . '. 131
1. Skalarprodukt, Abstand und Winkel 2. Die Abbildung
χ
—>■ x± 3. Geraden
4. Schnittpunkt zwischen zwei Geraden 5. Abstand zwischen Punkt und Gerade
6. Fläche eines Dreiecks 7. Der Höhenschnittpunkt
§ 2. Die Gruppe O{2). 137
1. Drehungen und Spiegelungen 2. Orthogonale Matrizen 3. Bewegungen 4. Ein
Beispiel 5. Die Hauptachsentransformation für 2x2 Matrizen 6. Fix-Geraden
7. Die beiden Orientierungen der Ebene
§ 3. Geometrische Sätze. 141
1. Der Kreis 2. Tangente 3. Die beiden Sehnensätze 4. Der Umkreis eines
Dreiecks 5. Die EuLER-Gerade 6. Der FEUERBACH-Kreis 7. Das Mittendreieck
Kapitel 5. Euklidische Vektorräume. 148
§ 1. Positiv
definite Bilinearformen
. 149
1. Symmetrische Bilinearformen 2. Beispiele 3. Positiv
definite
Bilinearformen
4. Positiv
definite
Matrizen 5. Die CAUCHY-ScHWARZsche Ungleichung
6. Normierte Vektorräume
§ 2. Das Skalarprodukt. 155
1. Der Begriffeines euklidischen Vektorraumes 2. Winkelmessung 3. Orthonor-
malbasen 4. Basisdarstellung 5. Orthogonales Komplement und orthogonale
Summe 6. Linearformen
§ 3. Erste Anwendungen. 162
1. Positiv
definite
Matrizen 2. Die adjungierte Abbildung 3. Systeme linearer
Gleichungen 4. Ein Kriterium für gleiche Orientierung 5*. LEGENDRE-Polynome
§ 4. Geometrie in euklidischen Vektorräumen. 165
1. Geraden 2. Hyperebenen 3. Schnittpunkt von Gerade und Hyperebene
4. Abstand von einer Hyperebene 5*. Orthogonale Projektion 6*. Abstand
zweier Unterräume 7*. Volumenberechnung 8*. Duale Basen
§ 5. Die orthogonale Gruppe. 172
1. Bewegungen 2. Spiegelungen 3. Die
Transi
ti
vität von O(V,a) auf Sphären
4*. Die Erzeugung von
Ο(ν,σ)
durch Spiegelungen 5*. Winkeltreue Ab¬
bildungen
§ 6. Vermischte Aufgaben. 177
XII Inhaltsverzeichnis
Kapitel 6. Der
IR"
als Euklidischer Vektorraum. 179
§ 1. Der
IR"
und die orthogonale Gruppe O(n). 179
1. Der euklidische Vektorraum
IR"
2. Orthogonale Matrizen 3. Die Gruppe
O(n)4. Spiegelungen 5. Erzeugung von O(n) durch Spiegelungen 6*. Drehungen
7. Anwendung der Determinanten-Theorie 8*. Eine Parameterdarstellung
9. Euler, Cauchy, Jacobi und Cayley
§ 2. Die Hauptachsentransformation. 187
1. Problemstellung 2. Der Vektorraum der symmetrischen Matrizen 3. Positiv
semi-definite
Matrizen 4. Das Minimum einer quadratischen Form 5. Satz über
die Hauptachsentransformation 6. Eigenwerte 7. Eigenräume
§ 3. Anwendungen. 195
1. Vorbemerkung 2. Positiv
definite
Matrizen 3. Hyperflächen 2. Grades
4*. Der Quadratwurzel-Satz 5*. Polar-Zerlegung 6*. Orthogonale Normalform
7*. Das MooRE-PENRosE-Inverse
§ 4*.
Topologische
Eigenschaften. 201
1. Zusammenhang 2. Kompaktheit 3. Hauptachsentransformation
Kapitel 7. Geometrie im dreidimensionalen Raum. 204
§ 1. Das Vektorprodukt. 204
1. Definition und erste Eigenschaften 2. Zusammenhang mit Determinanten
3. Geometrische Deutung 4. Ebenen 5. Parallelotope 6. Vektorrechnung im
Anschauungsraum
§ 2*. Sphärische Geometrie. 210
1. Über den Ursprung der Sphärik 2. Das sphärische Dreieck 3. Das
Polardreieck 4. Entfernung auf der Erde
§ 3. Die Gruppe O(3). 214
1. Beschreibung durch das Vektorprodukt 2. Erzeugung durch Drehungen
3. Spiegelungen 4. Fix-Geraden 5. Die Normalform 6. Die Drehachse
7*. Die EuLERSche Formel 8*. Drehungen um eine Achse
§ 4. Bewegungen. 222
1. Fixpunkte 2. Bewegungen mit Fixpunkt 3. Schraubungen
Teil C. Lineare Algebra
II
Kapitel 8. Polynome und Matrizen. 225
§ 1. Polynome. 225
1. Der Vektorraum Pol
AT
2. Pol
К
als Ring 3. Zerfallende Polynome 4. Pol A'als
Hauptidealring 5*. Unbestimmte
§ 2. Die komplexen Zahlen. 230
1. Der Körper
С
der komplexen Zahlen 2. Konjugation und Betrag 3. Der
Fundamentalsatz der Algebra
§ 3. Struktursatz für zerfallende Matrizen. 232
1. Der Begriff der Diagonalisierbarkeit 2. Das charakteristische Polynom
3. Äquivalenz-Satz für Eigenwerte 4. Nilpotente Matrizen 5. Idempotente
Matrizen 6. Zerfallende Matrizen 7. Diagonalisierbarkeits-Kriterium 8*. Ein
Beispiel zum Struktur-Satz 9*. Elementarsymmetrische Funktionen und Po¬
tenzsummen
Inhaltsverzeichnis XIII
§ 4. Die Algebra K\_Ä\. 242
1. Eine Warnung 2. Matrix-Polynome 3. Das Minimalpolynom 4. Eigenwerte
5. Das Rechnen mit Kästchen-Diagonalmatrizen 6. Satz von Cayley 7. Äqui¬
valenz-Satz für Diagonalisierbarkeit 8. Spektralscharen 9. Eigenräume
§ 5. Die JORDAN-CHEVALLEY-Zerlegung. 251
1. Existenz-Satz 2. Summen von diagonalisierbaren Matrizen 3. Die Ein¬
deutigkeit 4. Anwendungen
§ 6. Normalformen reeller und komplexer Matrizen. 254
1. Normalformen komplexer Matrizen 2. Reelle und komplexe Matrizen
3*. Hermitesche Matrizen 4. Invariante Unterräume 5. Die Stufenform 6. Der
Satz über die Stufenform 7. Orthogonale Matrizen 8. Schiefsymmetrische
Matrizen 9*. Normale Matrizen
§ 7*. Der höhere Standpunkt. 261
1. Einfache und halbeinfache Algebren 2. Kommutative Algebren 3. Die
Struktursätze 4. Die weitere Entwicklung 5. Der
generische
Standpunkt
Kapitel 9. Homomorphismen von Vektorräumen. 264
§ 1. Der Vektorraum Hom(F,
V')
. 264
1. Der Vektorraum AbbiA/,
V')
2.
Нот(И,
V')
als Unterraum von Ahh(V,
V')
3. MatOi,«;/^) als Beispiel 4. Verknüpfungen von Hom(F,
ľ')
und
Horní K',
V")
§ 2. Beschreibung der Homomorphismen im endlich-dimensionalen Fall . 266
1. Isomorphie mit Standard-Räumen 2. Darstellung der Homomorphismen
3. Basiswechsel 4. Die Algebra
End V
5. Diagonalisierbarkeit 6. Die Links¬
multiplikation in Mat(n;X) 7. Polynome
§ 3. Euklische Vektorräume. 270
1. Der Satz über die Hauptachsentransformation 2. Spiegelungen 3*. Unitäre
Vektorräume
§ 4. Der Quotientenraum. 273
1. Einleitung 2. Nebenklassen 3. Der Satz über den Quotientenraum 4. Der Satz
über den kanonischen Epimorphismus 5. Kanonische Faktorisierung
6. Anwendungen 7. Beispiele
§ 5*. Nilpotente Endomorphismen. 276
1. Problemstellung 2. Zyklische Unterräume 3. Der Struktur-Satz 4. Nilzykli¬
sche Matrizen 5. Die Normalform 6. Satz von der JoRDANschen Normalform
7. Anwendungen auf Differentialgleichungen
Literatur. 281
Namenverzeichnis. 282
Sachverzeichnis. 284 |
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