Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie: mit einem Ausblick auf die Seiberg-Witten-Theorie
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| Veröffentlicht: |
Braunschweig [u.a.]
Vieweg
1997
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Inhaltsverzeichnis
1 Clifford Algebren und Spin Darstellung 1
1.1 Lineare Algebra quadratischer Formen 1
1.2 Die Clifford Algebra einer quadratischen Form 3
1.3 Clifford Algebren reeller, negativ definiter quadratischer Formen . . 11
1.4 Die Pin und die Spin Gruppe 15
1.5 Die Spin Darstellung 22
1.6 Die Gruppe Spinc 27
1.7 Reelle und quaternionische Strukturen im Raum der n Spinoren ... 31
1.8 Literatur und Aufgaben 36
2 Spin Strukturen 38
2.1 Existenz und Klassifikation von Spin Strukturen eines
SO (n) Hauptfaserbündels 38
2.2 Beschreibung von Spin Strukturen in Überlagerungen 46
2.3 Spin Strukturen von G Hauptfaserbündeln 49
2.4 Existenz von Spinc Strukturen 52
2.5 Assoziierte Spinorbündel 59
2.6 Literatur und Aufgaben 62
3 Dirac Operatoren 63
3.1 Zusammenhänge in Spinorbündeln 63
3.2 Der Dirac und der Laplace Operator im Spinorbündel 74
3.3 Die Lichnerowicz Formel 79
3.4 Hermitesche Mannigfaltigkeiten und Spinoren 80
3.5 Der Dirac Operator eines Riemannsch symmetrischen Raumes .... 91
3.6 Literatur und Aufgaben 97
4 Analytische Eigenschaften der Dirac Operatoren 100
4.1 Die wesentliche Selbstadjungiertheit von Dirac Operatoren in l? . . 100
4.2 Das Spektrum von Dirac Operatoren über kompakten Mannigfaltig¬
keiten 107
4.3 Dirac Operatoren sind Fredholm Operatoren 117
4.4 Literatur und Aufgaben 122
5 Abschätzungen der Eigenwerte des Dirac Operators und Lösungen
der Twistorgleichung. 125
5.1 Abschätzungen von unten der Eigenwerte des Dirac Operators. . . . 125
5.2 Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Killing Spinoren 128
5.3 Die Twistorgleichung auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten 134
5.4 Abschätzungen von oben der Eigenwerte des Dirac Operators .... 137
5.5 Literatur und Aufgaben 140
6 Anhang 1: Seiberg Witten Invarianten 142
6.1 Zur Topologie 4 dimensionaler Mannigfaltigkeiten 142
XII
6.2 Die Seiberg Witten Gleichung 146
6.3 Die Seiberg Witten Invariante 151
6.4 Verschwindungssätze 158
6.5 Der Fall dimOJlL(p) = 0 160
6.6 Der Kähler Fall 161
6.7 Literatur 169
7 Anhang 2: Hauptfaserbündel und Zusammenhänge 170
7.1 Lokal triviale Faserungen, Hauptfaserbündel, assoziierte Bündel und
Vektorbündel Beispiele und Definitionen 170
7.2 Der Klassifizierungsraum einer topologischen Gruppe und die Homo
topieklassifikation der Hauptfaserbündel 177
7.3 Zusammenhänge in Hauptfaserbündeln 178
7.4 Absolutes Differential und Krümmung eines Zusammenhangs .... 182
7.5 Zusammenhänge in {/(l) Hauptfaserbündeln und der Satz von Weyl 186
7.6 Induzierte Zusammenhänge und Reduktion eines Zusammenhangs . 190
7.7 Die globale Variante des Frobenius Theorems 191
7.8 Der Satz von Freudenthal Yamabe 194
7.9 Holonomietheorie 194
Literatur 196
Namens und Sachverzeichnis 207
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