Alte und neue ungelöste Probleme in der Zahlentheorie und Geometrie der Ebene:
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Basel [u.a.]
Birkhäuser
1997
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort ix
Kapitel 1. Zweidimensionale Geometrie
Einleitung 1
Teil 1: Grundlagen
1. Beleuchtung eines Polygons
Läßt sich jeder reflektierende Polygonbereich beleuchten? 3
2. Äquichordale Punkte
Kann ein ebener konvexer Körper zwei äquichordale Punkte haben? .... 10
3. Zusammenschieben von Kreisscheiben
Kann sich die Vereinigungsfläche kongruenter Kreisscheiben
vergrößern, wenn sie näher zusammengeschoben werden? 14
4. Universelle Überdeckungen
Wie klein kann die Fläche eines konvexen Körpers C sein, wenn dieser
ein Translat jeder ebenen Menge mit Einheitsdurchmesser enthält? 18
5. Bilden konvexer Polygone
Wieviele Punkte werden benötigt, um ein konvexes n-Eck
bilden zu können? 22
6. Punkte auf Geraden
Falls n Punkte der Ebene nicht kollinear sind, liegt dann einer von
ihnen notwendigerweise auf wenigstens ^n Verbindungsgeraden? 25
7. Parkettierungen der Ebene
Gibt es ein Polygon, das die Ebene parkettiert, sie aber nicht
periodisch parkettieren kann? 31
8. Färbungen der Ebene
Welches ist die Minimalzahl von Farben, mit denen man die
Ebene so färben kann, daß keine zwei Punkte mit Einheitsabstand
die gleiche Farbe erhalten? 40
9. Die Quadratur des Kreises
Kann ein Kreis in endlich viele Mengen zerlegt werden, die sich zu
einem Quadrat zusammensetzen lassen? 44
10. Approximation durch rationale Mengen
Enthält die Ebene eine dichte rationale Menge? 47
11. Einbeschriebene Quadrate
Enthält jede einfache geschlossene Kurve in der Ebene alle
vier Ecken eines Quadrates? 50
12. Fixpunkte
Hat jedes nichtseparierende ebene Kontinuum die
Fixpunkteigenschaft? 58
vi Inhaltsverzeichnis
Teil 2: Weiterführende Betrachtungen
1. Beleuchtung eines Polygons 63
2. Äquichordale Punkte 71
3. Zusammenschieben von Kreisscheiben 76
4. Universelle Überdeckungen 80
5. Bilden konvexer Polygone 84
6. Punkte auf Geraden 90
7. Parkettierungen der Ebene 97
8. Färbungen der Ebene 105
9. Die Quadratur des Kreises 112
10. Approximation durch rationale Mengen 116
11. Einbeschriebene Quadrate 120
12. Fixpunkte 127
Literaturhinweise 133
Kapitel 2. Zahientheorie
Einleitung 151
Teil 1: Grundlagen
13. Die Fermatsche Vermutung
Gibt es positive ganze Zahlen x, y und z und eine ganze
Zahl n 3, so daß x + y = z gilt? 152
14. Eine perfekte Schachtel
Gibt es eine Schachtel mit ganzzahligen Seiten, so daß die drei Flächen¬
diagonalen und die Hauptdiagonale alle von ganzzahliger Länge sind? .. 156
15. Ägyptische Brüche
Läßt sich mit Hilfe des Greefoy- Algorithmus ein Bruch mit ungeradem
Nenner immer als Summe von Stammbrüchen mit ungeraden Nennern
ausdrücken? 158
16. Vollkommene Zahlen
Gibt es eine ungerade vollkommene Zahl? Gibt es unendlich
viele gerade vollkommene Zahlen? 160
17. Die Riemannsche Vermutung
Haben die nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion
alle den Realteil ±? 163
18. Primfaktorzerlegung
Gibt es einen Polynomialzeit-Algorithmus zur Zerlegung einer Zahl
in Primfaktoren? 167
19. Das 3n + 1 Problem
Wird jede positive ganze Zahl durch die Funktion 3n + 1 in den
Wert 1 überführt? 171
Inhaltsverzeichnis VÜ
20. Diophantische Gleichungen und Computer
Gibt es einen Algorithmus, der für ein gegebenes Polynom P
mit ganzzahligen Koeffizienten entscheidet, ob es rationale
Zahlen qt mit P(q,, q2, j3,...) = 0 gibt? 175
Teil 2: Weiterführende Betrachtungen
13. Die Fermatsche Vermutung 179
14. Eine perfekte Schachtel 183
15. Ägyptische Brüche 185
16. Vollkommene Zahlen 188
17. Die Riemannsche Vermutung 193
18. Primfaktorzerlegung 198
19. Das 3n + 1 Problem 202
20. Diophantische Gleichungen und Computer 207
Literaturhinweise 211
Kapitel 3. Interessante reelle Zahlen
Einleitung 217
Teil 1: Grundlagen
21. Gesetzmäßigkeiten bei 7T
Weisen die Ziffern in der Dezimalbruchentwicklung von n keinerlei
Gesetzmäßigkeiten auf? 218
22. Beziehungen zwischen n und e
Sind 7r und e algebraisch unabhängig? Ist ihr Verhältnis rational? 220
23. Berechnung algebraischer Zahlen
Ist eine irrationale Zahl notwendigerweise transzendent, wenn sie
in Echtzeit berechenbar ist? Ist fl in Echtzeit berechenbar? 221
24. Summierung der Kehrwerte von Potenzen
Ist 1 + ^ + p + 55 H irrational? 224
Teil 2: Weiterführende Betrachtungen
21. Gesetzmäßigkeiten bei n 227
22. Beziehungen zwischen n und e 230
23. Berechnung algebraischer Zahlen 232
24. Summierung der Kehrwerte von Potenzen 235
Literaturhinweise 240
VÜi Inhaltsverzeichnis
Hinweise und Lösungen
Zweidimensionale Geometrie 243
Zahlentheorie 271
Interessante reelle Zahlen 281
Anhang 285
Glossar 291
Namensverzeichnis 299
Stichwortverzeichnis 304
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