Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II: 1 Fachdidaktische Grundfragen - Didaktik der Analysis
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| Veröffentlicht: |
Braunschweig [u.a.]
Vieweg
1997
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Inhaltsverzeichnis1
TEIL
IN DER SEKUNDARSTUFE
Verfasser: U.-P. Tietze (Kap. 1,2, 3,5), F. Förster (Kap. 4)
1 AUSWAHL UND BEGRÜNDUNG VON ZIELEN, INHALTEN UND METHODEN.........1
1.1 Grundfragen und Entwicklungen in der Curriculumdiskussion...............................................2
1.1.1 Der Reformaufbrach in den sechziger Jahren und die Konsequenzen als
einführendes Beispiel einer Curriculumdiskussion..................................................................2
1.1.2 Historische Entwicklungen und didaktische Strömungen des Mathematikunterrichts.............4
1.1.3 Elemente der didaktischen Curriculumdiskussion..................................................................10
Exkurs: Globale Curriculumrevision? *.................................................................................11
Exkurs:
Allgemeinbildung und Unterrichtskultur................................................................................12
Wissenschafisorientierung und Wissenschafispropädeutik....................................................15
Exemplarisches Lehren und Lernen.......................................................................................16
Vorstellungen von Lehrern zum
1.1.4 Merkmale von Grand-und Leistungskursen..........................................................................17
Grund- und Leistungskurse aus der Sicht des Lehrers...........................................................18
1.2 Zur Begründung von Zielen für den MU in der
1.2.1 Allgemeine und spezielle inhaltsbezogene Ziele....................................................................22
Die Vermittlung eines angemessenen Bildes von Mathematik als allgemeines
inhaltsbezogenes Ziel..............................................................................................................23
Spezielle inhaltsbezogene Qualifikaüonen.............................................................................25
1.2.2 Allgemeine verhaltensbezogene Ziele....................................................................................27
Ein Katalog allgemeiner verhaltensbezogener Lernziele für den MU der
Vertiefung: Ergänzende Erläuterung allgemeiner verhaltensbezogener Lernziele *.............32
1.3 Fundamentale Ideen................................................................................................................37
Leitideen, bereichsspezifische Strategien, zentrale Mathematisierungsmuster......................40
1.4 Zur Rolle des Rechners im Mathematikunterricht.................................................................42
Mögliche Funktionen von Rechnern im Mathematikunterricht..............................................45
Wichtige Inhalte in neuem Licht.............................................................................................47
Aufgaben, Wiederholung, Ergänzung..............................................................................................48
2 LERNEN UND LEHREN VON BEGRIFFEN UND REGELN............................................50
2.1 Elemente des Begriffs- und Regellernens aus psychologischer Sicht.....................................51
Sinnvolles rezeptives Lernen...................................................................................................52
Subjektive Aspekte der Begriffsbildung..................................................................................54
Repräsentation........................................................................................................................55
2.2 Besonderheiten mathematischer Begriffs- und Theoriebildung..............................................56
2.2.1 Begriffsbildung im Mathematikunterricht..............................................................................57
Zur Bedeutung mathematischer Begriffe................................................................................58
2.2.2 Begriffsentwicklung und Exaktifizieren *..............................................................................60
Exkurs in die Algebra.............................................................................................................63
2.2.3 Elementarisieren - zum Verhältnis von Fach- und Schulmathematik *.................................64
2.3 Exkurs: Lern- und Lehrschwierigkeiten *..............................................................................64
2.3.1 Einführende Überlegungen.....................................................................................................65
Abschnitte zur Vertiefung sind mit * gekennzeichnet. Die Numerierung von Bildern und Schemata
bezieht sieb auf die Kapitel (oberste Gliederangsebene). Die Numerierung von Beispielen und
Aufgaben erfolgt auf der Ebene der Hauptabschnitte (zweite Ebene, etwa Beispiel 2 in 2.3).
χ
Schema
Lernschwierigkeiten in der Algebra........................................................................................67
2.3.2 Semantischer Aspekt: das Aufstellen und Interpretieren von Termen und Formeln...............68
2.3.3 Syntaktisch-algorithmischer Aspekt........................................................................................69
Das algorithmische Lösen einfacher Aufgaben.......................................................................69
„Generalregeln als Ursache von Fehlern.............................................................................72
Zusätzliche Schwierigkeiten einer „höheren Algebra...........................................................73
Folgerungen und Konsequenzen.............................................................................................74
2.4 Formen von Unterricht und Lehrverfahren.............................................................................74
2.4.1 Einruhrang..............................................................................................................................74
Exkurs: Modell-Lernen *........................................................................................................75
2.4.2 Drei idealtypische Lehrverfahren............................................................................................76
Ausubels Verfahren des expositorischen Lehrens...................................................................77
Verfahren des entdeckenlassenden
Der fragend-entwickelnde Unterricht.....................................................................................80
2.5 Methodische Hinweise zum Lehren mathematischer Begriffe, Theorien und Regeln............82
2.5.1 Allgemeine methodische Hinweise und fachdidaktische Prinzipien.......................................82
Das Anerkennen von Vorwbsen..............................................................................................82
Das Subsumieren unter Oberbegriffe: geeignete Ankerideen und Grundvorstellungen.........83
Fachdidaktische Prinzipien.....................................................................................................84
2.5.2 Zur Planung des Begriffs-und Regeliehrens...........................................................................86
Mittelfristige Planung.............................................................................................................86
Kurzfristige Planung...............................................................................................................87
Verstehen und Verstehenskontrolle.........................................................................................88
Aufgaben, Wiederholung, Anregungen zur Diskussion...................................................................89
3 PROBLEME ENTDECKEN, PROBLEME LÖSEN..............................................................91
3.1 Einführendes Beispiel zum Problemlösen...............................................................................92
Problemkontext Lineares Optimieren......................................................................................92
3.2 Charakteristische Aspekte von Problemen..............................................................................93
Problem/context
3.3 Heuristische Verfahrensregeln und prozeßorientierte Hilfen..................................................98
3.3.1 Globale Heuristiken................................................................................................................99
3.3.2 Lokale Heuristiken................................................................................................................102
3.4 Ziele und Methoden eines problemorientierten Unterrichts..................................................108
3.4.1 Vorstellungen über einen problemorientierten Unterricht und seine Ziele...........................108
3.4.2 Problemorientierung im alltäglichen Unterricht....................................................................110
3.4.3 Zur Förderang von Problemlösefähigkeiten..........................................................................112
Problemkontext Funktionen, Kurven und deren Krümmung................................................114
3.5 Exkurs: Empirische Untersuchungen zum Problemlösen *...................................................117
Quellen für Problemkontexte..........................................................................................................119
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.................................................................119
4 ANWENDEN, MATHEMATISIEREN, MODELLBILDEN...............................................121
4.1 Mathematisieren und Modellbilden.......................................................................................121
Der Modellbildungsprozeß....................................................................................................121
Deskriptive und normative Modelle......................................................................................125
Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Modellbildung................................................126
4.2 Tendenzen und Strömungen zur Anwendungsorientierung von MU....................................128
4.2.1 Historische Entwicklungen und neuere Tendenzen in der
fachdidaktischen Diskussion.................................................................................................128
4.2.2 Ziele eines anwendungsorientierten Mathematikunterrichts.................................................131
Inhaltsverzeichnis____________________________________________________________________XI_
4.3 Anwendungsorientierung im alltäglichen Mathematikunterricht.........................................133
4.3.1 Unterrichtsbeispiele zum anwendungsorientierten Mathematikunterricht............................134
Das Beispiel „Verkehrsdurchsatz .......................................................................................134
Das Beispiel „AIDS-Test ....................................................................................................136
Von der Einkleidung zum Sachproblem................................................................................137
Kleinvieh macht auch Mist — „Massentierhaltung und andere Ideine Beispiele................139
4.3.2 Welche Rolle spielt die Anwendungsorientierung in der Unterrichtspraxis?.......................140
4.3.3 Methodische Einzelfragen zum anwendungsorientierten MU..............................................142
4.4 Exkurs: Numerische Mathematik im anwendungsorientierten MU *...................................145
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.................................................................148
5 BEWEISEN, BEGRÜNDEN, ARGUMENTIEREN............................................................151
5.1 Beweisen, Begründen, Argumentieren — eine einfuhrende Analyse.....................................151
Der Beweis in der Fachwissenschaft....................................................................................151
Axiomensysteme....................................................................................................................152
Historischer Exkurs zum Beweisen, zur Rolle der Anschauung und
der Formalisierung *............................................................................................................153
Exkurs über die Rolle des Computers beim Beweisen *....................................................... 155
Anschauliches und präformales Beweisen; lokales und globales Ordnen............................156
Begründen und Argumentieren -Formen, Darstellung und Allgemeingültigkeit................158
5.2 Zur Praxis des Beweisens.....................................................................................................159
5.2.1 Der Begriff der Argumentationsbasis und subjektive Aspekte des Beweisens.....................159
Definitionen und Schlußregeln als Teil der Argumentationsbasis........................................161
5.2.2 Praxis des Beweisens im Mathematikunterricht...................................................................164
5.3 Zielanalyse zum Begründen und Beweisen..........................................................................166
5.4 Methodische Überlegungen zum Begründen und Beweisen................................................169
Überprüfen und Bewerten von Schülerbeweisen..................................................................174
Kriterien für einen didaktisch guten Beweis.........................................................................175
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.................................................................176
TEIL
Verfasser:
6 HISTORISCHE ENTWICKLUNG, BEZIEHUNGSNETZE UND
FUNDAMENTALE IDEEN.................................................................................................178
6.1 Entwicklung der Infinitesimalrechnung................................................................................179
6.2 Leitideen und fachlicher Hintergrund...................................................................................183
6.2.1 Reelle Zahlen.
Zum Funktionsbegriff...........................................................................................................185
Funktionen von mehreren Variablen....................................................................................187
Zum Kurvenbegriff,...............................................................................................................188
Zum Grenzwert- und Stetigkeitsbegriff.................................................................................188
6.2.2 Ableitung und Integral..........................................................................................................190
Zum Ableitungsbegriff..........................................................................................................191
Ableitungsfunktion, Stammfunktion......................................................................................196
Globale Sätze........................................................................................................................197
Zum Integralbegriff..............................................................................................................198
Bogenlänge und Krümmung.................................................................................................200
6.3 Zentrale Mathematisierungsmuster und bereichsspezifische Strategien...............................201
6.3.1 Verwendungssituationen und Zentrale Mathematisierungsmuster.......................................201
Mathematisierungsmuster in Physik und Technik................................................................202
Mathematisierungsmuster in Biologie, Chemie, Medizin.....................................................206
Mathematisierungsmuster in Wirtschafts- und Sozialwissenschaften...................................207
XII
6.3.2 Bereichsspezifische Strategien..............................................................................................211
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.................................................................216
7 ALLGEMEINE DIDAICTISCHE FRAGEN ZUM ANALYSISUNTERRICHT.................218
7.1 Fachdidaktische Strömungen und Entwicklungen zum Analysisunterricht..........................218
7.1.1 Ein historischer Überblick.....................................................................................................218
7.1.2 Positionen gegen die Neue Mathematik................................................................................220
7.1.3 Positionen gegen das Vorherrschen „sinnentleerter Kalküle ...............................................221
Problemorientierung........................,....................................................................................222
Anwendungsorientierung......................................................................................................223
Der Rechner im Analysisunterricht.......................................................................................224
Schülerorientierte
7.1.4 Das Schulbuch im Analysisunterricht...................................................................................228
7.2 Der Analysisunterricht aus der Sicht des Lehrers..................................................................232
Der formale und der anwendungsbezogene Aspekt der
7.3 Der Schüler im Analysisunterricht........................................................................................236
Das „Analysis-Bild des Schülers........................................................................................236
Algebrabezogene Lernprobleme im Analysisunterricht........................................................236
Graphen- und anschauungsbezogene Schwierigkeiten und Probleme zur
Beziehung zwischen formalem und graphischem Aspekt.......................................................238
Begrifflich-logische Probleme...............................................................................................238
7.4 Zur Rechtfertigung und zur Realisierung eines veränderten Analysisunterrichts.................240
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.................................................................241
8 DIDAKTISCHE DISKUSSION VON EINZELTHEMEN...................................................244
8.1 Reelle Zahlen, Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit...............................................................244
8.1.1 Reelle Zahlen........................................................................................................................244
8.1.2 Funktionen............................................................................................................................245
Transzendente Funktionen....................................................................................................248
2мг
Zur Logarithmusfunktion......................................................................................................250
Zu trigonometrischen Funkthnen.........................................................................................250
Funktionen von mehreren Veränderlichen............................................................................251
8.1.3 Folgen-, Grenzwert- und Stetigkeitsbegriff...........................................................................252
Zum Stetigkeitsbegriff............................................................................................................255
8.2 Differentialrechnung.............................................................................................................257
8.2.1 Einführung des Ableitungsbegriffs.......................................................................................257
Zwei Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff ..................................................................257
Zum Begriff der Tangente.....................................................................................................259
Einstiege in die Differentialrechnung...................................................................................261
Ableitungsfunktion, Stammfunktion, graphisches Ab- und Aufleiten....................................263
8.2.2 Ableitungsregeln und die Ableitung elementarer Funktionen...............................................264
Rationale Funktionen und Wurzelfunktionen........................................................................264
Produkt-, Quotienten- und Kettenregel.................................................................................265
Ableitung der Winkelfunktionen............................................................................................267
Ableitung der
8.2.3 Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung......................................271
Monotonie und Krümmung...................................................................................................271
Lokale Eigenschaften von Funktionen (Extrem- und Wendestellen).....................................272
Extremwertaufgaben und Funktionsbestimmungen..............................................................273
Approximation und Interpolation..........................................................................................274
8.2.4 Exaktifizierungen und Vertiefungen.....................................................................................275
Begriffsklärungen und Erörterung von Fehlvorstellungen...................................................275
Inhaltsverzeichnis____________________________________________________________
Ein lokales und globales Ordnen der zentralen Sätze der
Vertiefende Betrachtungen zur Approximation....................................................................277
8.3 Zur Integralrechnung............................................................................................................279
8.3.1 Grundverständnis und Zugänge zum Integralbegriff............................................................280
Andere Zugänge....................................................................................................................284
8.3.2 Zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung........................................................284
8.3.3 Integrationskalkül und Numerische Verfahren.....................................................................287
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.................................................................292
9 BEISPIELE ZUR PROBLEM- UND ANWENDUNGSORIENTIERUNG IM
ANALYSISUNTERRICHT.................................................................................................296
9.1 Funktionen, Kurven, Kurvenscharen und graphikfähige TR................................................296
9.1.1 Einführung in das Arbeiten mit dem graphikfähigen Taschenrechner.................................296
9.1.2 Beispiele zur Untersuchung von Funktionen und Kurvenscharen........................................300
Ortskurven von Parabelscharen...........................................................................................300
Klassifikation einer Funktionsschar.....................................................................................301
Kurvenscharen: Rollkurven (Kreiszykloiden).......................................................................302
9.2 Optimieren, Interpolieren und Approximieren.....................................................................304
9.2.1 Das Extremwertproblem „Milchtüte ...................................................................................306
9.2.2 Das allgemeine isoperimetrische Problem............................................................................308
9.2.3 Die „Trassierung von Autobahnkreuzen .............................................................................309
9.3 Wachstumsfragen und Dynamische Systeme.......................................................................311
9.3.1 Wachstumsfragen: Differentialgleichungen, Differenzengleichungen.................................311
Einfache Wachstumsmodelle................................................................................................312
Differenzengleichungen oder Differentialgleichungen im MU?...........................................315
Exkurs: Chaos bei der logistischen Abbildung *..................................................................316
9.3.2 Systemdynamik *.................................................................................................................317
Die Sensitivität von Systemen..............................................................................................318
Vernetzung - Wechselwirkung zwischen Populationen, Räuber-Beute-Systeme..................318
Zeitverzögerte Rückkopplungen............................................................................................320
Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.................................................................322
LITERATURVERZEICHNIS.......................................................................................................325
STICHWORTVERZEICHNIS......................................................................................................341
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