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Finite Elemente: Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie

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Bibliographic Details
Main Author:	Braess, Dietrich 1938- (Author)
Format:	Book
Language:	German
Published:	Berlin [u.a.] Springer 1997
Edition:	2., überarb. Aufl.
Series:	Springer-Lehrbuch
Subjects:	Mathematisches Modell Elasticity > Mathematical models Finite element method Finite-Elemente-Methode Lehrbuch
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adam_text	Inhaltsverzeichnis Vorwort v Vorwort zur ersten Auflage vi Bezeichnungen xiii Kapitel I Einführung 1 § 1. Beispiele und Typeneinteilung 2 Beispiele 2 — Typeneinteilung 7 — Sachgemäß gestellte Probleme 8 § %) Maximumprinzip 11 Beispiele 12 — Folgerungen 13 § 3} Differenzenverfahren 15 Diskretisierung 15 — Diskretes Maximumprinzip 18 § 4.; Eine Konvergenztheorie für Differenzenverfahren 21 Konsistenz 21 — Lokaler und globaler Fehler 21 — Grenzen der Konver¬ genztheorie 24 Kapitel II Konforme Finite Elemente 26 § l.'^obolev Räume 27 Einführung der Sobolev Räume 27 — Die Friedrichssche Ungleichung 29 — Singularitäten von H1 Funktionen 30 — Kompakte Einbettungen 31 , § 2. Variationsformulierung elliptischer Randwertaufgaben 2. Ordnung 33 Variationsforrnulierung 34 — Reduktion auf homogene Randbedingungen 35 — Existenz von Lösungen 37 — Inhomogene Randbedingungen 40 § 3. Die Neumannsche Randwertaufgabe. Ein Spursatz 42 Elliptizität in H1 42 — Randwertaufgaben mit natürlichen Randbedingungen 43 — Neumannsche Randbedingungen 44 — Gemischte Randbedingungen 45 — Beweis des Spursatzes 45 — Praktische Konsequenzen aus dem Spursatz 48 ; § 4.' Ritz Galerkin Verfahren und einfache Finite Elemente 51 Modellproblem 54 , § 5j Einige gebräuchliche Finite Elemente 57 •:S Forderungen an die Triangulierung 58 — Bedeutung der Differenzierbarkeits eigenschaften 59 — Dreieckelemente mit vollständigen Polynomen 61 — Bemerkung zu C1 Elementen 62 — Bilineare Elemente 64 — Quadratische x Inhaltsverzeichnis Viereckelemente 66 — Affine Familien 66 — Zur Auswahl von Elementen 69 § 6. Approximationssätze 71 Der Fragenkreis um das Bramble Hilbert Lemma 72 — Dreieckelemente mit vollständigen Polynomen 73 — Bilineare Viereckelemente 77 — Inverse Abschätzungen 78 — Clements Operator 79 — Anhang: Zur Optimalität der Abschätzungen 80 § 7. Fehlerabschätzungen für elliptische Probleme zweiter Ordnung 83 Bemerkungen zu Regularitätssätzen 83 — Fehlerabschätzungen in der Ener¬ gienorm 84 — L2 Abschätzungen 85 — Eine einfache Lqo Abschätzung 87 — Der L2 Projektor 88 § 8. Rechentechnische Betrachtungen 90 Das Aufstellen der Steifigkeitsmatrix 90 — Innere Kondensation 92 — Auf¬ wand für das Aufstellen der Matrix 93 — Rückwirkung auf die Wahl des Netzes 93 — Teilweise Netzverfeinerungen 93 Kapitel III Nichtkonforme und andere Methoden 97 § 1. Abstrakte Hilfssätze und eine einfache Randapproximation 98 Die Lemmas von Strang 98 — Dualitätstechnik 100 — Das Crouzeix Raviart Element 101 — Eine einfache Approximation krummliniger Ränder 104 — Modifikationen beim Dualitätsargument 106 § 2. Isoparametrische Elemente 109 Isoparametrische Dreieckelemente 109 — Isoparametrische Viereckelemente 111 § 3. Weitere funktionalanalytische Hilfsmittel 114 Negative Normen 114 — Adjungierte Operatoren 116 — Ein abstrakter Exi¬ stenzsatz 116 — Ein abstrakter Konvergenzsatz 118 — Beweis von Satz 3.4 119 § 4. Sattelpunktprobleme 121 Sattelpunkte und Minima 121 — Die inf sup Bedingung 122 — Gemischte Finite Element Methoden 126 — Die Laplace Gleichung als gemischtes Pro¬ blem 128 — Das Raviart Thomas Element 130 — Sattelpunktprobleme mit Strafterm 132 § 5. Die Stokessche Gleichung 138 Variationsformulierung 139 — Die inf sup Bedingung 140 — Bemerkungen zur Brezzi Bedingung 141 — Fast inkompressible Strömungen 142 § 6. Finite Elemente für das Stokes Problem 143 Ein instabiles Element 143 — Das Taylor Hood Element 148 — Das MINI Element 149 — Das divergenzfreie nichtkonforme P\ Element 150 Inhaltsverzeichnis xi § 7. A posteriori Abschätzungen 153 Residuale Schätzer 155 — Untere Abschätzungen 157 — Andere Schätzer 159 — Lokale Gitterverfeinerungen 160 Kapitel IV Die Methode der konjugierten Gradienten 161 §1. Klassische Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme . 162 Stationäre lineare Prozesse 162 — Gesamt und Einzelschrittverfahren 164 — Das Modellproblem 167 — Overrelaxation 167 § 2. Gradientenverfahren 171 Das allgemeine Gradientenverfahren 171 — Gradienten verfahren und qua¬ dratische Funktionen 172 — Konvergenzverhalten bei Matrizen mit großer Kondition 174 §3. Verfahren mit konjugierten Gradienten und konjugierten Residuen 177 Der Algorithmus 179 — Analyse des cg Verfahrens als optimales Verfahren 181 — Verfahren der konjugierten Residuen 183 — Indefinite und unsymme¬ trische Matrizen 184 § 4. Vorkonditionierung 186 Vorkonditionierung durch SSOR 189 — Vorkonditionierung durch ILU 190 — Bemerkungen zur Parallelisierung 192 — Nichtlineare Probleme 193 § 5. Sattelpunktprobleme 196 Der Uzawa Algorithmus und seine Varianten 196 — Eine Alternative 198 Kapitel V Mehrgitterverfahren 200 §J/ Mehrgitterverfahren für Variationsaufgaben 201 Glättungseigenschaften klassischer Iterationsverfahren 201 — Die Mehrgit¬ ter Idee 202 — Der Algorithmus 203 — Der Übergang zwischen den Gittern 206 , §^ Konvergenz von Mehrgitterverfahren 211 Diskrete Normen 212 — Verknüpfung mit den Sobolev Normen 214 — Ap¬ proximationseigenschaft 216 — Konvergenzbeweis für das Zweigitterverfah¬ ren 217 — Andere Konzepte 218 § 3. Konvergenz bei mehreren Ebenen 221 Eine Rekursionsformel für den W Zyklus 221 — Die Verschärfung für die Energienorm 222 — Der Konvergenzbeweis für den V Zyklus 224 § 4y Berechnung von Startwerten 229 Bestimmung von Startwerten 229 — Komplexität 231 — Mehrgitterverfahren mit wenigen Ebenen 232 — Der CASCADE Algorithmus 233 xii Inhaltsverzeichnis § 5yNichtlineare Probleme 235 ¦ "' Mehrgitter Newton Verfahren 236 — Das nichtlineare Mehrgitterverfahren 237 — Startwerte 239 Kapitel VI Finite Elemente in der Mechanik elastischer Körper 241 § 1. Einführung in die Elastizitätstheorie 242 Kinematik 242 — Gleichgewichtsbedingungen 244 — Die Piola TransfForma¬ tion 246 — Materialgesetze 247 — Lineare Materialgesetze 251 § 2. Hyperelastische Materialien 253 § 3. Lineare Elastizitätstheorie 256 Das Variationsproblem 256 — Die reine Verschiebungsmethode 260 — Die gemischte Methode nach Hellinger und Reissner 262 — Die gemischte Me¬ thode nach Hu—Washizu 264 — Fast inkompressibles Material 266 — Locking 267 — Locking beim Timoschenko Balken 269 § 4. Scheiben 272 Ebener Spannungszustand 272 — Ebener Verzerrungszustand 273 — Schei¬ benelemente 273 — Das PEERS Element 274 — Zur Implementierung 278 § 5. Balken und Platten: Die Kirchhoff Platte 280 Die Hypothesen 280 — Bemerkungen zu Balken 283 — Gemischte Methoden für die Kirchhoff Platte 283 — DKT Elemente 285 § 6. Die Mindlin Reissner Platte 292 Die Helmholtz Zerlegung 293 — Der gemischte Ansatz mit Helmholtz Zerle gung 295 — MITC Elemente 296 — Der Ansatz ohne Helmholtz Zerlegung 300 Literatur 304 Weitere Literatur zu Finiten Elementen 312 Sachverzeichnis 313
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