Finite Elemente: Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
1997
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| Ausgabe: | 2., überarb. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Springer-Lehrbuch
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort v
Vorwort zur ersten Auflage vi
Bezeichnungen xiii
Kapitel I
Einführung 1
§ 1. Beispiele und Typeneinteilung 2
Beispiele 2 — Typeneinteilung 7 — Sachgemäß gestellte Probleme 8
§ %) Maximumprinzip 11
Beispiele 12 — Folgerungen 13
§ 3} Differenzenverfahren 15
Diskretisierung 15 — Diskretes Maximumprinzip 18
§ 4.; Eine Konvergenztheorie für Differenzenverfahren 21
Konsistenz 21 — Lokaler und globaler Fehler 21 — Grenzen der Konver¬
genztheorie 24
Kapitel II
Konforme Finite Elemente 26
§ l. ^obolev Räume 27
Einführung der Sobolev Räume 27 — Die Friedrichssche Ungleichung 29 —
Singularitäten von H1 Funktionen 30 — Kompakte Einbettungen 31
, § 2. Variationsformulierung elliptischer Randwertaufgaben 2. Ordnung 33
Variationsforrnulierung 34 — Reduktion auf homogene Randbedingungen 35
— Existenz von Lösungen 37 — Inhomogene Randbedingungen 40
§ 3. Die Neumannsche Randwertaufgabe. Ein Spursatz 42
Elliptizität in H1 42 — Randwertaufgaben mit natürlichen Randbedingungen
43 — Neumannsche Randbedingungen 44 — Gemischte Randbedingungen 45
— Beweis des Spursatzes 45 — Praktische Konsequenzen aus dem Spursatz
48
; § 4. Ritz Galerkin Verfahren und einfache Finite Elemente 51
Modellproblem 54
, § 5j Einige gebräuchliche Finite Elemente 57
•:S Forderungen an die Triangulierung 58 — Bedeutung der Differenzierbarkeits
eigenschaften 59 — Dreieckelemente mit vollständigen Polynomen 61 —
Bemerkung zu C1 Elementen 62 — Bilineare Elemente 64 — Quadratische
x Inhaltsverzeichnis
Viereckelemente 66 — Affine Familien 66 — Zur Auswahl von Elementen
69
§ 6. Approximationssätze 71
Der Fragenkreis um das Bramble Hilbert Lemma 72 — Dreieckelemente
mit vollständigen Polynomen 73 — Bilineare Viereckelemente 77 — Inverse
Abschätzungen 78 — Clements Operator 79 — Anhang: Zur Optimalität der
Abschätzungen 80
§ 7. Fehlerabschätzungen für elliptische Probleme zweiter Ordnung 83
Bemerkungen zu Regularitätssätzen 83 — Fehlerabschätzungen in der Ener¬
gienorm 84 — L2 Abschätzungen 85 — Eine einfache Lqo Abschätzung 87
— Der L2 Projektor 88
§ 8. Rechentechnische Betrachtungen 90
Das Aufstellen der Steifigkeitsmatrix 90 — Innere Kondensation 92 — Auf¬
wand für das Aufstellen der Matrix 93 — Rückwirkung auf die Wahl des
Netzes 93 — Teilweise Netzverfeinerungen 93
Kapitel III
Nichtkonforme und andere Methoden 97
§ 1. Abstrakte Hilfssätze und eine einfache Randapproximation 98
Die Lemmas von Strang 98 — Dualitätstechnik 100 — Das Crouzeix Raviart
Element 101 — Eine einfache Approximation krummliniger Ränder 104 —
Modifikationen beim Dualitätsargument 106
§ 2. Isoparametrische Elemente 109
Isoparametrische Dreieckelemente 109 — Isoparametrische Viereckelemente
111
§ 3. Weitere funktionalanalytische Hilfsmittel 114
Negative Normen 114 — Adjungierte Operatoren 116 — Ein abstrakter Exi¬
stenzsatz 116 — Ein abstrakter Konvergenzsatz 118 — Beweis von Satz 3.4
119
§ 4. Sattelpunktprobleme 121
Sattelpunkte und Minima 121 — Die inf sup Bedingung 122 — Gemischte
Finite Element Methoden 126 — Die Laplace Gleichung als gemischtes Pro¬
blem 128 — Das Raviart Thomas Element 130 — Sattelpunktprobleme mit
Strafterm 132
§ 5. Die Stokessche Gleichung 138
Variationsformulierung 139 — Die inf sup Bedingung 140 — Bemerkungen
zur Brezzi Bedingung 141 — Fast inkompressible Strömungen 142
§ 6. Finite Elemente für das Stokes Problem 143
Ein instabiles Element 143 — Das Taylor Hood Element 148 — Das MINI
Element 149 — Das divergenzfreie nichtkonforme P Element 150
Inhaltsverzeichnis xi
§ 7. A posteriori Abschätzungen 153
Residuale Schätzer 155 — Untere Abschätzungen 157 — Andere Schätzer
159 — Lokale Gitterverfeinerungen 160
Kapitel IV
Die Methode der konjugierten Gradienten 161
§1. Klassische Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme ... 162
Stationäre lineare Prozesse 162 — Gesamt und Einzelschrittverfahren 164
— Das Modellproblem 167 — Overrelaxation 167
§ 2. Gradientenverfahren 171
Das allgemeine Gradientenverfahren 171 — Gradienten verfahren und qua¬
dratische Funktionen 172 — Konvergenzverhalten bei Matrizen mit großer
Kondition 174
§3. Verfahren mit konjugierten Gradienten und konjugierten Residuen 177
Der Algorithmus 179 — Analyse des cg Verfahrens als optimales Verfahren
181 — Verfahren der konjugierten Residuen 183 — Indefinite und unsymme¬
trische Matrizen 184
§ 4. Vorkonditionierung 186
Vorkonditionierung durch SSOR 189 — Vorkonditionierung durch ILU 190
— Bemerkungen zur Parallelisierung 192 — Nichtlineare Probleme 193
§ 5. Sattelpunktprobleme 196
Der Uzawa Algorithmus und seine Varianten 196 — Eine Alternative 198
Kapitel V
Mehrgitterverfahren 200
§J/ Mehrgitterverfahren für Variationsaufgaben 201
Glättungseigenschaften klassischer Iterationsverfahren 201 — Die Mehrgit¬
ter Idee 202 — Der Algorithmus 203 — Der Übergang zwischen den Gittern
206
, §^ Konvergenz von Mehrgitterverfahren 211
Diskrete Normen 212 — Verknüpfung mit den Sobolev Normen 214 — Ap¬
proximationseigenschaft 216 — Konvergenzbeweis für das Zweigitterverfah¬
ren 217 — Andere Konzepte 218
§ 3. Konvergenz bei mehreren Ebenen 221
Eine Rekursionsformel für den W Zyklus 221 — Die Verschärfung für die
Energienorm 222 — Der Konvergenzbeweis für den V Zyklus 224
§ 4y Berechnung von Startwerten 229
Bestimmung von Startwerten 229 — Komplexität 231 — Mehrgitterverfahren
mit wenigen Ebenen 232 — Der CASCADE Algorithmus 233
xii Inhaltsverzeichnis
§ 5yNichtlineare Probleme 235
¦ Mehrgitter Newton Verfahren 236 — Das nichtlineare Mehrgitterverfahren
237 — Startwerte 239
Kapitel VI
Finite Elemente in der Mechanik elastischer Körper 241
§ 1. Einführung in die Elastizitätstheorie 242
Kinematik 242 — Gleichgewichtsbedingungen 244 — Die Piola TransfForma¬
tion 246 — Materialgesetze 247 — Lineare Materialgesetze 251
§ 2. Hyperelastische Materialien 253
§ 3. Lineare Elastizitätstheorie 256
Das Variationsproblem 256 — Die reine Verschiebungsmethode 260 — Die
gemischte Methode nach Hellinger und Reissner 262 — Die gemischte Me¬
thode nach Hu—Washizu 264 — Fast inkompressibles Material 266 — Locking
267 — Locking beim Timoschenko Balken 269
§ 4. Scheiben 272
Ebener Spannungszustand 272 — Ebener Verzerrungszustand 273 — Schei¬
benelemente 273 — Das PEERS Element 274 — Zur Implementierung 278
§ 5. Balken und Platten: Die Kirchhoff Platte 280
Die Hypothesen 280 — Bemerkungen zu Balken 283 — Gemischte Methoden
für die Kirchhoff Platte 283 — DKT Elemente 285
§ 6. Die Mindlin Reissner Platte 292
Die Helmholtz Zerlegung 293 — Der gemischte Ansatz mit Helmholtz Zerle
gung 295 — MITC Elemente 296 — Der Ansatz ohne Helmholtz Zerlegung
300
Literatur 304
Weitere Literatur zu Finiten Elementen 312
Sachverzeichnis 313
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