Représentations l-modulaires d'un groupe réductif p-adique avec l p:
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Boston [u.a.]
Birkhäuser
1996
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|---|---|
| adam_text | Table des matières
Introduction xiii
CHAPITRE I. GROUPES LOCALEMENT PROFINIS 1
1. Groupes localement profinis 1
1.1. Définition
1.2 1 3. Propriétés des groupes localement profinis
1.4. Eléments compacts
1.5. Pro ordre
1.6. Propriétés des pro ordres
1.7 1.8. Espace localement profini
1.9. Algèbre avec assez d idempotents
1.10 1.11. Faisceaux sur un espace localement profini
1.12. Sections à support compact
1.13. Action d un groupe localement profini G sur un faisceau
2. Mesure de Haar 10
2.1 2.2. Définitions préliminaires
2.3. Mesure de Haar
2.4. Existence et unicité
2.5. Premières propriétés et exemples
2.6 2.7. Module
2.8. Mesure sur un ensemble quotient
3. Algèbres de Hecke 18
3.1. Algèbre de Hecke globale
3.2. Idempotents
3.3. Algèbre de Hecke relative à K
3.4. Produit dans H(G,K)
3.5 3.6. Trace
3.7. Action du centre
3.8. Caractères non ramifiés
3.9. Caractères de F
3.10. Transformation de Fourier et algèbre de Hecke de Fn
3.11. Algèbre d un système de Coxeter
3.12. Algèbres du groupe symétrique
3.13. Algèbre de Hecke du groupe fini GL(n,Fq)
3.14. Algèbre de Hecke affine du groupe p adique GL(n, F)
3.15. Le cas général
vi Table des matières
4. Représentations 29
4.1. RG module lisse
4.2. Catégorie des TîG modules lisses
4.3. Non exactitude du foncteur partie lisse
4.4. Modules sur les algèbres de Hecke globales
4.5. Modules sur les algèbres de Hecke relatives
4.6. Invariants
4.7 4.8. Coinvariants
4.9. Projectifs, injectifs et invariants, coinvariants
4.10. Coinvariants par l action d un groupe limite de compacts
4.11. Invariants et coinvariants par un caractère
4.12 4.13. Contragrédiente
4.14. Modules réflexifs
4.15. Formes linéaires if invariantes
4.16. Représentation de type fini d un groupe profini
4.17. Représentation admissible
4.18. Propriétés des représentations admissibles
5. Induction 38
5.1. Définition des deux inductions
5.2. Propriétés élémentaires
5.3. Transitivité
5.4. Passage d un groupe à un autre
5.5. Décomposition de Mackey
5.6. Vecteurs fixes par K € il dans une induite. Admissibilité
5.7. Réciprocité de Frobenius. Adjonction
5.8. Transformations naturelles
5.9 5.10. Injectifs projectifs
5.11. Contragrédiente d une induite à support compact
5.12. Non nullité de Extm(7r,7r)
6. Modules et idempotents 48
6.1 6.2. Deux lemmes sur les eTle modules
6.3. e le inodules simples
6.4. e Ae modules de longueur finie
6.5. eAe homomorphismes
6.6. Equivalence de catégories
6.7 6.9. Lemme de Schur
6.10. Module absolument simple
6.11. Caractère central
6.12. Restriction à un sous groupe d indice fini
6.13. Indépendance linéaire des caractères
Table des matières vii
7. Représentations compactes 54
7.1. Coefficient
7.2 7.3. Représentation compacte
7.4 7.5. Compacte = • admissible
7.6. Degré formel
7.7. Formules d orthogonalité de Schur
7.8. Propriétés du degré formel
7.9. Degré formel = projectif, injectif
7.10. Bloc
7.11. Cas d un centre non compact
7.12. Caractères du centre
8. Algèbres de Hecke HR(G,K,a) 64
8.1. Entrelacement dans une représentation
8.2. Opérateur d entrelacement
8.3. Critère d irréductibilité de Mackey
8.4. Représentation Z compacte induite
8.5. Le module M( t, 7r) = RoTaRG(indG,K^,^dc,H^)
8.6. Algèbre de Hecke HR(G,K,a)
8.7 8.9. HR(G,H,a) modules simples M(cr,7r)
8.10. Support des algèbres de Hecke et éléments canoniques
8.11. Inversibilité d un élément canonique
8.12. Nullité de n si n est Z compacte
8.13. Injectivité et t/ coinvariants
8.14. Nullité de 7rCT si nv = 0
9. Réseaux 75
9.1. AG vésean
9.2. AG réseau, A principal
9.3. Propriétés élémentaires des j4G réseaux
9.4. Compacte = ¦ .A entière
9.5. Commensurabilité
9.6. Principe de Brauer Nesbitt
9.7. Contragrédiente
9.8. Réseau dans une algèbre de Hecke, entrelacement
et réduction modulo pa
Appendice A : Rappels sur l adjonction, et Ext .... 83
Enveloppe projective
Blocs d un groupe fini
Appendice B : Modules sur une algèbre 89
Appendice C : Réseau dans un espace vectoriel
de dimension finie 90
viii Table des matières
CHAPITRE II. GROUPES REDUCTIFS p ADIQUES 92
1. Rappels et notations 92
1.1 Triplet parabolique standard
1.2 Groupe de Weyl
1.3 Propriétés de compacité
2. Induction et restriction parabolique 95
2.1. Définition et premières propriétés
2.2 2.3. Représentation cuspidale
2.4. Support cuspidal
2.5. Représentation supercuspidale
2.6. Support supercuspidal
2.7. cuspidale = Z—compacte
2.8. Irréductible = • admissible
2.9. degré formel = projectif
2.10. Caractères non ramifiés
2.11. Restriction à G°
2.12. Bloc cuspidal
2.13. Algèbres de Hecke relative
2.14. Dimension d une sous algèbre commutative de M(n,R)
2.15. Dimension d un Hr(G, /Q module simple
2.16. Support uniforme
2.17. Finitude du nombre de cuspidales
2.18—2.19. Restriction parabolique d une induite parabolique
2.20. Propriétés du support cuspidal
2.21. Longueur finie
2.22 Représentation cuspidale régulière
3. Restriction parabolique et types 110
3.1. Injectivité
3.2 3.3. Surjectivité
3.4 3.5. Restriction parabolique et admissibilité
3.6. Stabilisation
3.7. Décomposition de Casselman
3.8. Restriction parabolique et contragrédiente
3.9. Cas banal
3.10. et longueur finie
3.11. et suite de Jordan Hôlder d une induite
3.12 . et /7R(G,.fc:) modules
3.13. admissible et type fini = longueur finie
3.14. et type fini
3.15. et décomposition de catégorie
Table des matières ix
4. Rationalité et représentations / entières 121
4.1. Corps de rationalité
4.2. Extension finie et semi simplicité
4.3. Propriétés élémentaires
4.4 4.5. Indice de Schur
4.6—4.8. Descente galoisienne
4.9. Cuspidal = réalisable sur R
4.10. Induction et réalisable sur R
4.11. Représentation / entière
4.12 4.13. Cuspidal = / entière
4.14. Propriétés des représentations / entières
5. Types non raffinés minimaux 129
5.1. Rappel de propriétés géométriques
5.2. Type minimal de niveau 0, association,
et réduction modulo /
5.3. Existence d un type ou d une strate minimale
dans une représentation
5.4. Entrelacement de strates
5.5. Lemme de finitude
5.6 5.7. Niveau d une représentation
5.8. Décomposition par le niveau
5.9. Finitude des cuspidales de niveau
5.10. Admissible de type fini = • longueur finie
5.11. Principe de Brauer Nesbitt
5.12. Induction et niveau
5.13. Induction et longueur finie
5.14 5.15. Preuve de (5.12)
CHAPITRE III. REPRESENTATIONS DE GL(n, F) 141
0. Notations 141
1. Dérivées 146
1.1. La représentation mirabolique. Théorème d irréductibilité
1.2. Induction
1.3. Propriétés de l induction
1.4. Dérivées
1.5. Classification
1.6. Niveau mirabolique, dérivée formelle
1.7. Modèle de Whittaker
1.8. Dérivée et restriction parabolique
1.9. Preuve de (l.l.d)
1.10. Dérivée d un produit, formule de Leibniz
x Table des matières
1.11. Unicité du modèle de Whittaker
1.12. Longueur finie
1.13. Une autre preuve du principe de Brauer Nesbitt
1.14. Contragrédiente
1.15. Irréductibilité d une induite
1.16. Suite de Jordan Hôlder d une induite
2. Le groupe fini Gn(q) 156
2.1. Eléments de partie Z régulière donnée
2.2. Représentations cuspidales
2.3. Classes de conjugaison de Gn(q)
2.4. Induites
2.5. Classification
2.6. Algèbre de Hecke
2.7. Irr^Gmnfa) et i/^(m,gn) modules
2.8. Réduction modulo l de la représentation
de Steinberg généralisée
2.9. Enveloppe projective d une supercuspidale
2.10. Le cas banal
3. Représentations de niveau 0 168
3.1. Type et représentation de niveau 0
3.2. Existence d un type minimal de niveau 0
3.3. Type minimal maximal = cuspidale
3.4. Type mixte
3.5. Restriction parabolique (type mixte)
3.6. Algèbre de Hecke d un type simple
3.7. Restriction parabolique (type simple)
3.8. Unicité du type minimal formel
3.9. Lemme
3.10. Relèvement d une cuspidale
3.11. Unicité du modèle de Whittaker
3.12. Propriétés diverses
3.13. Représentation de Steinberg généralisée
3.14. Vecteurs fixes par 1 +pfM(ti,Of)
3.15. Représentation de Steinberg généralisée cuspidale
3.16. Enveloppe projective d une représentation supercuspidale
4. Types de niveau 0 181
4.1. Strates
4.2. Types de niveau r 0
4.3. Existence d un type non raffiné
4.4. Niveau d une représentation irréductible
4.5. Polynôme d une strate ou d un type
Table des matières xi
4.6. Polynôme d une représentation irréductible
4.7 4.8. Description explicite
4.9. Strate simple
4.10. Proposition
4.11. Ordre héréditaire de EndFE
4.12. Relèvement des ordres héréditaires de M{ue, E) à M(n, F)
4.13. Les groupes J*(x, A), H*{x,A)
4.14. Caractère simple 6
4.15. Bijections canoniques entre les caractères simples
4.16. Type de niveau (r, s)
4.17. Représentation d Heisenberg 77
4.18 4.21. Représentation k
4.22 4.23. Représentations irréductibles de J°
4.24. Type de niveau (r, 0)
4.25. Réduction modulo l
4.26. Type minimal effectif
4.27 Extension à E*J°
4.28 Enveloppe projective
4.29 Réduction modulo /
4.30 Décompositions d Iwahori
4.31 Type minimal formel
4.32 Type minimal simple
5. Représentations (le cas général) 204
5.1. Existence d un type minimal
5.2. Représentation non cuspidale
5.3. Type minimal maximal = cuspidale
5.4. Type mixte
5.5. Restriction parabolique
5.6. Algèbre de Hecke d un type simple
5.7. Isomorphisme avec l algèbre de Hecke affine
5.8 Restriction parabolique
5.9. Unicité du type minimal formel
5.10. Cuspidales: Classification, relèvement,
unicité du modèle de Whittaker
5.11. Propriétés diverses
5.12 5.13. Vecteurs fixes par J°Max
5.14. Représentation de Steinberg généralisée cuspidale
5.15. Premier banal
5.16. Enveloppe projective d une supercuspidale
5.17. Bloc d une supercuspidale
xii Table des matières
Notations 219
Bibiliographie 223
Index terminologique 227
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