Mechanik: von den Newtonschen Gesetzen zum deterministischen Chaos ; mit 11 praktischen Übungen und 118 Aufgaben mit vollständigen Lösungen
Gespeichert in:
| Späterer Titel: | Scheck, Florian Theoretische Physik |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
1996
|
| Ausgabe: | 5., korrigierte Aufl. |
| Schriftenreihe: | Springer-Lehrbuch
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XIII, 442 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3540612351 |
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| adam_text | FLORIAN SCHECK
MECHANIK
VON DEN NEWTONSCHEN GESETZEN
ZUM DETERMINISTISCHEN CHAOS
FUENFTE, KORRIGIERTE AUFLAGE
MIT 172 ABBILDUNGEN,
11 PRAKTISCHEN UEBUNGEN
UND 118 AUFGABEN MIT VOLLSTAENDIGEN LOESUNGEN
13
PROFESSOR
DR.
FLORIAN
SCHECK
FACHBEREICH
PHYSIK, INSTITUT FUER PHYSIK
JOHANNES GUTENBERG-UNIVERSITAET, STAUDINGERWEG 7
D-55099 MAINZ
ISBN 3-540-61235-1 5. AUFLAGE SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG NEW YORK
ISBN 3-540-56781-X 4. AUFLAGE SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG NEW YORK
DIE DEUTSCHE BIBLIOTHEK * CIP-EINHEITSAUFNAHME
SCHECK, FLORIAN:
MECHANIK : VON DEN NEWTONSCHEN GESETZEN ZUM DETERMINISTISCHEN CHAOS ;
MIT 11 PRAKTISCHEN UEBUNGEN UND 118 AUFGABEN MIT
VOLLSTAENDIGEN LOESUNGEN / FLORIAN SCHECK. * 5., KORR. AUFL. *
BERLIN ; HEIDELBERG ; NEW YORK ; BARCELONA ; BUDAPEST ; HONGKONG ;
LONDON ; MAILAND ; PARIS ; SANTA CLARA ; SINGAPUR ; TOKIO :
SPRINGER, 1996
(SPRINGER-LEHRBUCH)
ISBN 3-540-61235-1
DIESES WERK IST URHEBERRECHTLICH GESCHUETZT. DIE DADURCH BEGRUENDETEN
RECHTE, INSBESONDERE DIE DER UEBERSETZUNG, DES NACHDRUCKS,
DES VORTRAGS, DER ENTNAHME VON ABBILDUNGEN UND TABELLEN, DER
FUNKSENDUNG, DER MIKROVERFILMUNG ODER DER VERVIELFAELTIGUNG
AUF ANDEREN WEGEN UND DER SPEICHERUNG IN DATENVERARBEITUNGSANLAGEN,
BLEIBEN, AUCH BEI NUR AUSZUGSWEISER VERWERTUNG, VORBEHAL-
TEN. EINE VERVIELFAELTIGUNG DIESES WERKES ODER VON TEILEN DIESES WERKES
IST AUCH IM EINZELFALL NUR IN DEN GRENZEN DER GESETZLICHEN
BESTIMMUNGEN DES URHEBERRECHTSGESETZES DER BUNDESREPUBLIK DEUTSCHLAND
VOM 9. SEPTEMBER 1965 IN DER JEWEILS GELTENDEN FAS-
SUNG ZULAESSIG. SIE IST GRUNDSAETZLICH VERGUETUNGSPFLICHTIG.
ZUWIDERHANDLUNGEN UNTERLIEGEN DEN STRAFBESTIMMUNGEN DES URHEBER-
RECHTSGESETZES.
C
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG 1988, 1990, 1992, 1994, 1996
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IN DIESEM WERK BERECHTIGT AUCH OHNE BESON-
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SATZ: K + V FOTOSATZ, BEERFELDEN
DRUCK UND EINBAND: DRUCKHAUS BELTZ, HEMSBERG/BERGSTRASSE
SPIN: 10535057 56/3144 - 5 4 3 2 1 0 - GEDRUCKT AUF SAEUREFREIEM PAPIER
INHALTSVERZEICHNIS
1. ELEMENTARE NEWTONSCHE MECHANIK
........................................... 1
1.0 DIE NEWTONSCHEN GESETZE (1687) UND IHRE INTERPRETATION . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 1
1.1 GLEICHFOERMIG GERADLINIGE BEWEGUNG UND INERTIALSYSTEME . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 4
1.2 SATZUEBERINERTIALSYSTEME
................................................ 5
1.3 IMPULSUNDKRAFT
........................................................ 5
1.4 TYPISCHE KRAEFTE; BEMERKUNG UEBER MASSEINHEITEN . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 RAUM,ZEITUNDKRAEFTE
................................................... 9
1.6 DASZWEITEILCHENSYSTEMMITINNERENKRAEFTEN
.............................. 10
1.6.1 SCHWERPUNKTS- UND RELATIVBEWEGUNG . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.2 BEISPIEL: GRAVITATIONSKRAFT ZWISCHEN ZWEI HIMMELSKOERPERN
(KEPLERPROBLEM) ................................................. 10
1.6.3 SCHWERPUNKTS- UND RELATIVIMPULS IM ZWEITEILCHENSYSTEM . . . . . .
. . . . . 15
1.7
SYSTEMEVONENDLICHVIELENTEILCHEN...................................... 15
1.8 DER SCHWERPUNKTSATZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9 DERDREHIMPULSSATZ
..................................................... 17
1.10 DERENERGIESATZ
......................................................... 17
1.11 DAS ABGESCHLOSSENE N-TEILCHENSYSTEM
.................................... 18
1.12 GALILEITRANSFORMATIONEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.13 BEMERKUNGEN UEBER RAUM UND ZEIT BEI GALILEIINVARIANZ . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 22
1.14 KONSERVATIVEKRAFTFELDER
................................................. 24
1.15 EINDIMENSIONALE BEWEGUNG EINES MASSENPUNKTES . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 26
1.16 BEISPIELE FUER BEWEGUNGEN IN EINER DIMENSION . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.16.1 HARMONISCHER OSZILLATOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.16.2 DASEBENEMATHEMATISCHEPENDELIMSCHWEREFELD................... 28
1.17 PHASENRAUM FUER DAS N-TEILCHENSYSTEM (IM
R
3
) ............................ 29
1.18 DER EXISTENZ- UND EINDEUTIGKEITSSATZ FUER LOESUNGEN VON (1.41) . . .
. . . . . . . . . . . 30
1.19 PHYSIKALISCHE KONSEQUENZEN VON SATZ AUS ABSCHNITT 1.18 . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 31
1.20 LINEARESYSTEME
........................................................ 33
1.21 ZUR INTEGRATION EINDIMENSIONALER BEWEGUNGSGLEICHUNGEN . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 35
1.22 BEISPIEL: EBENES PENDEL MIT BELIEBIGEM AUSSCHLAG . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 36
1.23 BEISPIEL:ZWEITEILCHENSYSTEMMITZENTRALKRAFT
............................. 38
1.24 ROTIERENDES KOORDINATENSYSTEM: CORIOLIS- UND ZENTRIFUGALKRAEFTE . .
. . . . . . . . . . 41
1.25 BEISPIELEZUABSCHNITT1.24
.............................................. 43
1.26 STREUUNG ZWEIER TEILCHEN, DIE UEBER EINE ZENTRALKRAFT
MITEINANDERWECHSELWIRKEN:KINEMATIK ...................................
45
1.27 ZWEITEILCHENSTREUUNG MIT ZENTRALKRAFT: DYNAMIK . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.28 BEISPIEL: COULOMBSTREUUNG ZWEIER TEILCHEN
MIT GLEICHEN MASSEN UND LADUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
X INHALTSVERZEICHNIS
1.29 AUSGEDEHNTEMECHANISCHEKOERPER
........................................ 54
1.30 VIRIAL UND ZEITLICHE MITTELWERTE . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
ANHANG: PRAKTISCHE UEBUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2. DIE PRINZIPIEN DER KANONISCHEN MECHANIK
................................... 63
2.1 ZWANGSBEDINGUNGEN UND VERALLGEMEINERTE KOORDINATEN . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 63
2.1.1 DEFINITION VON ZWANGSBEDINGUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 63
2.1.2 GENERALISIERTEKOORDINATEN ........................................
64
2.2 DASD ALEMBERTSCHEPRINZIP
............................................. 65
2.2.1 DEFINITION DER VIRTUELLEN VERRUECKUNGEN . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2.2 STATISCHERFALL
.................................................... 65
2.2.3 DYNAMISCHERFALL ................................................
66
2.3 DIE LAGRANGESCHEN GLEICHUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4 BEISPIELEZUABSCHNITT2.3
............................................... 68
2.5 EXKURS UEBER VARIATIONSPRINZIPIEN . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.6 HAMILTONSCHESEXTREMALPRINZIP
.......................................... 72
2.7 DIE EULER-LAGRANGEGLEICHUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.8 BEISPIELEZUABSCHNITT2.7
............................................... 74
2.9 ANMERKUNG UEBER DIE NICHT-EINDEUTIGKEIT DER LAGRANGEFUNKTION . . . .
. . . . . . . . 75
2.10 EICHTRANSFORMATIONENANDERLAGRANGEFUNKTION
............................ 75
2.11 ZULAESSIGE TRANSFORMATIONEN DER VERALLGEMEINERTEN KOORDINATEN . . .
. . . . . . . . . 76
2.12 DIE HAMILTONFUNKTION UND IHR ZUSAMMENHANG
MIT DER LAGRANGEFUNKTION L
.............................................. 78
2.13 LEGENDRETRANSFORMATIONFUERDENFALLEINERVARIABLEN
....................... 79
2.14 LEGENDRETRANSFORMATIONIMFALLMEHRERERVERAENDERLICHER
................... 80
2.15 KANONISCHE SYSTEME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.16 BEISPIELEZUABSCHNITT2.15
.............................................. 82
2.17 VARIATIONSPRINZIP AUF DIE HAMILTONFUNKTION ANGEWANDT . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 84
2.18 SYMMETRIENUNDERHALTUNGSSAETZE
......................................... 84
2.19 SATZVONE.NOETHER
..................................................... 85
2.20 INFINITESIMALE ERZEUGENDE FUER DREHUNG UM EINE ACHSE . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 86
2.21 EXKURS UEBER DIE DREHGRUPPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.22 INFINITESIMALE DREHUNGEN UND IHRE ERZEUGENDEN . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.23 KANONISCHE TRANSFORMATIONEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.24 BEISPIELE VON KANONISCHEN TRANSFORMATIONEN . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.25 DIE STRUKTUR DER KANONISCHEN GLEICHUNGEN . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.26 BEISPIEL: LINEARES, AUTONOMES SYSTEM IN EINER DIMENSION . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 97
2.27 KANONISCHE TRANSFORMATIONEN IN KOMPAKTER NOTATION . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 99
2.28 ZURSYMPLEKTISCHENSTRUKTURDESPHASENRAUMS
............................ 101
2.29 DER LIOUVILLESCHE SATZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.29.1LOKALEFORM .....................................................
104
2.29.2INTEGRALEFORM ...................................................
105
2.30 BEISPIELE ZUM LIOUVILLESCHEN SATZ . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.31 DIE POISSONKLAMMER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.32 EIGENSCHAFTEN DER POISSONKLAMMERN . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.33 INFINITESIMALE KANONISCHE TRANSFORMATIONEN . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.34 INTEGRALE DER BEWEGUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.35 HAMILTON-JACOBISCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.36 BEISPIELE ZUR HAMILTON-JACOBISCHEN DIFFERENTIALGLEICHUNG . . . . .
. . . . . . . . . . . . 117
INHALTSVERZEICHNIS XI
2.37 HAMILTON-JACOBIGLEICHUNG UND INTEGRABLE SYSTEME . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 121
2.37.1 LOKALEGLAETTUNGVONHAMILTONSCHENSYSTEMEN ..................... 121
2.37.2 INTEGRABLESYSTEME ...............................................
125
2.37.3 WINKEL- UND WIRKUNGSVARIABLE . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.38 STOERUNGEN AN QUASIPERIODISCHEN HAMILTONSCHEN SYSTEMEN . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 130
2.39 AUTONOME, NICHTENTARTETE HAMILTONSCHE SYSTEME
INDERNAEHEVONINTEGRABLENSYSTEMEN .................................... 133
2.40 BEISPIELE, MITTELUNGSMETHODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.40.1 ANHARMONISCHER OSZILLATOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.40.2 MITTELUNG VON STOERUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
ANHANG: PRAKTISCHE UEBUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3. MECHANIK DES STARREN KOERPERS
............................................... 143
3.0 DEFINITION DES STARREN KOERPERS . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.1 INFINITESIMALE VERRUECKUNG EINES STARREN KOERPERS . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.2 KINETISCHEENERGIEUNDTRAEGHEITSTENSOR
................................... 146
3.3 EIGENSCHAFTENDESTRAEGHEITSTENSORS
....................................... 147
3.4
DERSATZVONSTEINER.....................................................
151
3.5 BEISPIELEZUMSATZVONSTEINER
........................................... 151
3.6 DREHIMPULSDESSTARRENKOERPERS
.......................................... 154
3.7 KRAEFTEFREIE BEWEGUNG VON STARREN KOERPERN . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.8 DIEEULERSCHENWINKEL
.................................................. 157
3.9 DEFINITION DER EULERSCHEN WINKEL . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.10 DIE BEWEGUNGSGLEICHUNGEN DES STARREN KOERPERS . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.11 DIE EULERSCHEN GLEICHUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.12 ANWENDUNGSBEISPIEL: DER KRAEFTEFREIE KREISEL . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.13 KRAEFTEFREIER KREISEL UND GEOMETRISCHE KONSTRUKTIONEN . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 167
3.14 DER KREISEL IM RAHMEN DER KANONISCHEN MECHANIK . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 169
3.15 BEISPIEL:SYMMETRISCHERKINDERKREISELIMSCHWEREFELD
.................... 172
3.16 ANMERKUNG ZUM KREISELPROBLEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
3.17 SYMMETRISCHER KREISEL MIT REIBUNG: DER ,,AUFSTEHKREISEL . . . . .
. . . . . . . . . . . . 175
3.17.1 EINEENERGIEBETRACHTUNG ..........................................
177
3.17.2 BEWEGUNGSGLEICHUNGEN UND LOESUNGEN KONSTANTER ENERGIE . . . . . .
. . . . . 179
ANHANG: PRAKTISCHE UEBUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4. RELATIVISTISCHE MECHANIK
.................................................... 185
4.0 SCHWIERIGKEITEN DER NICHTRELATIVISTISCHEN MECHANIK . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 186
4.1 DIEKONSTANZDERLICHTGESCHWINDIGKEIT
................................... 188
4.2
DIELORENTZTRANSFORMATIONEN.............................................
189
4.3 ANALYSE DER LORENTZ- UND POINCAR
´
ETRANSFORMATIONEN ....................... 194
4.3.1 DREHUNGEN UND SPEZIELLE LORENTZTRANSFORMATIONEN . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 196
4.3.2 BEDEUTUNG DER SPEZIELLEN LORENTZTRANSFORMATIONEN . . . . . . . . .
. . . . . . . . 199
4.4 ZERLEGUNG VON LORENTZTRANSFORMATIONEN IN IHRE KOMPONENTEN . . . . .
. . . . . . . . . 200
4.4.1 SATZ UEBER ORTHOCHRONE EIGENTLICHE LORENTZTRANSFORMATIONEN . . . .
. . . . . . 200
4.4.2 KOROLLAR ZUM SATZ 4.4.1 UND EINIGE KONSEQUENZEN . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 202
4.5 ADDITION VON RELATIVISTISCHEN GESCHWINDIGKEITEN . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.6 GALILEI- UND LORENTZ-RAUMZEITMANNIGFALTIGKEITEN . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 207
4.7 BAHNKURVEN UND EIGENZEIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.8 RELATIVISTISCHEDYNAMIK
................................................. 212
XII INHALTSVERZEICHNIS
4.8.1 RELATIVISTISCHESKRAFTGESETZ
....................................... 212
4.8.2 ENERGIE-IMPULSVEKTOR .............................................
213
4.8.3 DIELORENTZKRAFT .................................................
216
4.9 ZEITDILATATIONUNDLAENGENKONTRAKTION
..................................... 218
4.10 MEHR UEBER DIE BEWEGUNG KRAEFTEFREIER TEILCHEN . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.11 DIE KONFORME GRUPPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5. GEOMETRISCHE ASPEKTE DER MECHANIK
........................................ 225
5.1 MANNIGFALTIGKEITEN VON VERALLGEMEINERTEN KOORDINATEN . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 226
5.2 DIFFERENZIERBARE MANNIGFALTIGKEITEN . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.2.1 DER EUKLIDISCHE RAUM
R
N
......................................... 228
5.2.2 GLATTE ODER DIFFERENZIERBARE MANNIGFALTIGKEITEN . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 229
5.2.3 BEISPIELE FUER GLATTE MANNIGFALTIGKEITEN . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.3 GEOMETRISCHE OBJEKTE AUF MANNIGFALTIGKEITEN . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.3.1 FUNKTIONEN UND KURVEN AUF MANNIGFALTIGKEITEN . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 236
5.3.2 TANGENTIALVEKTOREN AN EINE GLATTE MANNIGFALTIGKEIT . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 238
5.3.3 DAS TANGENTIALBUENDEL EINER MANNIGFALTIGKEIT . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 239
5.3.4 VEKTORFELDER AUF GLATTEN MANNIGFALTIGKEITEN . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 241
5.3.5 AEUSSEREFORMEN ..................................................
244
5.4 KALKUEL AUF MANNIGFALTIGKEITEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
5.4.1 DIFFERENZIERBARE ABBILDUNGEN VON MANNIGFALTIGKEITEN . . . . . . .
. . . . . . . 246
5.4.2 INTEGRALKURVENVONVEKTORFELDERN ..................................
248
5.4.3 AEUSSERES PRODUKT VON EINSFORMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.4.4 DIEAEUSSEREABLEITUNG .............................................
251
5.4.5 AEUSSERE ABLEITUNG UND VEKTOREN IM
R
3
............................. 252
5.5 HAMILTON-JACOBISCHEUNDLAGRANGESCHEMECHANIK ........................
255
5.5.1 KOORDINATENMANNIGFALTIGKEIT Q, GESCHWINDIGKEITSRAUM TQ,
UND PHASENRAUM T
Q ............................................ 255
5.5.2 DIE KANONISCHE EINSFORM AUF DEM PHASENRAUM (T
Q) .............. 258
5.5.3 DIE KANONISCHE ZWEIFORM ALS SYMPLEKTISCHE FORM AUF M ...........
261
5.5.4 SYMPLEKTISCHE ZWEIFORM UND SATZ VON DARBOUX . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 262
5.5.5 DIE KANONISCHEN GLEICHUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
5.5.6 DIE POISSONKLAMMER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
5.5.7 ZEITABHAENGIGEHAMILTONSCHESYSTEME ..............................
271
5.6 LAGRANGESCHE MECHANIK UND LAGRANGEGLEICHUNGEN . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 273
5.6.1 ZUSAMMENHANG DER BEIDEN FORMULIERUNGEN DER MECHANIK . . . . . . .
. . . . 273
5.6.2 DIELAGRANGESCHEZWEIFORM ...................................... 274
5.6.3 ENERGIE ALS FUNKTION AUF TQ UND LAGRANGESCHES VEKTORFELD . . . . .
. . . . 276
5.6.4 VEKTORFELDER AUF DEM GESCHWINDIGKEITSRAUM TQ
UND LAGRANGESCHE GLEICHUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 277
5.6.5 LEGENDRETRANSFORMATION UND ZUORDNUNG
VONLAGRANGE-UNDHAMILTONFUNKTION .............................. 279
5.7 RIEMANNSCHE MANNIGFALTIGKEITEN IN DER MECHANIK . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 282
5.7.1 AFFINERZUSAMMENHANGUNDPARALLELTRANSPORT .......................
282
5.7.2 PARALLELEVEKTORFELDERUNDGEODAETEN ...............................
285
5.7.3 GEODAETEN ALS LOESUNGEN VON EULER-LAGRANGEGLEICHUNGEN . . . . . . .
. . . . . 285
5.7.4 BEISPIEL:KRAEFTEFREIER,UNSYMMETRISCHERKREISEL .....................
286
INHALTSVERZEICHNIS XIII
6. STABILITAET UND CHAOS
......................................................... 289
6.0 QUALITATIVE DYNAMIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
6.1 VEKTORFELDER ALS DYNAMISCHE SYSTEME . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
6.1.1 EINIGE DEFINITIONEN FUER VEKTORFELDER UND IHRE INTEGRALKURVEN . . .
. . . . . 292
6.1.2 GLEICHGEWICHTSLAGEN UND LINEARISIERUNG VON VEKTORFELDERN . . . . .
. . . . . 294
6.1.3 STABILITAET VON GLEICHGEWICHTSLAGEN . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 297
6.1.4 KRITISCHE PUNKTE VON HAMILTONSCHEN VEKTORFELDERN . . . . . . . . .
. . . . . . . . 299
6.1.5 STABILITAET UND INSTABILITAET BEIM KRAEFTEFREIEN KREISEL . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 302
6.2 LANGZEITVERHALTEN DYNAMISCHER FLUESSE UND ABHAENGIGKEIT
VONAEUSSERENPARAMETERN .................................................
303
6.2.1 STROEMUNGIMPHASENRAUM ......................................... 304
6.2.2 ALLGEMEINERE STABILITAETSKRITERIEN . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
6.2.3 ATTRAKTOREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
6.2.4 DIE POINCAR
´
EABBILDUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 311
6.2.5 VERZWEIGUNGEN VON FLUESSEN BEI KRITISCHEN PUNKTEN . . . . . . . . .
. . . . . . . . 315
6.2.6 VERZWEIGUNGEN VON PERIODISCHEN BAHNEN . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 318
6.3 DETERMINISTISCHESCHAOS
................................................. 320
6.3.1 ITERATIVE ABBILDUNGEN IN EINER DIMENSION . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 320
6.3.2 QUASI-DEFINITION VON CHAOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
6.3.3 EIN BEISPIEL: DIE LOGISTISCHE GLEICHUNG . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 324
6.4 QUANTITATIVE AUSSAGEN UEBER UNGEORDNETE BEWEGUNG . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 328
6.4.1 AUFBRUCHINDETERMINISTISCHESCHAOS ..............................
328
6.4.2 LIAPUNOVSCHE CHARAKTERISTISCHE EXPONENTEN . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 332
6.4.3 SELTSAME ATTRAKTOREN UND FRAKTALE . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 335
6.5 CHAOTISCHE BEWEGUNGEN IN DER HIMMELSMECHANIK . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 336
6.5.1 ROTATIONSDYNAMIK VON PLANETENSATELLITEN . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 337
6.5.2 BAHNDYNAMIK VON PLANETOIDEN MIT CHAOTISCHEM VERHALTEN . . . . . .
. . . . . 341
7. KONTINUIERLICHE SYSTEME
..................................................... 345
7.1 DISKRETEUNDKONTINUIERLICHESYSTEME
..................................... 345
7.2 GRENZUEBERGANGZUMKONTINUIERLICHENSYSTEM .............................
349
7.3 HAMILTONSCHES EXTREMALPRINZIP FUER KONTINUIERLICHE SYSTEME . . . . .
. . . . . . . . . . . 350
7.4 KANONISCH KONJUGIERTER IMPULS UND HAMILTONDICHTE . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 352
7.5 BEISPIEL:DIEPENDELKETTE
................................................ 353
7.6 BEMERKUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
ANHANG
........................................................................
361
A. EINIGEMATHEMATISCHEBEGRIFFE
........................................... 361
B. EINIGEHINWEISEZUMRECHNEREINSATZ .....................................
364
C. HISTORISCHE ANMERKUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
LITERATUR
.......................................................................
373
AUFGABEN
.......................................................................
377
LOESUNGEN DER AUFGABEN
........................................................ 395
SACHVERZEICHNIS
................................................................ 439
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