Reguläre und chaotische Dynamik:
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| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Stuttgart [u.a.]
Teubner
1996
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| Schriftenreihe: | Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler
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I Dynamische Systeme 9
1 Definition des dynamischen Systems 9
1.1 Zeitkontinuierliche Systeme 12
1.2 Zeitdiskrete Systeme 15
1.3 Systeme auf dem Zylinder 15
2 Typen der Bewegung eines dynamischen Systems 20
3 Invariante Mengen. Grenzmengen. Zentrum 23
4 Volumenänderung 26
4.1 Zeitkontinuierliche Systeme 26
4.2 Zeitdiskrete Systeme 28
5 Absorbierende Mengen und Attraktoren 30
5.1 Definition des Attraktors 30
5.2 Dissipative Systeme 32
6 Äquivalenz dynamischer Systeme 36
6.1 Topologisch äquivalente Differentialgleichungen 36
6.2 Umparametrisierung von Differentialgleichungen 38
6.3 Glättungssatz 41
6.4 Autonome lineare Differentialgleichungen 44
6.5 Linearisierung von Differentialgleichungen 49
6.6 Topologisch konjugierte Abbildungen 49
6.7 Linearisierung von Abbildungen 51
6.8 Das Einbettungsproblem 52
7 Hyperbolizität periodischer Orbits 55
7.1 Floquet-Theorie bei Differentialgleichungen 55
7.2 Poincare-Abbildungen 56
7.3 Floquet-Theorie für Abbildungen 58
8 Stabile und instabile Mannigfaltigkeiten 61
8.1 Invariante Unter vektorräume 61
8.2 Invariante Mannigfaltigkeiten von Ruhelagen 62
8.3 Invariante Mannigfaltigkeiten von periodischen Orbits 66
8.4 Invariante Mannigfaltigkeiten für Abbildungen 72
9 Orbitale Stabilität und Lyapunov-Stabilität von Bewegungen .... 75
Inhalt 7
9.1 Definitionen 75
9.2 Zeitkontinuierliche Systeme 76
10 Stabilität von Ruhelagen dynamischer Systeme 78
10.1 Zeitkontinuierliche Systeme 78
10.2 Zeitdiskrete Systeme 83
11 Stabilität periodischer Bewegungen 86
11.1 Zeitkontinuierliche Systeme 86
11.2 Zeitdiskrete Systeme 88
12 Periodische Punkte von Abbildungen 90
12.1 Existenz von Fixpunkten 90
12.2 Existenz unendlich vieler Periodenpunkte 91
12.3 Stückweise lineare Abbildungen 94
12.4 Über das Fehlen invarianter Kurven 96
12.5 Windungszahl 97
13 Existenz periodischer Orbits bei Differentialgleichungen 99
13.1 Verallgemeinertes Bendixson-Poincare-Theorem 99
13.2 Van der Pol-artige Differentialgleichungen 100
13.3 Zyklen zweiter Art für Differentialgleichungen auf dem Zylinder . . 102
13.4 Schwach gestörte Hamilton-Systeme 104
13.5 Verallgemeinertes Bendixson-Dulac-Kriterium 104
13.6 Index einer Ruhelage 105
14 Zur Existenz rekurrenter und fast-perodischer Orbits 107
14.1 Zeitkontinuierliche Systeme 107
14.2 Zeitdiskrete Systeme 107
15 Strukturelle Stabilität 109
15.1 Zeitkontinuierliche Systeme 109
15.2 Zeitdiskrete Systeme 111
15.3 Morse-Smale-Systeme und Generizität 112
II Bifurkationen in Morse-Smale-Systemen 115
16 Reduktion auf die Zentrumsmannigfaltigkeit 115
16.1 Zeitkontinuierliche Systeme 115
16.2 Zeitdiskrete Systeme 116
17 Bifurkationen nahe einer Ruhelage 118
17.1 Zeitkontinuierliche Systeme 118
17.2 Zeitdiskrete Systeme 126
18 Bifurkationen in einparametrigen Differentialgleichungen 132
19 Bifurkationen in zweiparametrigen Differentialgleichungen 135
20 Bifurkationen der Abspaltung periodischer Orbits 139
8 Inhalt
III Chaotische dynamische Systeme 145
21 Shifts, Hufeisen und transversale homokline Punkte 145
21.1 Bernoulli-Shifts 145
21.2 Expandierende Abbildungen 147
21.3 Hufeisenabbildungen 149
21.4 Hyperbolische Mengen 151
21.5 Homokline Bifurkationen und Shift-Abbildungen 154
22 Invariante Maße, Ergodizität und Mischen 161
22.1 Invariante Maße 161
22.2 Ergodizität und Mischen 164
22.3 Konstruktion des natürlichen invarianten Maßes 167
22.4 Autokorrelationsfunktion, Zentraler Grenzwertsatz und Leistungs¬
spektrum 169
23 Lyapunov-Exponenten 172
23.1 Charakteristische Exponenten 172
23.2 Der Satz von Oseledec 173
23.3 Lyapunov-Exponenten k-ter Ordnung 177
24 Entropien und Druck 179
24.1 Topologische Entropie 179
24.2 Maßtheoretische Entropie 184
25 Dimensionen 188
25.1 Hausdorff-Dimension 188
25.2 Kapazitive Dimension 192
25.3 Dimension eines Maßes 195
25.4 Dimensionsspektrum 196
25.5 Dimension, Entropie, Lyapunov-Exponenten, Druck 198
25.6 Dimensionsschranken für invariante Mengen dynamischer Systeme . 201
26 Übergänge zum Chaos 207
26.1 Typen chaotischer Systeme 207
26.2 Dynamik komplexwertiger Abbildungen 214
26.3 Allgemeine Routen ins Chaos 219
Anhang 227
AI Metrische Räume, Borel-Mengen und Maße 227
A2 Jordansche Normalformen von Matrizen 229
A3 Assoziierte Matrizen, äußere Produkte und äußere Potenzen .... 230
Aufgaben 232
Literatur 239
Index 247
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