Maß- und Integrationstheorie:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
1996
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| Schriftenreihe: | Springer-Lehrbuch
Grundwissen Mathematik |
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MASS- UND
INTEGRAOESR?
THEORIE
J|IL SPRINGER
INHALTSVERZEICHNIS
KAPITEL I. A-ALGEBREN UND BOREISCHE MENGEN
§ 1. DAS INHALTSPROBLEM UND DAS MASSPROBLEM
§ 2. BEZEICHNUNGEN UND MENGENTHEORETISCHE GRUNDLA
1. BEZEICHNUNGEN
2. LIMES SUPERIOR UND LIMES INFERIOR
AUFGABEN
§ 3. RINGE, ALGEBREN, CR-RINGE UND CR-ALGEBREN
1. RINGSTRUKTUR VON VSS{X)
2. RINGE UND ALGEBREN
3. CR-RINGE UND CR-ALGEBREN
AUFGABEN
§ 4. ERZEUGER UND BOREISCHE MENGEN
1. ERZEUGER
2. BOREISCHE MENGEN
3. VERHALTEN UNTER ABBILDUNGEN
AUFGABEN
§ 5. HALBRINGE
1. HALBRINGE
2. DER VON EINEM HALBRING ERZEUGTE RING
AUFGABEN
§ 6. MONOTONE KLASSEN UND DYNKIN-SYSTEME
1. MONOTONE KLASSEN
2. DYNKIN-SYSTEME
AUFGABEN
KAPITEL II. INHALTE UND MASSE
§ 1. INHALTE, PRAEMASSE UND MASSE
1. DEFINITIONEN UND ERSTE FOLGERUNGEN
2. EIN ERSTER FORTSETZUNGSSATZ
3. EIGENSCHAFTEN VON INHALTEN
4. CHARAKTERISIERUNG DER CR-ADDITIVITAET
5. HISTORISCHE ANMERKUNGEN
AUFGABEN
§ 2. INHALTE UND PRAEMASSE AUF E
1. ENDLICHE INHALTE AUF 3
2. ENDLICHE PRAEMASSE AUF 3
3. KURZBIOGRAPHIE VON E. BOREL
AUFGABEN
X
INHALTSVERZEICHNIS
§ 3. INHALTE UND PRAEMASSE AUF W 43
1. DAS LEBESGUESCHE PRAEMASS AUF 3
P
43
2. DIFFERENZENOPERATOREN 44
3. INHALTE AUF 3 45
4. PRAEMASSE AUF 3
P
47
5. KURZBIOGRAPHIE VON J. RADON 48
AUFGABEN 49
§ 4. FORTSETZUNG VON PRAEMASSEN ZU MASSEN 50
1. AEUSSERE MASSE 50
2. DER FORTSETZUNGSSATZ 53
3. DIE LEBESGUE-MESSBAREN TEILMENGEN DES W 55
4. KURZBIOGRAPHIE VON C. CARATHEODORY 56
AUFGABEN 57
§ 5. EINDEUTIGKEIT DER FORTSETZUNG 59
1. CR-ENDLICHE INHALTE 59
2. DER EINDEUTIGKEITSSATZ 60
3. WAHRSCHEINLICHKEITSMASSE UND VERTEILUNGSFUNKTIONEN AUF K 61
AUFGABEN 62
§ 6. VOLLSTAENDIGE MASSRAEUME 63
AUFGABEN 65
§ 7. DAS LEBESGUESCHE MASS 66
1. APPROXIMATIONSSAETZE 66
2. CHARAKTERISIERUNG DER LEBESGUE-MESSBARKEIT 67
3. DER SATZ VON H.
STEINHAUS
67
4. MESSBARKEIT KONVEXER MENGEN 68
AUFGABEN 69
§ 8. DAS CANTORSCHE DISKONTINUUM 70
1. KONSTRUKTION VON C 70
2. TRIADISCHE ENTWICKLUNG 71
3. MAECHTIGKEITEN VON B
P
UND
P
73
4. DIE CANTORSCHE FUNKTION 73
AUFGABEN 74
§ 9. METRISCHE AEUSSERE MASSE UND HAUSDORFF-MASSE 76
1. METRISCHE AEUSSERE MASSE 76
2. HAUSDORFF-MASSE 77
3. REKTIFIZIERBARE KURVEN 78
4. KURZBIOGRAPHIE VON F.
HAUSDORFF
80
AUFGABEN 81
INHALTSVERZEICHNIS
XI
KAPITEL III. MESSBARE FUNKTIONEN
§ 1. MESSBARE ABBILDUNGEN UND BILDMASSE
1. MESSBARE ABBILDUNGEN
2. BILDMASSE
AUFGABEN
§ 2. BEWEGUNGSINVARIANZ DES LEBESGUE-MASSES
1. TRANSLATIONSINVARIANZ DES LEBESGUE-MASSES
2. DAS BILDMASS DES LEBESGUE-MASSES UNTER BIJEKTIVEN AFFINEN
ABBILDUNGEN
3. BEWEGUNGSINVARIANZ DES LEBESGUE-MASSES
4. DAS P-DIMENSIONALE AEUSSERE HAUSDORFF-MASS
AUFGABEN
§ 3. EXISTENZ NICHT MESSBARER MENGEN
1. NICHT LEBESGUE-MESSBARE MENGEN UND UNLOESBARKEIT DES
MASSPROBLEMS
2. KURZBIOGRAPHIE VON G. VITALI
3. WEITERE BEISPIELE NICHT LEBESGUE-MESSBARER MENGEN
4. EXISTENZ NICHT MESSBARER MENGEN FUER LEBESGUE-STIELTJESSCHE
MASSE
AUFGABEN
§ 4. MESSBARE NUMERISCHE FUNKTIONEN
1. RECHNEN IN R, TOPOLOGIE VON R
2. MESSBARE NUMERISCHE FUNKTIONEN
3. APPROXIMATION DURCH TREPPENFUNKTIONEN
4. ABZAEHLBAR ERZEUGTE MESSRAEUME
5. EIN MINIMALER ERZEUGER VON 23
1
AUFGABEN
§ 5. PRODUKT-A-ALGEBREN
1. INITIAL-ER-ALGEBREN UND PRODUKT-CR-ALGEBREN
2. BOREL-MENGEN TOPOLOGISCHER PRODUKTE
3. MESSBARKEIT DER DIAGONALEN
AUFGABEN
83
85
85
87
88
89
89
90
92
94
95
96
96
99
99
100
102
103
103
105
107
108
109
110
112
112
114
115
116
KAPITEL IV. DAS LEBESGUE-INTEGRAL
§ 1. INTEGRATION VON TREPPENFUNKTIONEN
AUFGABEN
§ 2. INTEGRATION NICHT-NEGATIVER MESSBARER FUNKTIONEN
1. DEFINITION DES INTEGRALS
2. DER SATZ VON DER MONOTONEN KONVERGENZ
3. KURZBIOGRAPHIE VON B. LEVI
4. MASSE MIT DICHTEN
AUFGABEN
118
119
120
121
121
124
125
125
126
CII INHALTSVERZEICHNIS
§ 3. INTEGRIERBARE FUNKTIONEN 127
1. INTEGRIERBARE FUNKTIONEN 127
2. LINEARITAET UND MONOTONIE DES INTEGRALS 129
3. DER RAUM C
1
131
4. STETIGE FUNKTIONEN MIT KOMPAKTEM TRAEGER 132
5. INTEGRATION UEBER MESSBARE TEILMENGEN 133
6. HISTORISCHE ANMERKUNGEN 135
7. KURZBIOGRAPHIE VON W.H. YOUNG 136
AUFGABEN 137
§ 4. FAST UEBERALL BESTEHENDE EIGENSCHAFTEN 138
AUFGABEN 141
§ 5. KONVERGENZSAETZE 142
1. DAS LEMMA VON FATOU 142
2. KURZBIOGRAPHIE VON P. FATOU 143
3. DER SATZ VON DER MAJORISIERTEN KONVERGENZ 143
4. VON EINEM PARAMETER ABHAENGIGE INTEGRALE 145
5. DER SATZ VON
SCHEFFE
148
AUFGABEN 148
§ 6. RIEMANN-INTEGRAL UND LEBESGUE-INTEGRAL 149
1. EIGENTLICHES RIEMANN-INTEGRAL UND LEBESGUE-INTEGRAL 150
2. UNEIGENTLICHES RIEMANN-INTEGRAL UND LEBESGUE-INTEGRAL 151
3. MITTELWERTSAETZE DER INTEGRALRECHNUNG 154
4. KURZBIOGRAPHIE VON H.
LEBESGUE
156
AUFGABEN 158
KAPITEL V. PRODUKTMASSE, SATZ VON
FUBINI
UND TRANSFORMATIONSFORMEL 161
§ 1. PRODUKTMASSE 161
1. PRODUKT-A- ALGEBREN 162
2. PRODUKTMASSE 162
3. DAS CAVALIERISCHE PRINZIP 167
4. PRODUKTE ENDLICH VIELER MASSRAEUME 168
5. DAS P-DIMENSIONALE AEUSSERE HAUSDORFF-MASS 169
AUFGABEN 171
§ 2. DER SATZ VON
FUBINI
173
1. DER SATZ VON
FUBINI
173
2. HISTORISCHE ANMERKUNGEN 178
3. BEISPIELE FUER ANWENDUNGEN DES SATZES VON
FUBINI
179
4. DER GAUSSSCHE INTEGRALSATZ FUER DIE EBENE 182
5. KURZBIOGRAPHIEN VON G. FUBINI UND L. TONELLI 185
AUFGABEN 186
INHALTSVERZEICHNIS
XNI
§ 3. FALTUNG UND FOURIER-TRANSFORMATION 189
1. INTEGRATION IN BEZUG AUF BILDMASSE 189
2. TRANSFORMATION VON MASSEN MIT DICHTEN 190
3. DIE FALTUNG AUF C
1
(W,
(
B
P
,SS ) 191
4. DIE FOURIER-TRANSFORMATION 193
AUFGABEN 198
§ 4. DIE TRANSFORMATIONSFORMEL 199
1. DIE TRANSFORMATIONSFORMEL 200
2. DER SATZ VON
SARD
207
3. VERALLGEMEINERTE TRANSFORMATIONSFORMEL 209
4. TRANSFORMATION VON MASSEN MIT DICHTEN BEZ. A
P
209
5. DER BROUWERSCHE FIXPUNKTSATZ 211
AUFGABEN 214
KAPITEL VI. KONVERGENZBEGRIFFE DER MASS-
UND INTEGRATIONSTHEORIE 218
§ 1. DIE UNGLEICHUNGEN VON
JENSEN, HOLDER
UND
MINKOWSKI
218
1. DIE JENSENSCHE UNGLEICHUNG 219
2. DIE HOELDERSCHE UNGLEICHUNG 221
3. DIE MINKOWSKISCHE UNGLEICHUNG 223
4. HISTORISCHE ANMERKUNGEN 224
AUFGABEN 225
§ 2. DIE RAEUME I? UND DER SATZ VON
RIESZ-FISCHER
227
1. DIE RAEUME D UND U 228
2. DER SATZ VON
RIESZ-FISCHER
229
3. DIE BANACH-ALGEBRA Z^QR , 93 , SS
N
) 232
4. DER HILBERT-RAUM L
2
(/LT) 233
5. DER BANACH-VERBAND Z^ 238
6. DICHTE UNTERRAEUME VON I? 240
7. DER SATZ VON
PLANCHEREL
242
8. DER SATZ VON
FATOU
UEBER POTENZREIHEN 242
9. HISTORISCHE ANMERKUNGEN 243
10. KURZBIOGRAPHIEN VON F. RIESZ UND E. FISCHER 244
AUFGABEN 246
§ 3. DER SATZ VON
JEGOROW
248
1. KONVERGENZ P-FAST UEBERALL 248
2. FAST GLEICHMAESSIGE KONVERGENZ 249
3. KURZBIOGRAPHIE VON D.F. JEGOROW 250
AUFGABEN 251
DV INHALTSVERZEICHNIS
§ 4. KONVERGENZ NACH MASS 252
1. KONVERGENZ NACH MASS UND LOKAL NACH MASS 252
2. CAUCHY-FOLGEN FUER DIE KONVERGENZ NACH MASS 253
3. VERGLEICH DER KONVERGENZBEGRIFFE 255
4. CHARAKTERISIERUNG DER KONVERGENZ N.M. UND DER KONVERGENZ
LOKAL N.M. 256
AUFGABEN 257
§ 5. KONVERGENZ IN C
P
258
1. DER SATZ VON
PRATT
258
2. KONVERGENZ IN C
P
259
3. DER KONVERGENZSATZ VON VLTALL 260
4. SCHWACHE KONVERGENZ IN C? 261
AUFGABEN 265
KAPITEL VII. ABSOLUTE STETIGKEIT 267
§ 1. SIGNIERTE MASSE; HAHNSCHER UND JORDANSCHER ZERLEGUNGSSATZ 267
1. SIGNIERTE MASSE 267
2. DER HAHNSCHE ZERLEGUNGSSATZ 269
3. POSITIVE VARIATION, NEGATIVE VARIATION UND VARIATION 270
4. JORDANSCHER ZERLEGUNGSSATZ 271
5. DER BANACH-VERBAND DER ENDLICHEN SIGNIERTEN MASSE 272
6. KURZBIOGRAPHIE VON H. HAHN 273
AUFGABEN 274
§ 2. DER SATZ VON
RADON-NIKODYM
UND DER LEBESGUESCHE
ZERLEGUNGSSATZ 277
1. ABSOLUTE STETIGKEIT 277
2. DER SATZ VON
RADON-NIKODYM
277
3. KURZBIOGRAPHIE VON O. NIKODYM 282
4. DER LEBESGUESCHE ZERLEGUNGSSATZ 283
AUFGABEN 285
§ 3. DER DUALRAUM VON IP (1 P OO) 286
1. DER DUALRAUM VON LP{SS) (1 P OO) 286
2. DIE MULTIPLIKATIVEN LINEARFORMEN AUF DER BANACH-ALGEBRA
L
L
{SS
M
) 291
AUFGABEN 292
§ 4. ABSOLUT STETIGE FUNKTIONEN AUF K 294
1. DER UEBERDECKUNGSSATZ VON
VITALI
294
2. DIFFERENZIERBARKEIT MONOTONER FUNKTIONEN A-F.UE. 296
3. DER DICHTESATZ 299
4. ABSOLUT STETIGE FUNKTIONEN AUF R 300
5. LEBESGUESCHE ZERLEGUNG LEBESGUE-STIELTJESSCHER MASSE 304
6. REKTIFIZIERBARE KURVEN 306
AUFGABEN 307
INHALTSVERZEICHNIS XV
KAPITEL VIII. MASSE AUF TOPOLOGISCHEN RAEUMEN 309
§1. BOREL-MASSE, RADON-MASSE, REGULARITAET 310
1. GRUNDBEGRIFFE 310
2. REGULARITAETSSAETZE 314
3. MODERATE BOREL-MASSE 315
4. REGULARITAET VON BOREL-MASSEN 316
5. REGULARITAET VON BOREL-MASSEN AUF POLNISCHEN RAEUMEN 317
6. DER SATZ VON
LUSIN
320
7. KURZBIOGRAPHIE VON N.N. LUSIN 321
AUFGABEN 323
§2. DER DARSTELLUNGSSATZ VON F. RIESZ 325
1. PROBLEMSTELLUNG 325
2. FORTSETZUNGSSATZ 326
3. DER DARSTELLUNGSSATZ VON F. RIESZ FUER
LOKAL-KOMPAKTE RAEUME 331
4. DER DARSTELLUNGSSATZ VON F. RIESZ FUER
VOLLSTAENDIG REGULAERE RAEUME 335
5. TRAEGER VON MASSEN 339
6. DER DARSTELLUNGSSATZ VON F. RIESZ FUER STETIGE LINEARFORMEN
AUF C
0
PO 342
AUFGABEN 346
§ 3. DAS HAARSCHE MASS 348
1. TOPOLOGISCHE GRUPPEN 348
2. LINKSINVARIANTE LINEARFORMEN UND MASSE 351
3. EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT DES HAARSCHEN MASSES 353
4. ANWENDUNGEN DES HAAR-MASSES 362
5. INVARIANTE UND RELATIV INVARIANTE MASSE AUF RESTKLASSENRAEUMEN 365
6. KURZBIOGRAPHIE VON A. HAAR 371
AUFGABEN 372
ANHANG A. TOPOLOGISCHE RAEUME 375
ANHANG B. TRANSFINITE INDUKTION 379
LITERATURVERZEICHNIS 381
NAMENVERZEICHNIS 387
SYMBOLVERZEICHNIS 392
SACHVERZEICHNIS
393
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