Attraktoreingrenzung für Evolutionsgleichungen der Hydrodynamik:
Gespeichert in:
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| Format: | Abschlussarbeit Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Frankfurt am Main [u.a.]
Lang
1996
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| Schriftenreihe: | Methoden und Verfahren der mathematischen Physik
41 |
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XIX, 224 S. graph. Darst. |
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
Bezeichnungen xiii
1 Einleitung 1
2 Die hydrodynamische Evolutionsgleichung .... 13
2.1 Formulierung der Gleichung 13
2.2 Die stationäre Gleichung 15
2.2.1 Eigenschaften von N 15
2.2.2 Existenz von Lösungen 17
2.2.3 Eindeutigkeit der Lösungen 19
2.2.4 Konvergenz der Galerkin-Folge 19
2.3 Die Evolutionsgleichung 20
2.3.1 Weitere Eigenschaften von N 20
2.3.2 Existenz von Lösungen 22
2.3.3 Eindeutigkeit der Lösungen; stetige Abhängig¬
keit von den Anfangs werten 27
2.3.4 Konvergenz der Galerkin-Folge 29
2.4 Bemerkungen und eine Voraussetzung 31
3 Lösungsschranken und Existenz eines Attraktors . 35
3.1 Voraussetzungen und Bezeichnungen 35
3.2 Lösungsschranken 36
3.3 Die Existenz eines Attraktors 38
4 Optimale Attraktoreingrenzung 43
4.1 Allgemeine Überlegungen für autonome aS .... 43
4.1.1 F -differenzierbare Funktionen 43
4.1.2 Lyapunovfunktionen zur Bestimmung positiv
invarianter, global anziehender Mengen ... 44
4.1.3 Optimale Auswertung von Lyapunovfunktionen 45
4.2 Anwendung auf die autonome hydrodynamische
Evolutionsgleichung 45
4.3 Explizite Schranken 49
5 Die Struktur des nichtlinearen Terms 51
5.1 Problemstellung 51
5.2 Die linearen Operatoren Q{w) und O(„) 51
x Inhalt
5.3 Eigenschaften von Q(w) 54
6 Die Gleichung mit laminarer Lösung 57
6.1 Voraussetzungen. Der laminare Vektor 57
6.2 Die Störungsgleichung 58
6.3 Eigenwertprobleme 59
6.3.1 Allgemeine Resultate 59
6.3.2 Ungleichungen zwischen den Eigenwerten. Die
Funktion l9n— Ai(r) 61
6.4 Stabilität der laminaren Lösung 64
6.4.1 Energiemethode 64
6.4.2 Linearisierung 65
6.4.3 Bemerkungen 66
6.5 Attraktoreingrenzung 67
7 Evolutionsgleichung mit Nebenbedingung .... 73
8 Schranken für den Zeitmittelwert der
Energiedissipation 81
8.1 Vorbemerkungen 81
8.2 Schranken bei vorgegebenem ß 81
8.3 Schranken für die allgemeine Dgl 82
9 Die Gleichung mit laminarem Unterraum .... 87
9.1 Der laminare Unterraum 87
9.2 Bewegungsgleichungen für Haupt- und Nebenbewegung 92
9.3 Elimination der Hauptbewegung 92
9.3.1 Bewegungsgleichung der Nebenbewegung . . 93
9.3.2 Energiegleichung der Nebenbewegung ... 94
9.3.3 Stabilität der laminaren Lösung 95
9.4 Oberinengen für den zugänglichen Bereich des
Phasenraums 96
9.4.1 Eine allgemeinere Zerlegung der Lösung . . 96
9.4.2 Zeitlich konstante Energie der Nebenbewegung 98
9.4.3 Zur Wahl des Unterraums 2? 101
9.4.3.1 Eindimensionaler Unterraum:
2J = Span{V } 101
9.4.3.2 Zweidimensionaler Unterraum:
V = Spm {ip,hK} 101
Inhalt xi
9.4.3.3 03 = 20 102
9.4.3.4 Vergleich der verschiedenen
Möglichkeiten 102
9.5 Schranken für Phasenraumfunktionale 104
9.5.1 (i vorgegeben: Allgemeines Verfahren . . . 105
9.5.2 / vorgegeben: Allgemeines Verfahren .... 108
9.5.3 Abschätzungen für einige wichtige Funktionale 110
9.5.4 Eine einfache Abschätzung für lineare
Funktionale 117
9.6 Optimale Schranken 118
9.6.1 Allgemeines Verfahren 118
9.6.2 Optimum Theory of Turbulence 122
9.7 Bemerkungen 125
10 Ein Rezept zur Untersuchung vorgegebener
Gleichungen 127
10.1 Aufbereitung der Gleichung 127
10.2 Die Schlüsselgrößen 138
10.3 Der Schnitt von Attraktorobermengen 141
11 Anwendungen 143
11.1 Die Lorenz-Gleichungen 143
11.2 Das Zwei-Schichten-Modell für die barokline
Instabilität 146
11.3 Die ebene Couette-Strömung 162
12 Weitere Möglichkeiten 175
AI Mathematische Hilfsmittel 177
Al.l Funktionalanalytische Grundlagen 177
AI.2 Gleichungen und Eigenwertprobleme in Hilberträumen 182
AI.2.1 Der Satz von Lax-Milgram 182
AI.2.2 Fredholm-Operatoren 183
AI.2.3 Rand- und Eigenwertprobleme 184
AI.2.4 Reguläre und symmetrische Rand- und
Eigenwertprobleme 185
AI.2.4.1 Das Eigenwertproblem (EWP) 186
Al.2.4.2 Das Randwertproblem (RWP) . 191
Al.2.4.3 Die RWP-Funktion 192
XÜ Inhalt
AI.2.4.4 Zweiseitige Abschätzungen für
die RWP-Funktion. Weitere
Eigenschaften 194
AI.2.5 Ein spezielles Eigenwertproblem .... 198
AI.3 Zur Integration vektorwertiger Funktionen .... 203
Al.3.1 Grundlagen 203
Al.3.2 Lebesgue-Räume 205
Al.3.3 Sobolew-Räume 210
AI.4 Über die Eigenschaften von parameterabhängigen
Minima 214
AI.5 Verschiedenes 217
Literaturverzeichnis 219
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