Numerische Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler: eine Einführung für Studium und Praxis ; mit 98 Bildern, 71 Tabellen, 60 Algorithmen, zahlreichen Beispielen und Übungsaufgaben mit Lösungen
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Braunschweig [u.a.]
Vieweg
1996
|
| Schriftenreihe: | Viewegs Fachbücher der Technik
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XIII, 525 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3528038187 |
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FRIEDRICH WELLER
NUMERISCHE MATHEMATIK
FUER INGENIEURE UND NATURWISSENSCHAFTLER
EINE EINFUEHRUNG FUER STUDIUM UND PRAXIS
MIT 98 BILDERN, 71 TABELLEN, 60 ALGORITHMEN, ZAHLREICHEN BEISPIELEN UND
UEBUNGSAUFGABEN MIT LOESUNGEN
3
VIEWEG
IMAGE 2
INHALTSVERZEICHNIS
1 L I N E A RE G L E I C H U N G S S Y S T E ME 1
1.1 DAS ELIMINATIONSVERFAHREN VON GAUSS 1
1.1.1 EINFUEHRUNG UND DISKUSSION 1
1.1.2 VERALLGEMEINERUNG 10
1.2 MATRIZEN 13
1.2.1 DEFINITIONEN UND BEZEICHNUNGEN 13
1.2.2 REGELN FUER DAS RECHNEN MIT MATRIZEN 14
1.2.3 GLEICHUNGSSYSTEME IN MATRIXFORM 16
1.2.4 EINHEITSMATRIX UND INVERSE MATRIX 17
1.2.5 DETERMINANTEN 19
1.2.6 SPEZIELLE MATRIZEN 22
1.3 PIVOTSTRATEGIE UND NACHITERATION 27
1.3.1 WAHL DES PIVOTELEMENTES 27
1.3.2 KORREKTUREN DURCH NACHITERATION 30
1.3.3 GAUSS-ALGORITHMUS UND DIE ANZAHL DER WESENTLICHEN RECHEN
OPERATIONEN 32
1.4 DIE LR-ZERLEGUNG 34
1.4.1 DIE LR-ZERLEGUNG EINER STRENG REGULAEREN MATRIX 34
1.4.2 LR-ZERLEGUNG MIT MATRIXOPERATIONEN 39
1.4.3 LR-ZERLEGUNG MIT ZEILENTAUSCH 40
1.5 DAS CHOLESKY-VERFAHREN FUER SYMMETRISCHE, POSITIV DEFINITE MATRIZEN
44
1.5.1 R T R-ZERLEGUNG 44
1.5.2 LDL T -ZERLEGUNG 48
1.6 DAS AUSTAUSCHVERFAHREN 50
1.6.1 VARIABLENTAUSCH 50
1.6.2 VERKUERZTES AUSTAUSCHVERFAHREN 53
1.6.3 LINEARE ABHAENGIGKEIT DER GLEICHUNGEN 55
1.6.4 SAETZE UND FOLGERUNGEN 56
1.7 BERECHNUNG DER INVERSEN MATRIX 57
1.7.1 BERECHNUNG MIT DER CRAMER-REGEL 57
1.7.2 BERECHNUNG MIT DEM GAUSS-JORDAN-VERFAHREN 58
1.7.3 BERECHNUNG MIT DEM AUSTAUSCHVERFAHREN 60
1.8 NORMEN VON MATRIZEN UND VEKTOREN UND FEHLERABSCHAETZUNGEN . . .. 62
1.8.1 MATRIX- UND VEKTORNORMEN 62
1.8.2 MASCHINENZAHLEN UND RUNDUNGSFEHLER 64
1.8.3 FEHLERABSCHAETZUNG UND KONDITION VON MATRIZEN 69
1.9 DIE QR-ZERLEGUNG MIT HOUSEHOLDER-TRANSFORMATION 72
1.10 DIE QR-ZERLEGUNG MIT GIVENS-ROTATIONEN 80
1.11 GLEICHUNGSSYSTEME MIT B A N D S T R U K T UR 84
IMAGE 3
VIII INHALTSVERZEICHNIS
1.11.1 TRIDIAGONALE GLEICHUNGSSYSTEME 84
1.11.2 FUENFDIAGONALE GLEICHUNGSSYSTEME 88
1.11.3 ALLGEMEINE B A N D S T R U K T UR 89
1.12 ITERATIONSVERFAHREN ZUR LOESUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 93
1.12.1 DAS MINIMUMPROBLEM UND RELAXATION 93
1.12.2 DIE METHODE DER KONJUGIERTEN GRADIENTEN 97
1.12.3 JACOBI-VERFAHREN UND GAUSS-SEIDEL-VERFAHREN 102
1.12.4 KONVERGENZSAETZE 107
1.13 AUFGABEN 111
2 N I C H T L I N E A RE G L E I C H U N G EN 1 14
2.1 BISEKTIONSVERFAHREN (INTERVALLHALBIERUNGSMETHODE) 114
2.2 REGULA FALSI 116
2.3 DAS NEWTON-VERFAHREN 117
2.3.1 LINEARES NEWTON-VERFAHREN 117
2.3.2 QUADRATISCHES NEWTON-VERFAHREN 118
2.3.3 SEKANTENMETHODE 119
2.4 DAS FIXPUNKTVERFAHREN 121
2.4.1 EINFUEHRUNG UND BEISPIELE 121
2.4.2 ZUR KONVERGENZ DES FIXPUNKTVERFAHRENS 125
2.4.3 BANACHSCHER FIXPUNKTSATZ 127
2.5 ITERATIONSVERFAHREN HOEHERER ORDNUNG 130
2.5.1 KONVERGENZBESCHLEUNIGUNG 130
2.5.2 KONVERGENZBEDINGUNGEN DES NEWTON-VERFAHRENS 133
2.5.3 DAS VERFAHREN VON AITKEN UND DIE STEFFENSEN-ITERATION . . .. 138
2.5.4 DAS VERFAHREN VON MULLER 140
2.5.5 UEBERBLICK UEBER DIE KONVERGENZORDNUNGEN DER BESCHRIEBENEN VERFAHREN
142
2.6 POLYNOME UND HORNER-SCHEMA 142
2.6.1 SAETZE UEBER POLYNOME UND ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN 142
2.6.2 HORNER-SCHEMA 147
2.7 DAS VERFAHREN VON BAIRSTOW ZUR BESTIMMUNG ALLER NULLSTELLEN EINES
POLYNOMS 158
2.8 DAS VERFAHREN VON LAGUERRE 162
2.9 ITERATIVE LOESUNG NICHTLINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 165
2.9.1 FIXPUNKTITERATION 165
2.9.2 VERFAHREN VON NEWTON 169
2.10 AUFGABEN 172
3 I N T E R P O L A T I ON 1 73
3.1 INTERPOLATIONSPOLYNOME 173
3.1.1 PROBLEMSTELLUNG UND EXISTENZBEWEIS 173
3.1.2 DIE INTERPOLATIONSFORMEL VON LAGRANGE 174
3.1.3 FEHLERABSCHAETZUNG 176
IMAGE 4
INHALTSVERZEICHNIS IX
3.1.4 DIE INTERPOLATIONSFORMEL VON NEWTON 177
3.1.5 INTERPOLATIONSSCHEMA VON AITKEN-NEVILLE 182
3.1.6 EXTRAPOLATION 185
3.1.7 INVERSE INTERPOLATION 189
3.1.8 HERMITESCHE INTERPOLATION 191
3.1.9 ZWEIDIMENSIONALE INTERPOLATION 195
3.2 RATIONALE INTERPOLATION 196
3.2.1 EINFUEHRUNG 196
3.2.2 SPEZIELLE RATIONALE INTERPOLATION 198
3.3 INTERPOLATION MIT POLYNOM-SPLINES 204
3.3.1 NATUERLICHE KUBISCHE SPLINES 204
3.3.2 KUBISCHE SPLINES MIT ANDEREN RANDBEDINGUNGEN 208
3.3.3 DIE MINIMALEIGENSCHAFTEN KUBISCHER SPLINES UND KONVERGENZ 213
3.3.4 PARAMETRISCHE KUBISCHE SPLINES 215
3.4 BEZIER-KURVEN 217
3.4.1 BERNSTEIN-POLYNOME 217
3.4.2 BEZIER-POLYNOME 221
3.4.3 VERFAHREN VON DE CASTELJAU 224
3.4.4 BEZIER-SPLINES 229
3.5 B-SPLINES 234
3.5.1 B-SPLINE-FUNKTIONEN 234
3.5.2 B-SPLINE-KURVEN 241
3.6 AUFGABEN 253
4 A U S G L E I C H S R E C H N U NG 2 56
4.1 UEBERBESTIMMTE LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 256
4.1.1 EINFUEHRENDES BEISPIEL 256
4.1.2 VERALLGEMEINERUNG, ERSTER SCHRITT 257
4.1.3 VERALLGEMEINERUNG, ZWEITER SCHRITT 258
4.2 AUSGLEICHSPOLYNOME 260
4.3 ALLGEMEINERE AUSGLEICHSFUNKTIONEN 264
4.4 APPROXIMATION EINER STETIGEN FUNKTION 265
4.5 LINEARES AUSGLEICHEN MIT DER QR-ZERLEGUNG 266
4.6 NICHTLINEARE AUSGLEICHSRECHNUNG, GAUSS-NEWTON-METHODE 273
4.7 AUFGABEN 276
5 A P P R O X I M A T I ON V ON F U N K T I O N EN 2 78
5.1 FOURIER-REIHEN 278
5.1.1 PROBLEMSTELLUNG 278
5.1.2 FOURIERKOEFFIZIENTEN 279
5.1.3 ZUR KONVERGENZ DER FOURIER-REIHEN 283
5.1.4 DIE FOURIER-REIHE IN KOMPLEXER DARSTELLUNG 288
5.2 DISKRETE HARMONISCHE ANALYSE 290
5.2.1 EINFUEHRUNG 290
IMAGE 5
X
INHALTSVERZEICHNIS
5.2.2 DIE DISKRETEN ORTHOGONALITAETSRELATIONEN DER TRIGONOMETRISCHEN
FUNKTIONEN 290
5.2.3 INTERPOLATION UND APPROXIMATION DURCH FOURIER-POLYNOME . . 292
5.2.4 DISKRETE KOMPLEXE FOURIER-ANALYSE 297
5.2.5 SCHNELLE FOURIER-TRANSFORMATION ( F F T) 300
5.3 TSCHEBYSCHEFF-APPROXIMATION 307
5.3.1 TSCHEBYSCHEFF-POLYNOME 307
5.3.2 OEKONOMISIERUNG EINES POLYNOMS 311
5.3.3 ALGORITHMEN ZUR NUMERISCHEN BERECHNUNG 313
5.3.4 APPROXIMATION EINER FUNKTION IM QUADRATISCHEN MITTEL . . . 315
5.3.5 TSCHEBYSCHEFF-INTERPOLATION 319
5.4 APPROXIMATION DURCH RATIONALE POLYNOME 323
5.5 AUFGABEN 325
6 E I G E N W E R TE U ND E I G E N V E K T O R EN 3 26
6.1 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN ZWEIREIHIGER MATRIZEN 327
6.2 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN DREIREIHIGER MATRIZEN 329
6.3 ALLGEMEINE AUSSAGEN 333
6.3.1 DAS CHARAKTERISTISCHE POLYNOM UND EIGENWERTE 333
6.3.2 EIGENVEKTOREN 335
6.3.3 EINSCHLIESSUNGSSATZ VON GERSCHGORIN UND FROBENIUS-MATRIX . . 340
6.4 DAS EIGENWERTPROBLEM SYMMETRISCHER MATRIZEN 343
6.5 ITERATIONSVERFAHREN NACH VON MISES 346
6.6 KONVERGENZVERBESSERUNG MIT HILFE DES RAYLEIGH-QUOTIENTEN 353
6.7 INVERSE ITERATION UND VERFAHREN VON WIELANDT 355
6.8 DAS JACOBI-VERFAHREN FUER DAS SYMMETRISCHE EIGENWERTPROBLEM . . ..
358
6.9 DAS QR-VERFAHREN FUER DAS ALLGEMEINE EIGENWERTPROBLEM 366
6.9.1 TRANSFORMATION AUF HESSENBERGFORM MIT GIVENS-ROTATIONEN . 367
6.9.2 TRANSFORMATION AUF HESSENBERGFORM MIT GAUSS-ELIMINATIONEN 369 6.9.3
QR-ALGORITHMUS 372
6.10 AUFGABEN 377
7 N U M E R I S C HE D I F F E R E N T I A T I ON 3 79
7.1 DIFFERENTIATION MIT HILFE DER TAYLOR-REIHE 379
7.2 NUMERISCHE DIFFERENTIATION MIT HILFE VON INTERPOLATIONSPOLYNOMEN .
383 7.3 NUMERISCHE DIFFERENTIATION MIT HILFE KUBISCHER SPLINES 386
7.4 RICHARDSON-EXTRAPOLATION UND ROMBERG-DIFFERENTIATION 387
7.5 AUFGABEN 392
8 N U M E R I S C HE I N T E G R A T I ON 3 93
8.1 DIE SEHNENTRAPEZFORMEL 393
8.2 KEPLER-FASSREGEL, SIMPSON-FORMEL UND NEWTONS 3/8-REGEL 396
8.3 DAS VERFAHREN VON ROMBERG 401
8.4 ADAPTIVE QUADRATURVERFAHREN 405
8.5 NEWTON-COTES-QUADRATURFORMELN 407
IMAGE 6
INHALTSVERZEICHNIS XI
8.5.1 ERKLAERUNG UND BEISPIELE 407
8.5.2 GESCHLOSSENE NEWTON-COTES-FORMELN 411
8.6 DIE GAUSSSCHEN QUADRATURFORMELN 413
8.6.1 EINFUEHRUNG UND BEISPIEL 413
8.6.2 GAUSS-INTEGRATION UND LEGENDRE-POLYNOME 416
8.7 MONTE CARLO-INTEGRATION 419
8.8 AUFGABEN 423
9 G E W OE H N L I C HE D I F F E R E N T I A L G L E I C H U N G EN 4 25
9.1 EINFUEHRUNG 425
9.2 NUMERISCHE LOESUNG MIT HILFE DER TAYLOR-REIHE 429
9.3 EINSCHRITTVERFAHREN 431
9.3.1 EINFUEHRUNG 431
9.3.2 POLYGONZUGVERFAHREN VON EULER 432
9.3.3 DIE TRAPEZMETHODE, VERFAHREN VON HEUN 433
9.3.4 DIE FEHLERORDNUNG EINES NUMERISCHEN VERFAHRENS 435
9.3.5 DAS RUNGE-KUTTA-VERFAHREN 437
9.4 MEHRSCHRITTVERFAHREN 441
9.5 SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 444
9.5.1 SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG 444
9.5.2 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN HOEHERER ORDNUNG 445
9.6 EXTRAPOLATIONSVERFAHREN VON BULIRSCH-STOER 446
9.7 RANDWERTPROBLEME 449
9.7.1 EINFUEHRUNG 449
9.7.2 DAS EINSCHIESSVERFAHREN 450
9.7.3 DIFFERENZENVERFAHREN 454
9.8 AUFGABEN 457
10 P A R T I E L LE D I F F E R E N T I A L G L E I C H U N G EN 4 59
10.1 EINFUEHRUNG 459
10.2 ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN 463
10.3 DIFFERENZENGLEICHUNGEN 467
10.3.1 EINLEITUNG 467
10.3.2 DIFFERENZENFORMELN HOEHERER GENAUIGKEIT 469
10.4 ELLIPTISCHE GLEICHUNGEN 474
10.4.1 BERECHNUNGEN MIT DER FUENFPUNKTEFORMEL 474
10.4.2 BERECHNUNGEN MIT DER NEUNPUNKTEFORMEL 479
10.4.3 R A N D N A HE GITTERPUNKTE UND RANDBEDINGUNGEN 483
10.5 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 487
10.5.1 EIN EXPLIZITES VERFAHREN 487
10.5.2 EIN IMPLIZITES VERFAHREN UND DIE METHODE VON CRANK-NICOLSON 491
10.5.3 ZWEIDIMENSIONALE WAERMELEITUNG 495
10.6 HYPERBOLISCHE GLEICHUNGEN 498
10.6.1 DIE EINDIMENSIONALE WELLENGLEICHUNG 498
IMAGE 7
X LL
INHALTSVERZEICHNIS
10.6.2 DIE ZWEIDIMENSIONALE WELLENGLEICHUNG 502
10.7 AUFGABEN 505
L OE S U N G EN D ER A U F G A B EN 5 07
L I T E R A T U R V E R Z E I C H N IS 5 17
S A C H W O R T V E R Z E I C H N IS 5 20
LISTE DER ALGORITHMEN
1.1 GAUSS-ALGORITHMUS MIT SKALIERTER SPALTENPIVOTSTRATEGIE 33
1.2 LR-ALGORITHMUS OHNE PIVOTSUCHE 37
1.3 LR-ALGORITHMUS MIT SKALIERTER SPALTENPIVOTSTRATEGIE 42
1.4 CHOLESKY-VERFAHREN FUER SYMMETRISCHE, POSITIV DEFINITE MATRIZEN 46
1.5 RATIONALES CHOLESKY-VERFAHREN, LDL T -ZERLEGUNG 49
1.6 VARIABLENTAUSCH 52
1.7 INVERSE MATRIX MIT GAUSS-JORDAN-VERFAHREN UND SKALIERTER
SPALTENPIVOT STRATEGIE 59
1.8 MATRIXINVERSION MIT AUSTAUSCHVERFAHREN UND SKALIERTER
SPALTENPIVOTSTRA TEGIE 61
1.9 NAEHERUNGSWEISE BESTIMMUNG DER MASCHINENGENAUIGKEIT 6 UND DER KLEIN
STEN POSITIVEN MASCHINENZAHL M 67
1.10 HOUSEHOLDER-TRANSFORMATION 76
1.11 GIVENS-ELIMINATION 83
1.12 TRIDIAGONALSYSTEM OHNE PIVOTSUCHE 85
1.13 TRIDIAGONALSYSTEM MIT SKALIERTER PIVOTSTRATEGIE 87
1.14 FUENFDIAGONALES SYSTEM OHNE PIVOTSUCHE 89
1.15 GAUSS-ELIMINATION OHNE PIVOTSUCHE FUER BANDSYSTEME 90
1.16 SPEICHERPLATZSPARENDE GAUSS-ELIMINATION OHNE PIVOTSUCHE FUER B A N D
M A TRIZEN 91
1.17 LL T -ZERL EGUNG EINER SYMMETRISCHEN UND POSITIV DEFINITEN ( N , N
) - B A N DMATRIX 92
1.18 VERFAHREN DER KONJUGIERTEN GRADIENTEN (CG-VERFAHREN) 101
1.19 SOR-VERFAHREN 106
2.1 BISEKTIONSVERFAHREN 115
2.2 REGULA FALSI 117
2.3 STEFFENSEN-ITERATION 139
2.4 VERFAHREN VON MULLER 141
2.5 HORNER-SCHEMA 149
2.6 POLYNOMWERTBERECHNUNG MIT DEM HORNER-SCHEMA 149
2.7 VOLLSTAENDIGES HORNER-SCHEMA 152
IMAGE 8
INHALTSVERZEICHNIS
XM
2.8 POLYNOMABLEITUNGEN MIT DEM HORNER-SCHEMA 152
2.9 ABSPALTUNG EINES QUADRATISCHEN FAKTORS 156
2.10 BAIRSTOW-VERFAHREN 162
3.1 LAGRANGE-INTERPOLATION 175
3.2 NEWTON-INTERPOLATION 182
3.3 NEVILLE-SCHEMA 185
3.4 EXTRAPOLATION 187
3.5 BERECHNUNG DER OBERSTEN INVERSEN DIVIDIERTEN DIFFERENZEN 201
3.6 AUSWERTUNG DES ENDLICHEN KETTENBRUCHES 202
3.7 VERFAHREN VON DE CASTELJAU 226
3.8 INTERPOLATION MIT KUBISCHEN BEZIER-SPLINES 233
3.9 UNIFORME B-SPLINE-KURVEN 251
4.1 AUSGLEICHSRECHNUNG MIT HOUSEHOLDER-QR-ZERLEGUNG 269
5.1 SCHNELLE FOURIER-TRANSFORMATION F FT 306
5.2 TSCHEBYSCHEFF-KOEFFIZIENTEN 313
5.3 UMFORMUNG EINES POLYNOMS IN EINE ENTWICKLUNG NACH
TSCHEBYSCHEFFPOLYNOMEN 314
5.4 UMFORMUNG EINER ENTWICKLUNG NACH T*-POLYNOMEN IN EIN POLYNOM . . .
314 5.5 ALGORITHMUS VON CLENSHAW 315
5.6 OEKONOMISIERUNG EINES POLYNOMS 315
5.7 TSCHEBYSCHEFF-ENTWICKLUNG EINER FUNKTION }{X) 322
6.1 VEKTORITERATION NACH VON MISES 352
6.2 INVERSE ITERATION 355
6.3 TRANSFORMATION AUF HESSENBERG-FORM MIT GAUSS-ELIMINATIONEN 372
7.1 NUMERISCHE DIFFERENTIATION MIT DEM ROMBERG-VERFAHREN 390
8.1 SIMPSON-INTEGRATION EINER FUNKTION ODER WERTETABELLE BEI
VORGEGEBENER ZAHL N DER TEILINTERVALLE 400
8.2 SIMPSON-INTEGRATION EINER FUNKTION MIT WIEDERHOLTER
INTERVALLHALBIERUNG 400 8.3 ROMBERG-INTEGRATION 404
8.4 ADAPTIVE Q U A D R A T UR 406
8.5 ZUFALLSZAHLENGENERATOR 420
8.6 MONTE CARLO-INTEGRATION 422
9.1 RUNGE-KUTTA-VERFAHREN FUER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG MIT
SCHRITTWEITENSTEUERUNG 440
9.2 RUNGE-KUTTA-VERFAHREN FUER SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ERSTER
ORDNUNG 444
9.3 SHOOTING-METHODE ZUR LOESUNG VON LINEAREN RANDWERTPROBLEMEN ZWEITER
ORDNUNG 453
9.4 RANDWERTPROBLEM FUER EINE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER
ORDNUNG MIT DIFFERENZENVERFAHREN 456
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