Die Dynamik der Zinsstruktur: Modelle zur Erfassung des Zinsrisikos und deren Schätzung
Gespeichert in:
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| Format: | Abschlussarbeit Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Dt. Univ.-Verl.
1995
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| Schriftenreihe: | Gabler Edition Wissenschaft
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Inhaltsverzeichnis
Geleitwort V
Vorwort VII
Inhaltsverzeichnis IX
Abbildungsverzeichnis XIII
Tabellenverzeichnis XVII
Abkürzungsverzeichnis XIX
Symbolverzeichnis XXI
I. Einleitung und Gang der Untersuchung 1
II. Modelle zur Dynamik der Zinsstruktur 5
1. Grundlegende Begriffsbestimmungen 5
1.1. Diskontfunktion, Zinsstruktur und Renditestruktur 5
1.2. Terminzinsstruktur und Forward Rate Struktur 6
1.3. Spot Rate Prozeß und Forward Rate Prozeß 7
2. Die allgemeine Struktur von zeitdiskreten, arbitrage orientierten Zins¬
strukturmodellen 8
2.1. Grundlegende Eigenschaften von Binomialmodellen 8
2.1.1. Zentrale Annahmen 8
2.1.2. Das Binomialgitter: Pfadabhängigkeit versus Pfadunabhängigkeit .. 8
2.1.3. Existenz und Eindeutigkeit eines Martingalmaßes 10
2.2. Die Bewegung der Zerobondpreise in Binomialmodellen 11
2.2.1. Die Arbitragefreiheitsbedingung 12
2.2.2. Die Bedeutung der Ausgangszinsstruktur 13
2.2.3. Die Pfadunabhängigkeitsbedingung 14
2.2.4. Bestimmung der Störfunktionen 15
2.2.5. Zerlegung der Störfunktionen 17
2.2.6. Die Stochastik der Zerobondpreise in Abhängigkeit vom Einperioden
Zinssatz 19
2.2.7. Die Monotonie Eigenschaft 20
2.3. Die Zinsstruktur in Binomialmodellen 21
2.3.1. Die Stochastik der Zinsstruktur 21
2.3.2. Das Zinsstruktur Spektrum in monotonen Modellen 21
2.3.3. Der Zusammenhang zwischen kurz und langfristigen Zinssätzen . . 21
2.3.4. Der Spot Rate Prozeß 23
2.4. Die Terminzinssätze und Forward Rates in Binomialmodellen 24
2.4.1. Die Stochastik der Terminzinsstruktur 24
2.4.2. Die Stochastik der Forward Rate Struktur 25
X
3. Ein Faktor Binomialmodelle der Zinsstruktur 27
3.1. Das Ho/Lee Modell: Ein Modell mit zeit und zustandsunabhängigen Shiftfunk
tionen und Martingalwahrscheinlichkeiten 27
3.2. Das Modell von Pedersen/Shui/Thorlacius: Ein Modell mit zeitabhängigen
Shiftfunktionen und Martingalwahrscheinlichkeiten 29
3.3. Das Modell von Ritchken/Sankarasubramanian: Ein Modell mit zeitabhängigen
Shiftfunktionen und zustandsabhängigen Martingalwahrscheinlichkeiten .... 31
3.4. Numerische Beispiele 34
3.4.1. Die Bewegung des Einperioden Zinssatzes 34
3.4.2. Das Zinsstrukturspektrum 38
3.4.3. Die Mean Reversion Eigenschaft 40
3.4.4. Die Veränderung der Volatilität der Zinssätze im Zeitablauf 45
3.4.5. Die Volatilitätsstruktur der Zinssätze 48
3.5. Ein Modell mit zustandsabhängigen Shiftfunktionen und zustandsabhängigen
Martingalwahrscheinlichkeiten (ZSM) 49
3.5.1. Darstellung des ZSM Modells 49
3.5.2. Numerische Beispiele 52
4. Das Zwei Faktoren Modell von Heath/Jarrow/Morton 60
4.1. Allgemeine Darstellung des Forward Rate Prozesses 60
4.2. Das allgemeine Ein Faktor Modell 63
4.2.1. Konstante Volatilität des Forward Rate Prozesses 65
4.2.2. Exponentiell fallende Volatilität des Forward Rate Prozesses 66
4.3. Das spezielle Zwei Faktoren Modell 68
4.4. Zeitstetige Übergänge 70
4.5. Numerische Beispiele 71
5. Ein pfadunabhängiges Mehr Faktoren Modell 74
5.1. Der Forward Rate Prozeß 74
5.2. Die Arbitragefreiheitsbedingung 76
5.3. Der allgemeine Ein Faktor Prozeß 78
5.4. Die Pfadunabhängigkeitsbedingung 80
5.5. Das allgemeine Mehr Faktoren Modell 80
5.6. Ein Beispiel für einen pfadunabhängigen Zwei Faktoren Prozeß 81
5.7. Die Korrelationen zwischen Forward Rates unterschiedlicher Fristigkeiten . . 83
5.8. Numerische Beispiele 85
III. Schätzverfahren zur Bestimmung der Zinsstruktur und deren Dynamik . . 91
1. Überblick über die Schätzverfahren 91
2. Die Datenbasis 93
2.1. Empirische Daten 93
2.2. Experimentelle Daten 94
XI
2.2.1. Künstlich erzeugter Datensatz Nr. 1 (KDS1) 94
2.2.2. Künstlich erzeugter Datensatz Nr. 2 (KDS2) 94
3. Schätzung der Zinsstruktur und der Forward Rate Struktur 99
3.1. Der Approximationssatz von Weierstraß 99
3.2. Der Barwertansatz: Schätzung der Diskontfunktion 100
3.3. Das Spline Prinzip: Linearkombination verschiedener stetiger Funktionen . . 103
3.4. Die Wahl der Basis Funktionen 105
3.4.1. Die Studie von McCulloch (1971): Quadratischer, polynomischer
Spline 105
3.4.2. Die Studie von McCulloch (1975): Kubischer, polynomischer Spline 107
3.4.3. Der exponentielle Spline von Vasicek/Fong (1982) 108
3.4.4. B Splines 109
3.5. Die Wahl der Anzahl der Knotenpunkte und der zu schätzenden Parameter . 112
3.6. Restriktionen an die Diskontfunktion und die Zinsstruktur 113
3.6.1. Die natürliche Restriktion der Diskontfunktion 113
3.6.2. Restriktionen an das Steigungsverhältnis der Diskontfunktion am lan¬
gen Laufzeitenende 114
3.6.3. Restriktionen an das SteigungsVerhältnis der Zinsstruktur 115
3.6.4. Ein nicht parametrisches Verfahren zur Glättung der geschätzten
Zinsstrukturkurve 116
3.7. Parametertests und Konfldenzintervalle 118
3.8. Heteroskedastizität in den Residuen 119
3.9. Experimentelle Ergebnisse ein Vergleich der verschiedenen Splines anhand
konstruierter Daten 121
3.9.1. Schätzung einer flachen Zinsstruktur aus unverzerrten Anleihepreisen 121
3.9.2. Schätzung einer nicht flachen Zinsstruktur aus verzerrten
Anleihepreisen 125
3.9.3. Die Wirkung von Restriktionen am langen Laufzeitenende 128
3.9.4. Extrapolation unter Berücksichtigung von Restriktionen 129
3.10. Empirische Ergebnisse ein Vergleich der verschiedenen Splines anhand
empirischer Daten 132
3.10.1. Schätzung der Zinsstruktur 133
3.10.2. Schätzung der Forward Rate Struktur 136
3.10.3. Schätzung der Veränderungen der Forward Rate Struktur 137
3.10.4. Extrapolation mit Restriktionen 139
3.11. Zusammenfassende Beurteilung der Schätzverfahren zur Ermittlung der Zins¬
bzw. Forward Rate Struktur aus Anleihepreisen 140
4. Untersuchung der Dynamik der Forward Rate Struktur 142
4.1. Methodischer Ãœberblick 142
4.2. Empirische Bestimmung der Faktoren des Forward Rate Prozesses 144
4.2.1. Problemorientierte Darstellung der Faktorenanalyse 144
4.2.2. Extraktion von Faktoren mit der Hauptkomponentenanalyse 150
4.2.3. Zusammenfassung der Ergebnisse 161
XII
4.3. Schätzung der Parameter ausgewählter Modelle 162
4.3.1. Schätzung der Parameter des pfadunabhängigen Zwei Faktoren Mo¬
dells 163
4.3.2. Schätzung der Parameter für das Ho/Lee Modell 169
4.4. Kritische Beurteilung der Schätzergebnisse 170
4.5. Kriterien zur Modellselektion 172
IV. Zusammenfassung 177
Anhänge 183
Anhang A: Mit Splines geschätzte Zinsstrukturen unter Verwendung verschiedener
Restriktionen 183
Anhang B: Mit Spline Schätzern ermittelte Terminzinsstrukturen unter Verwen¬
dung verschiedener Restriktionen 186
Anhang C: Extrapolation der Zinsstruktur mit Spline Schätzern bei Verwendung
verschiedener Restriktionen 190
Anhang D: Monatliche Forward Rate Veränderungen 193
Anhang E: Ergebnisse der Hauptkomponentenanalyse für wöchentliche Daten . . 197
Literaturverzeichnis 199
XIII
Abbildungsverzeichnis
Abb. 1: a) Pfadunabhängigkeit b) Pfadabhängigkeit 9
Abb. 2: a) Einperiodiger Zerobond b) Mehrperiodiger Zerobond 11
Abb. 3: a) Störfunktionen b) Shiftfunktionen 18
Abb. 4: Beispiel für die Bewegungsmöglichkeiten von Zinssätzen unterschiedlicher
Fristigkeiten 22
Abb. 5: Bewegung des Einperioden Zinssatzes (Ritchken/Sankarasubramanian) . . 35
Abb. 6: Bewegung des Einperioden Zinssatzes (Pedersen/Shui/Thorlacius) .... 36
Abb. 7: Differenz der Einperioden Zinssätze in den Modellen von Pedersen/Shui/
Thorlacius und Ritchken/Sankarasubramian 37
Abb. 8: Bewegung des Einperioden Zinssatzes (Ho/Lee) 37
Abb. 9: Grenzen des Einperioden Zinssatzes bei unterschiedlichen Mean Reversion
Parametern 38
Abb. 10: Zinsstrukturkurven in t=4A (Ritchken/Sankarasubramanian) 39
Abb. 11: Zinsstrukturkurven in t=4A (Pedersen/Shui/Thorlacius) 39
Abb. 12: Zinsstrukturkurven in t=4A (Ho/Lee) 40
Abb. 13: Verzerrung des Erwartungswertes, x(s,t,A), in Abhängigkeit von 7r(s,t) 42
Abb. 14: Numerisches Beispiel 1: Zustandsabhängige Martingalwahrscheinlichkeiten 44
Abb. 15: Numerisches Beispiel 2: Zustandsunabhängige Martingalwahrscheinlich¬
keiten 45
Abb. 16: Numerisches Beispiel 3: Fallende Ausgangszinsstruktur 46
Abb. 17: Bedingte Volatilität des Einperioden Zinssatzes im Zeitablauf bei unter¬
schiedlichen Mean Reversion Parametern (mittlerer Pfad des Gitters) ... 47
Abb. 18: Bedingte Volatilität des Einperioden Zinssatzes im Zeitablauf auf verschie¬
denen Pfaden des Giners 48
Abb. 19: Volatilitätsstruktur der Zinssätze 49
Abb. 20: Bewegung des Einperioden Zinssatzes bei zustandsabhängigen Shiftfunktio¬
nen und Martingalwahrscheinlichkeiten 53
Abb. 21: Zinsstrukturkurven in t=4A bei zustandsabhängigen Shiftfunktionen und
Martingalwahrscheinlichkeiten 53
Abb. 22: Zinsstrukturkurven in t=4A bei zustandsabhängigen Shiftfunktionen und
konstanten Martingalwahrscheinlichkeiten 54
Abb. 23: Implizite Grenzen des Einperioden Zinssatzes für verschiedene X2 .... 54
Abb. 24: Numerisches Beispiel 4: Zustandsabhängige Shiftfunktionen und Martingal¬
wahrscheinlichkeiten 55
Abb. 25: Bewegung des Einperioden Zinssatzes in den Modellen 57
Abb. 26: Varianz des Einperioden Zinssatzes im Zeitablauf 57
Abb. 27: Verteilung des Einperioden Zinssatzes im Zeitpunkt t = 10 Jahre 58
XIV
Abb. 28: Bewegung des Einperioden Zinssatzes im pfadabhängigen, binomischen
Baum des Ein Faktor Modells mit exponentiell fallender Volatilität .... 72
Abb. 29: Varianz des Einperioden Zinssatzes im Zeitablauf (Ein Faktor Modell mit
exponentiell fallender Volatilität) 72
Abb. 30: Binomischer Baum über eine Periode für einen Prozeß mit drei stochasti
schen Faktoren 75
Abb. 31: Extremwerte des Einperioden Zinssatzes für zwei pfadunabhängige Fakto¬
ren 86
Abb. 32: Varianz des Einperioden Zinssatzes für zwei pfadunabhängige Faktoren . 86
Abb. 33: Forward Rate Strukturen des pfadunabhängigen Zwei Faktoren Prozesses
nach 4 Perioden 87
Abb. 34: Zinsstrukturen des pfadunabhängigen Zwei Faktoren Prozesses nach 4
Perioden 87
Abb. 35: Grafische Darstellung der Korrelationsmatrix von Forward Rates verschie¬
dener Fristigkeiten für zwei unterschiedliche Parameterkonstellationen des
Zwei Faktoren Modells 89
Abb. 36: Couponstruktur der künstlich erzeugten Anleihen, (KDS2) 95
Abb. 37: Preisabweichungen aufgrund der Zinsstruktur Störterme, (KDS2) 96
Abb. 38: Gewichtete Preisabweichungen, (KDS2) 96
Abb. 39: Vorgegebene Zins und Forward Rate Struktur, (KDS2) 98
Abb. 40: B Splines der Grade q=2 bis 4 und der Ordnung k=7 111
Abb. 41: Geschätzte Zinsstrukturen aus polynomischen Splines (k=6), (KDS1) . . 122
Abb. 42: Geschätzte Zinsstrukturen aus B Splines (k=7), (KDS1) 122
Abb. 43: Fehler der geschätzten Diskontfunktionen, (KDS1) 123
Abb. 44: Residuen der B Spline Schätzungen, (KDS1) 124
Abb. 45: Geschätzte Forward Rate Strukturen (B Spline Schätzungen), (KDS1) . . 124
Abb. 46: Zinsstrukturen aus B Splines (q = 3) verschiedener Ordnung, (KDS2) ... 126
Abb. 47: Zinsstrukturen aus B Splines unterschiedlichen Grades, k=8, (KDS2) . . 127
Abb. 48: Forward Rate Strukturen aus B Splines unterschiedlichen Grades, k=8,
(KDS2) 127
Abb. 49: Die Wirkung zusätzlicher Restriktionen auf die Zinsstruktur, (KDS2) . . 128
Abb. 50: Die Wirkung zusätzlicher Restriktionen auf die Forward Rate Struktur,
(KDS2) 129
Abb. 51: Extrapolierte Zinsstrukturen, (KDS2) 131
Abb. 52: Forward Rate Strukturen aufgrund extrapolierter Zinsstrukturen, (KDS2) 131
Abb. 53: Geschätzte Volatilität der Forward Rate Veränderungen, A = 1 Woche .. 138
Abb. 54: Geschätzte Volatilität der Forward Rate Veränderungen, A = l Monat .. 138
Abb. 55: Geschätzte Volatilität der Forward Rate Veränderungen, A = 3 Monate . . 138
Abb. 56: Scree und Horn Test für den Datensatz MFRS 154
XV
Abb. 57: Scree und Horn Test für den Datensatz MFRV3 154
Abb. 58: Geschätzte Hauptkomponenten (MFRS) 156
Abb. 59: Geschätzte Hauptkomponenten (MFRV1) 157
Abb. 60: Geschätzte Hauptkomponenten (MFRV2) 157
Abb. 61: Geschätzte Hauptkomponenten (MFRV3) 157
Abb. 62: Geschätzte Faktorenwerte (MFRS) 160
Abb. 63: Geschätzte Faktorenwerte (MFRV3) 160
Abb. 64: Approximierte Zustandsvariablen und geschätzte Faktorwerten 165
Abb. 65: Geschätzte vertikale Shiftfunktionen und adjustierte Faktorladungen . . . 167
Abb. 66: Geschätzte vertikale Shiftfunktionen für die einzelnen Teilzeiträume ... 168
Abb. 67: Modellierte und empirische Korrelationsmatrix der Forward Rates .... 169
Abb. A l bis A 9: Geschätzte Zinsstrukturkurven 183 186
Abb. B l bis B 9: Geschätzte Forward Rate Strukturen 187 189
Abb. C l bis C 9: Extrapolierte Zinsstrukturkurven 190 193
Abb. D l bis D 9: Geschätzte Veränderung der Forward Rate Struktur ... 194 196
Abb. E l bis E 4: Geschätzte Hauptkomponenten 197 198
XVII
Tabellenverzeichnis
Tabelle 1: Statistiken zu den künstlich erzeugten Störtermen, (KDS2) 98
Tabelle 2: Standardabweichung der Residuen, (KDS2) 125
Tabelle 3: Statistiken für die Schätzungen mit zusätzlichen Restriktionen, (KDS2) 130
Tabelle 4: Kubischer, polynomischer Spline mit und ohne Glättung, (KDS2) ... 130
Tabelle 5: Statistiken für die Schätzungen mit Extrapolationsbereich unter
Verwendung von zusätzlichen Restriktionen, (KDS2) 132
Tabelle 6: Anzahl der täglichen Beobachtungen im Zeitraum 1988 1991 133
Tabelle 7: Klassifizierung der Schätzungen 133
Tabelle 8: Mittlere absolute Preisabweichungen 134
Tabelle 9: Absolute Preisabweichungen 135
Tabelle 10: Durbin Watson Teststatistiken 136
Tabelle 11: Untersuchte Datensätze im Rahmen der Hauptkomponentenanalyse ... 152
Tabelle 12: Faktorenzahl nach verschiedenen Kriterien 155
Tabelle 13: Erklärte Varianz und Eigenwerte der Hauptkomponenten 159
Tabelle 14: Geschätzte Parameterwerte für das Zwei Faktoren Modell 166
Tabelle 15: Geschätzte Parameterwerte für das Ho/Lee Modell 170
Tabelle 16: Vergleich des Berechnungsaufwandes einzelner Modelle 174
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