Fundamentale Ideen der angewandten Mathematik und ihre Umsetzung im Unterricht:
Gespeichert in:
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| Format: | Abschlussarbeit Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Mannheim u.a.
BI-Wiss.-Verl.
1995
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| Schriftenreihe: | Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik
31 |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Teilw. zugl.: Wien, Univ., Diss. J. Humenberger, 1994 |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Der Begriff „Fundamentale Idee 1
1.1 Fundamentalen Ideen nach Bruner............................ 1
1.2 Literaturübersicht - Fundamentale Ideen......................... 3
2 Angewandte Mathematik 13
2.1 „Reine versus „Angewandte Mathematik ....................... 13
2.2 Unser Verständnis von „Angewandter Mathematik ................... 15
2.3 Angewandte Mathematik im Unterricht ......................... 17
2.4 Schwierigkeiten bei „Anwendungsorientierung ..................... 20
2.5 Fundamentale Ideen zur Strukturierung des Unterrichts ................ 25
2.6 Zusammenfassung unseres Standpunktes......................... 26
2.6.1 Forderungen an eine Fundamentale Idee der Angewandten Mathematik ... 27
2.6.2 Zweck von Fundamentalen Ideen der Angewandten Mathematik........ 28
2.6.3 Überblick über unseren Katalog von Fundamentalen Ideen der Angewandten
Mathematik..................................... 28
I
3 Das Modellbilden 33
3.1 Der typische Lösungsprozeß................................ 33
3.2 Ein einfacher Modellierungsprozeß............................ 35
3.3 „Mehrdeutigkeiten von Modellen............................. 37
3.3.1 Unterschiedliche ModeHe für gleiche Situationen ................ 37
3.3.2 Verschiedene Situationen zum gleichen Modeil ................. 42
3.4 Eingekleidete Aufgaben.................................. 43
3.5 Untersuchungsergebnisse bei Modellbildungsaufgaben.................. 48
X
4 Über- und Unterbestimmung 53
4.1 Grundsätzliche Bemerkungen............................... 53
4.2 Konkrete Beispiele..................................... 54
5 Sprachliche Aspekte im Mathematikunterricht 61
5.1 Allgemeine Aspekte von Sprache und Mathematik................... 61
5.2 Das Mathematisieren.................................... 64
5.3 Umgangssprache - Exaktifizierungen........................... 66
5.4 Erläutern von mathematischen Inhalten......................... 69
5.4.1 Erläutern und Beschreiben von Lösungswegen.................. 70
5.4.2 Erläutern von Begriffen, Definitionen und Sätzen................ 71
5.4.3 Erläutern von graphischen Darstellungen .................... 72
5.5 Sprachliches Variieren und Erfinden von Aufgaben................... 73
5.6 Begründen und Argumentieren.............................. 74
5.7 Variable und Formeln ................................... 83
5.7.1 Variable im Unterricht............................... 83
5.7.2 Variable als Mittel zur Beschreibung....................... 86
5.7.3 Gleichungen,
И
6 Numerische Mathematik 93
6.1 Propädeutik......................................... 93
6.2 Überschlags- und Kopfrechnen, Schätzen......................... 95
6.3 Näherungszahlen am Taschenrechner........................... 97
6.4 Zur Angabe bzw. Festlegung von Näherungswerten................... 100
6.5 Numerische Inäquivalenz von
7 Fehlerfortpflanzung 115
7.1 Regem der Fehlerfortpflanzung.............................. 115
7.2 Extreme Auswirkungen von Rundungs- und Datenfehlern............... 119
7.2.1 PIVOT-Element beim GAUSS-Algorithmus ................... 120
7.2.2 „Schlecht-konditionierte11 lineare Gleichungssysteme.............. 122
INHALTSVERZEICHNIS
8
8.1 Grundlegendes und einfache Beispiele ..........................125
8.2 Iteratives Lösen von linearen Gleichungssystemen....................130
8.3 Das Fixpunktverfahren (im Mathematikunterricht)...................135
8.4 Das NEWTON-Verfahren (im Mathematikunterricht)..................142
III
9 Ausgewählte Anwendungsbeispiele 149
9.1 Testen von Hypothesen ..................................150
9.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Bayes sche Regel ...................157
10 Verschiedene Modelle, Approximation, Paradoxa 167
10.1 Verschiedene Modelle zur selben Situation........................ 167
10.2 Stochastik und Näherungsrechnung............................ 169
10.3 Einige Paradoxa in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.................. 173
IV
11 Methoden des Optimierens 183
11.1 Einführung.........................................183
11.2 Ergänzen zu einem vollständigen Quadrat........................186
11.3 Optimieren mit Hilfe bekannter Ungleichungen.....................189
11.4 Ein ausführliches Beispiel.................................192
V
12 Iteration 199
12.1 Zur Idee des „Algorithmus ................................ 199
12.2 Zum Begriff der Iteration ................................. 200
12.3 Dynamische Systeme und Differenzengleichungen.................... 203
12.4 „Chaos bei dynamischen Systemen ........................... 206
12.5 Weitere elementare Iterationen.............................. 210
12.6 Der HERONsche Wurzelalgorithmus............................ 212
13 Rekursion 215
XII INHALTSVERZEICHNIS
VI
14 Darstellen von Situationen 221
14.1 Eine Beispielauswahl....................................221
14.2 „Funktionen - Beschreibende Statistik.........................223
15 Problemlösen — Heuristische Strategien 229
15.1 Sinnvofles oder systematisches Probieren......................... 230
15.2 Fallunterscheiden, Extrem- bzw. Spezialfälle....................... 232
15.3 Analoge bzw. äquivalente Probleme ........................... 235
15.4 Symmetrie als heuristische Strategie........................... 239
VII
16 Vernetzen von Wissen 247
16.1 Vernetzen von Mathematik mit anderen Gebieten....................247
16.2 Innermathematisches Vernetzen..............................248
16.2.1 Bewußtmachen von Äquivalenzen.........................248
16.2.2 Zusammenhänge, Verallgemeinerungen, Erweiterungen.............248
16.3 Vernetzen innerhalb von Beispielen............................252
16.3.1 Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten .................252
16.3.2 Beispiele, zu deren Lösung mehr als ein Kalkül notwendig ist.........254
16.4 Eigen- und Selbständigkeit beim Arbeiten........................255
17 Projekte und Facharbeiten 257
17.1 Projektartige Unterrichtsformen..............................257
17.2 Die „Fach(bereichs)arbeit bei der Reifeprüfung.....................260
Literaturverzeichnis 263
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