Die Satzgruppe des Pythagoras:
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Mannheim u.a.
BI-Wiss.-Verl.
1994
|
| Schriftenreihe: | Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik
29 |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Literaturverz. S. 398 - 404 |
| Beschreibung: | IX, 404 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3411173211 |
Internformat
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| adam_text | DIE SATZGRUPPE
DES PYTHAGORAS
VON
PROF. DR. ANNA MARIA FRAEDRICH
PAEDAGOGISCHE HOCHSCHULE WEINGARTEN
WISSENSCHAFTSVERLAG
MANNHEIM YY LEIPZIG YY WIEN YY ZUERICH
INHALT
VORWORT 1
I. SACHINFORMATIONEN ZUR SATZGRUPPE
DES PYTHAGORAS
A. DIE FLAECHENSAETZE AM RECHTWINKLIGEN DREIECK, IHRE UM
KEHRUNG UND IHRE LOGISCHE ABHAENGIGKEIT VONEINANDER 8
1. FORMULIERUN
G DE
R SAETZE 8
A
) BEZEICHNUNGEN AM RECHTWINKLIGEN DREIECK 8
B
) DI
E ZUR SATZGRUPPE DE
S PYTHAGORAS GEHOERENDEN SAETZE 9
2
. DI
E KEHRSAETZ
E ZU (P)
, (K) UND (H
) 11
A) EINE VORBEMERKUNG 11
B
) DE
R KEHRSATZ ZU (P
) 12
C
) DE
R KEHRSATZ ZU (K) 12
D
) DE
R KEHRSATZ ZU (H
) 13
3
. ZU
R GEGENSEITIGEN LOGISCHEN ABHAENGIGKEIT
DE
R SAETZ
E
(P)
, (K) UND (H
) 14
A
) DI
E LOGISCHE GLEICHWERTIGKEIT VON (P
) UND (K) 14
B) DI
E LOGISCHE BEZIEHUNG ZWISCHEN (P
) UND (H
) 25
C) DI
E LOGISCHE BEZIEHUNG ZWISCHEN (K) UND (H
) 16
B. BEWEISE FUER DIE FLAECHENSAETZE AM
RECHTWINKLIGEN DREIECK 19
1. EUKLIDISCHE METHOD
E 20
2. ABBILDUNGSGEOMETRISCH
E METHOD
E 22
A
) BEWEIS DE
S KATHETENSATZENS MIT
SCHRAEGSPIEGELUNG UND SCHERUNG 22
B
) BEWEIS DES HOEHENSATZES MIT HILFE
VON DREI SCHERUNGEN 23
3
. ZERLEGUNGSBEWEISE 24
A) DA
S PRINZIP DER ZERLEGUNGSGLEICHHEIT 24
B
) EINIGE ZERLEGUNGSBEWEISE FUER DEN PYTHAGORASSATZ 25
C
) EIN ZERLEGUNGSBEWEIS FUER DEN KATHETENSATZ 28
D
) HINWEIS AUF SPEZIALFAELLE, IN WELCHEN GEEIGNETE ZERLE
GUNGEN DE
S HOEHENQUADRATS ZUM HOEHENSATZ FUEHREN 29
E
) ZWEI VOLLSTAENDIGE ZERLEGUNGSBEWEISE FUER (P
) 31
II
4. ERGAENZUNGSBEWEISE 37
A
) DA
S PRINZIP DER ERGAENZUNGSGLEICHHEIT 37
B
) EIN ERGAENZUNGSBEWEIS FUER (H
) 37
C
) EIN ERGAENZUNGSBEWEIS FUER (K) 38
D
) EINIGE ERGAENZUNGSBEWEISE FUER (P
) 39
5. HINWEIS AUF PARKETTIERUNGEN ALS BEWEISFIGUREN 42
6. ARITHMETISCHE BEWEISE 43
A
) EINIGE ARITHMETISCHE BEWEISE FUER (P
) 43
B
) EIN ARITHMETISCHER BEWEIS FUER (H
) 47
C
) HINWEIS AUF EINEN ARITHMETISCHEN BEWEIS FUER (K) 48
7. BEWEISE MIT HILFE DER AEHNLICHKEITSBEZIEHUNGEN
AM RECHTWINKLIGEN DREIECK 49
A
) AEHNLICHKEITSBEZIEHUNGEN AM RECHTWINKLIGEN DREIECK 49
B
) (H
) UND (K) ALS FOLGERUNG AUS DEN AEHNLICHKEITS
BEZIEHUNGEN AM RECHTWINKLIGEN DREIECK 50
C
) (P
) ALS FOLGERUNG AUS DEN AEHNLICHKEITSBE
ZIEHUNGEN AM RECHTWINKLIGEN DREIECK 51
D
) EIN WEITERER AEHNLICHKEITSBEWEIS FUER (P
) 52
8. VEKTORIELLE BEWEISE ZU DEN SAETZEN AM
RECHTWINKLIGEN DREIECK 53
A
) DA
S SKALARPRODUKT FUER VEKTOREN DES IR
UND SEINE EIGENSCHAFTEN 53
B
) ZWEI VEKTORIELLE BEWEISE FUER (K) 54
C
) EIN VEKTORIELLER BEWEIS FUER (H
) 55
D
) EIN VEKTORIELLER BEWEIS FUER (P
) 55
9. HINWEIS AUF WEITERE MOEGLICHKEITEN ZUR GEWIN
NUNG DER SAETZE AM RECHTWINKLIGEN DREIECK IM
ZUSAMMENHANG MIT ANDEREN MATHEMATISCHEN
SACHVERHALTEN 56
A
) GEWINNUNG DER SAETZE AM RECHTWINKLIGEN DREIECK
AUS EINEM ALLGEMEINEN PROJEKTIONSSATZ 56
B
) (H)
, (K) UND (P
) ALS FOLGERUNGEN AUS DEN
AEHNLICHKEITSBEZIEHUNGEN AM KREIS 59
C
) (P
) ALS FOLGERUNG AUS DEM SATZ DES PTOLEMAEUS 63
D
) HERLEITUNG VON (H
) IM ZUSAMMENHANG MIT DER BE
-
HANDLUNG VON STEIGUNGSDREIECKEN BEI GERADEN 64
E
) GEWINNUNG DER FLAECHENSAETZE AM RECHTWINKLIGEN DREIECK
IM ZUSAMMENHANG MIT FLAECHENVERWANDLUNGEN 67
III
C. SPEZIALISIERUNGEN, VERALLGEMEINERUNGEN UND ANALOGIEN
ZU DEN FLAECHENSAETZEN AM RECHTWINKLIGEN DREIECK 68
1. SPEZIALISIERUNGEN 69
A) RECHTWINKLIGE DREIECKE MIT GANZZAHLIGEN
SEITENMASSZAHLEN 69
B) GLEICHSCHENKLIG - RECHTWINKLIGE DREIECKE 78
C) HINWEIS AUF INTERESSANTE SPEZIALFAELLE VON
FAST-PYTHAGOREISCHEN DREIECKEN 79
D) RECHTWINKLIGE DREIECKE MIT 1 ALS MASSZAHL
DER HYPOTENUSE 83
2. VERALLGEMEINERUNGEN 84
A) DE
R PROJEKTIONSSATZ FUER DREIECKE ALS
VERALLGEMEINERUNG VON (K) 84
B) EINE VERALLGEMEINERUNG VON (H
) 85
C) DE
R KOSINUSSATZ ALS VERALLGEMEINERUNG VON (P
) 86
D) EIN QUADRATSUMMENSATZ ALS VERALLGEMEINERUNG 87
E
) DE
R SATZ DES PAPPOS ALS VERALLGEMEINERUNG
VON (K) BZW. VON (P
) 88
F) EINE VERALLGEMEINERUNG VON (P
) AUF AEHNLICHE FIGU
REN UEBER DEN SEITEN EINES RECHTWINKLIGEN DREIECKS 90
G) EIN SATZ UEBER DIE DIAGONALEN IM PARALLELOGRAMM
ALS VERALLGEMEINERUNG VON (P
) 92
H) HINWEIS AUF MOEGLICHKEITEN FUER VERALLGEMEINERUNGEN
ZU DEN PYTHAGOREISCHEN ZAHLENTRIPELN 93
3. ANALOGIEN 108
A) ZUM BEGRIFF ANALOGIE* 108
B) QUADER ALS RAEUMLICHES ANALOGEM ZUM RECHTECK 109
C) ANALOGIEBILDUNGEN ZU DEN DURCH DIE FLAECHENSAETZE GE
GEBENEN MOEGLICHKEITEN DER FLAECHENVERWANDLUNG 110
D) RECHTWINKLIGES TETRAEDER ALS RAEUMLICHES ANALOGEM
ZUM RECHTWINKLIGEN DREIECK 112
E
) UNTERSUCHUNGEN AM VIERDIMENSIONALEN
RECHTWINKLIGEN TETRAEDER 118
F) VERSUCH EINER VERALLGEMEINERUNG AUF DAS
N-DIMENSIONALE RECHTWINKLIGE TETRAEDER 123
G) HINWEIS AUF EIN WEITERES DREIDIMENSIONALES
ANALOGON ZUM RECHTWINKLIGEN DREIECK 124
IV
H) HINWEIS AUF ANALOGISIERUNGEN IM ZUSAMMENHANG
MIT DEN PYTHAGOREISCHEN ZAHLENTRIPELN
D. GESCHICHTLICHE INFORMATIONEN ZU DEN FLAECHENSAETZEN
AM RECHTWINKLIGEN DREIECK
1. HINWEIS AUF VIELFAELTIGE BELEGE FUER DIE FRUEHE
KENNTNIS PYTHAGOREISCHER ZAHLENTRIPEL
A
) PYTHAGOREISCHE DREIECKE IN DER MEGALITHISCHEN
ARCHITEKTUR WESTEUROPAS UND AEGYPTENS
B
) BEISPIELE FUER FRUEHESTE VERFAHREN ZUR KONSTRUK
TION PYTHAGOREISCHER ZAHLENTRIPEL
C
) HINWEIS AUF AUFGABEN, DIE AUF DEM HINTERGRUND
PYTHAGOREISCHER ZAHLENTRIPEL KONZIPIERT WURDEN
2. BEISPIELE FUER AUFGABEN AUS ALTER ZEIT, ZU DEREN LOE
SUNG DER PYTHAGORASSATZ HERANGEZOGEN WURDE
A
) BERECHNUNGEN AM RECHTECK
B
) BERECHNUNGEN MIT HILFE RECHTWINKLIGER DREIECKE
D
) HINWEIS AUF ANWENDUNG DES PYTHAGORASSATZES
IN DER ASTRONOMIE
3
. HINWEISE AUF FRUEHESTE FORMULIERUNGEN DES
PYTHAGORASSATZES UND BEGRUENDUNGEN
A
) HINWEIS AUF UNTERSCHIEDLICHE METHODEN
B
) EIN ALTINDISCHER BEWEIS DES PYTHAGORASSATZES
C
) DE
R SONDERFALL DER VERDOPPLUNG BZW.
HALBIERUNG EINES QUADRATS
D
) DE
R PYTHAGORASSATZ IM ALTCHINESISCHEN
KALENDERWERK CHOU PEI SUAN CHING
E
) DE
R BEWEIS DE
S PYTHAGORASSATZES BEI DEN GRIECHEN
4. DI
E HYPOTHESE VON B. L. VAN DE
R WAERDE
N
5. DE
R PYTHAGORASSATZ IN MITTELALTER UND NEUZEIT
A
) HINWEIS AUF DIE GESCHICHTLICHE ENTWICKLUNG
B
) DE
R PYTHAGORASSATZ IM MITTELALTER
C
) HINWEIS AUF DIE GROSSE ANZAHL HEUTE BEKANNTER
BEWEISE FUER DEN PYTHAGORASSATZ
D
) ZUR VERWENDUNG DER PYTHAGORASFIGUR IN UNSERER ZEIT
E
) PYTHAGORAS UND SCIENCE FICTION
125
128
128
128
130
134
135
135
136
141
142
142
143
143
144
145
146
146
146
147
148
148
148
II
. BEMERKUNGEN ZUM UNTERRICHTLICHEN VORGEHEN:
DER EINSTIEG
A.
EINE VORBEMERKUNG ZUM EINSTIEG IN DEN THEMENKREIS
SATZGRUPPE DES PYTHAGORAS 150
B. MOEGLICHKEITEN DES EINSTIEGS UEBER DEN KATHETENSATZ 152
1. VORUEBERLEGUNGE
N 152
2
. DI
E QUADRATU
R DE
S RECHTECKS
ALS AUSGANGSPROBLE
M 153
A) EIN PROBIERVERFAHREN MIT HILFE VON SCHERUNGEN 153
B
) EIN WEITERER KONSTRUKTIVER ZUGANG ZUM KATHETENSATZ 171
C) EIN WEG ZUR RECHTECKQUADRATUR (UND DAMIT
WIEDER ZUM KATHETENSATZ) MIT HILFE DER
LOESUNG DER UMKEHRAUFGABE 172
3
. EXPERIMENT
E MIT DE
M ZIEL, DE
N KATHETENSAT
Z
ZU ENTDECKE
N 176
A) EIN PUZZLE ALS ZUGANG ZUM KATHETENSATZ 176
B
) EIN KATHETENSATZ-PARKETT 178
C) AUFFINDEN DES KATHETENSATZES AUFGRUND VON BEOB
ACHTUNGEN AN EINEM UMFANGREICHEN BEISPIELVORRAT 182
4
. HINWEI
S AUF EINIGE MOEGLICHKEITEN, DE
N KATHE
-
TENSAT
Z ALS ABFALLPRODUKT VORHE
R BEHANDELTE
R
MATHEMATISCHE
R SACHVERHALTE ZU GEWINNEN
A) ERINNERUNG AN DERARTIGE MOEGLICHKEITEN
B) EINIGE KRITISCHE BEMERKUNGEN
C) EINIGE FACHDIDAKTISCHE PRINZIPIEN UND IHRE REALISIERUNG
5. HINWEI
S AUF FORTSETZUNGSMOEGLICHKEITEN
A) HERLEITUNG DES PYTHAGORASSATZES AUS DEM KATHETENSATZ
B
) DE
R HOEHENSATZ ALS FOLGERUNG
C
) ANWENDUNG DES KATHETENSATZES ZUR
QUADRATUR VON RECHTECKEN
D
) AKTIVITAETEN AN EINEM PARKETT
C
.
MOEGLICHKEITEN DES EINSTIEGS UEBER DEN HOEHENSATZ
1. DI
E FLAECHENVERWANDLUNG QUADRAT-
RECHTEC
K
ALS AUSGANGSPROBLE
M
A) DI
E VERWANDLUNG DES HOEHENQUADRATS IN DAS RECHTECK
MIT DEM HYPOTENUSENABSCHNITT P ALS SEITE
186
186
186
187
188
188
190
191
191
197
197
197
VI
B
) DI
E LOESUNG DES VERWANDLUNGSPROBLEMS
QUADRAT -
RECHTECK DURCH ANWENDUNG DES
SATZES VON DEN ERGAENZUNGSPARALLELOGRAMMEN 199
2. EIN HOEHENSATZ-PARKETT ALS ZUGANG
ZUM HOEHENSATZ 202
3. EXPERIMENTE MIT DEM ZIEL, DEN
HOEHENSATZ ZU ENTDECKEN 203
A
) EIN PUZZLE ALS ZUGANG ZUM HOEHENSATZ 203
B
) AUFFINDEN DE
S HOEHENSATZES AUFGRUND VON BEOBACH
TUNGEN AN EINEM UMFANGREICHEN BEISPIELVORRAT 206
4. HINWEIS AUF EINIGE MOEGLICHKEITEN, DEN HOEHEN
SATZ ALS ABFALLPRODUKT VORHER BEHANDELTER
MATHEMATISCHER SACHVERHALTE ZU GEWINNEN 209
5. HINWEIS AUF FORTSETZUNGSMOEGLICHKEITEN 210
A
) HERLEITUNG DE
S PYTHAGORASSATZES AUS DEM HOEHENSATZ 210
B
) HERLEITUNG DE
S KATHETENSATZES 210
C
) ANWENDUNG DE
S HOEHENSATZES ZUR
QUADRATUR VON RECHTECKEN 210
D
) LOESUNG EINER KONSTRUKTIONSAUFGABE
MIT HILFE DE
S HOEHENSATZES 212
E
) KONSTRUKTION VON ARITHMETISCHEM, GEOMETRISCHEM UND
HARMONISCHEM MITTEL SOWIE IHR GROESSENVERGLEICH 213
F) LOESUNG EINER BEWEISAUFGABE MIT HILFE DES HOEHENSATZES 215
D. MOEGLICHKEITEN DES EINSTIEGS UEBER DEN PYTHAGORASSATZ
217
1. VORBEMERKUNG ZUM AUFBAU DIESES KAPITELS 217
A
) HINWEIS AUF EINEN AUFSATZ VON G. HOLLAND 217
B
) KRITERIEN FUER DIE UNTERRICHTLICHE BEHANDLUNG
GEOMETRISCHER SAETZE 217
C
) VORUEBERLEGUNGEN ZUR UNTERRICHTLICHEN BEHANDLUNG
GEOMETRISCHER SAETZE 218
D
) DI
E VIER UNTERRICHTSSTRATEGIEN ZUM GEWINNEN UND BE
WEISEN GEOMETRISCHER SAETZE NACH G. HOLLAND 219
2. MOEGLICHKEITEN ZUR INDUKTIVEN GEWINNUNG DES
PYTHAGORASSATZES 219
A
) HINWEIS AUF NOTWENDIGE VORUEBERIEGUNGEN 219
B
) EIN EXPERIMENTELLES VORGEHEN IN ANLEHNUNG
AN M. WAGENSCHEIN 222
VII
C) HINWEIS AUF EINE ZWEITE MOEGLICHKEIT, AUF EXPERIMENTELL
INDUKTIVEM WEGE ZUM PYTHAGORASSATZ ZU KOMMEN 230
D
) EINIGE GRUNDSAETZLICHE BEMERKUNGEN ZUR STRATEGIE DER
INDUKTIVEN SATZFINDUNG 233
3. SATZ- UND BEWEISFINDUNG DURCH LOESUNG EINER
KONSTRUKTIONSAUFGABE: DIE QUADRATUR
DER ZWEI-QUADRAT-FIGUR 235
A) BESCHREIBUNG DIESER STRATEGIE UND HINWEIS AUF IHRE
ANWENDUNG IN DEN KAPITELN II. B UND II. C 235
B
) FORMULIERUNG DER ZU (P
) FUEHRENDEN
KONSTRUKTIONSAUFGABE 235
C) ZUM UNTERRICHTSVERLAUF 236
4. SATZ- UND BEWEISFINDUNG DURCH ANALYSE EINER
GEOMETRISCHEN KONFIGURATION 246
A) BESCHREIBUNG DIESER STRATEGIE UND HINWEIS AUF IHRE
ANWENDUNG IN KAP. II. B UND II. C 246
B) HINWEIS AUF PUZZLES ZUM PYTHAGORASSATZ 247
C) HINWEIS AUF FILME ZUM PYTHAGORASSATZ 250
D) HINWEIS AUF PYTHAGORAS-PARKETTE 254
5. SATZ- UND BEWEISFINDUNG DURCH LOESEN EINER
BERECHNUNGSAUFGABE 256
A) BESCHREIBUNG DIESER STRATEGIE 256
B
) GEWINNUNG VON (P
) DURCH LOESEN EINER
BERECHNUNGSAUFGABE 257
C
) HINWEIS AUF EIN DYNAMISCHES MODELL ZUM
VARIIEREN DER PYTHAGORASFIGUR 265
6. HINWEIS AUF EINIGE MOEGLICHKEITEN, DEN PYTHAGORAS
SATZ ALS ABFALLPRODUKT VORHER BEHANDELTER
MATHEMATISCHER SACHVERHALTE ZU GEWINNEN 267
7. HINWEIS AUF FORTSETZUNGSMOEGLICHKEITEN 268
A) FOLGERUNG VON (K) UND (H
) AUS (P
) 268
B) DI
E UMKEHRUNG VON (P
) 268
C) HINWEIS AUF DIE VIELFAELTIGEN ANWENDUNGSMOEGLICH
KEITEN VON (P
) AUF KONSTRUKTIONS-, BEWEIS- UND
BERECHNUNGSAUFGABEN 269
D) SPEZALISIERUNGEN, VERALLGEMEINERUNGEN UND ANA
LOGIEN VON (P
) IM MATHEMATIKUNTERRICHT 270
VII
I
8. EI
N EXKURS ZUM THEM
A LERNZIELE 271
A) ANMERKUNGEN ZUM PROBLEMKREIS ALLGEMEINE LERNZIELE 271
B
) ZUR FORMULIERUNG VON LERNZEILEN FUER DEN UNTERRICHT 272
C
) SKIZZIERUNG DER BLOOMSCHEN TAXONOMIE VON
KOGNITIVEN LERNZIELEN 272
D) BEISPIELE FUER AKTIVITAETEN IM ZUSAMMENHANG MIT DEM
PYTHAGORASSATZ UND IHRE EINORDNUNG IN DIE
BLOOMSCHE TAXONOMIE 274
E
) BEISPIELE FUER PRUEFUNGSAUFGABEN ZUR SATZGRUPPE
DES PYTHAGORAS 279
III. ANWENDUNGEN
A.
AUFGABEN ZUM RECHTWINKLIGEN DREIECK 290
1. BERECHNUNGE
N AM RECHTWINKLIGEN DREIECK 290
A) ZUSAMMENSTELLUNG DER WICHTIGSTEN FORMELN FUER
DAS RECHTWINKLIGE DREIECK 290
B
) EINFACHSTE BERECHNUNGEN DER UEBLICHEN ART 292
C) BERECHNUNG DER KLASSISCHEN STRECKEN IM
RECHTWINKLIGEN DREIECK 294
D) UMKREISRADIUS, INKREISRADIUS UND ANKREISRADIEN
BEIM RECHTWINKLIGEN DREIECK 296
2
. BEWEISAUFGABEN 302
A) HINWEIS AUF KAP. I 302
B
) BESONDERHEITEN DES RECHTWINKLIGEN DREIECKS 303
C
) HINWEIS AUF CHARAKTERISTISCHE EIGENSCHAFTEN 308
D
) BEISPIELE FUER ALGEBRAISCHE BEWEISE 310
3
. KONSTRUKTIONSAUFGABEN 317
A) UEBERSICHT UEBER DIE MOEGLICHEN FAELLE 317
B
) BEISPIELE FUER ANSPRUCHSVOLLE KONSTRUKTIONSAUFGABEN 319
B. WEITERE ANWENDUNGEN IN DER PLANIMETRIE 323
1. BERECHNUNGE
N 323
A) ZUR HERLEITUNG WICHTIGER FORMELN 323
B) BERECHNUNGEN AN VORGEGEBENEN FIGUREN 326
2
. BEISPIELE FUER BEWEISAUFGABEN 339
A
) HINWEIS AUF KAP. I UND KAP. II 339
I
X
B
) BEISPIELE FUER WEITERE BEWEISAUFGABEN 339
C
) BEISPIELE FUER DIE ANALYSE VORGEGEBENER FIGUREN 343
3. KONSTRUKTIONSAUFGABEN 357
A
) QUADRATURPROBLEME 357
B
) ARITHMETIK MIT ZIRKEL UND LINEAL 359
C) BEISPIELE FUER WEITERE KONSTRUKTIONSAUFGABEN 362
C. ANWENDUNGEN IN DER STEREOMETRIE
365
1. BERECHNUNGEN UND BEWEISE AN
GEOMETRISCHEN KOERPERN 365
A) HERLEITUNG VON FORMELN 365
B
) BEISPIELE FUER BEWEISE 369
C) EIN BEISPIEL FUER EINE BERECHNUNGSAUFGABE 370
2. ANWENDUNGEN AUF SITUATIONEN AUS
ALLTAG UND UMWELT 374
A
) BEISPIELE FUER PSEUDO-REALISTISCHE SITUATIONEN 374
B
) BEISPIELE FUER WIRKLICHKEITSNAHE SITUATIONEN 376
3
. HERSTELLUNG GEOMETRISCHER KURIOSITAETEN 390
A) DE
R SECHSECKIGE ROTIERENDE RING 390
B) HINWEIS AUF DEN QUADRATISCHEN ROTIERENDEN RING 393
C) DE
R UMSTUELPBARE WUERFEL 395
LITERATUR 398
(I) LITERATUR, WELCHE BEI DER ERSTELLUNG DES LEU -
HEFTES DIE SATZGRUPPE DES PYTHAGORAS
(VGL. [58]) VERWENDET WURDE 398
(II) WEITERE LITERATUR, DIE BEI DER ERSTELLUNG DIESES BU
CHES, ALSO DER NEUBEARBEITUNG DES LEU - HEFTES
(VGL. [58]) NOCH MIT EINGEARBEITET WURDE 400
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