Algebra: unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether 1
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
1993
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| Ausgabe: | 9. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1
Erstes Kapitel. Zahlen und Mengen............ 3
§ 1. Mengen.................... 3
с
2. Abbildungen. Mächtigkeiten............. 5
§ 3. Die Zahlreihe.................. 5
Ç
4. Endliche und abzählbare Mengen........... 9
§ 5. Klasseneinteilungen................ 12
Zweites Kapitel. Gruppen................ 13
§ 6. Der Gruppenbegriff................ 13
§ 7. Untergruppen.................. 20
§ 8. Das Rechnen mit Komplexen. Nebenklassen........ 24
§ 9. Isomorphismen und Automorphismen.......... 27
§ 10. Homomorphie, Normalteiler und Faktorgruppen...... 29
Drittes Kapitel. Ringe und Körper............ 33
§ 11. Ringe..................... 33
§ 12. Homomorphie und Isomorphie............ 40
§ 13. Quotientenbildung................. 41
§ 14. Polynomringe.................. 45
5 15. Ideale. Restklassenringe............... 48
§ 16. Teilbarkeit. Primideale............... 53
§ 17. Euklidische Ringe und Hauptidealringe ......... 54
§ 18. Faktorzerlegung................. 58
Viertes Kapitel. Vektorräume und Tensorräume....... 62
§ 19. Vektorräume.................. 62
5 20. Die Invarianz der Dimension............. 65
$21. Der
duale
Vektorraum............... 68
S
22. Lineare Gleichungen in einem Schiefkörper........ 69
§ 23. Lineare Transformationen.............. 71
S
24. Tensoren.................... 76
% 25. Antisymmetrische Multilinearformen und Determinanten ... 78
$ 26. Tensorprodukte, Verjüngung und Spur.......... 82
X
Inhaltsverzeichnis
Fünftes Kapitel. Ganzrationale Funktionen......... 84
§ 27. Differentiation.................. 84
§ 28. Nulbteüen................... 86
§ 29. Interpolationsformeln............... 88
§ 30. Faktorzerlegung................. 93
§ 31. Irreduzibilitätskriterien............... 96
§ 32. Die Durchführung der Faktorzerlegung in endlichvielen Schritten 98
§ 33. Symmetrische Funktionen.............. 99
§ 34. Die Resultante zweier Polynome............ 103
§ 35. Die Resultante als symmetrische Funktion der Wurzeln . . . . 106
§ 36. Partialbruchzerlegung der rationalen Funktionen...... 108
Sechstes Kapitel. Körpertheorie.............. 110
§ 37. Unterkörper. Primkörper.............. 111
§ 38. Adjunktion................... 113
§ 39. Einfache Körpererweiterungen............ 114
§40. Endliche Körpererweiterungen............. 119
§ 41. Algebraische Körpererweiterungen...........121
§ 42. Einheitswurzeln................. 126
§ 43. Galois-Felder (endliche kommutative Körper)....... 131
§ 44.
Separable
und
inseparable
Erweiterungen......... 134
§ 45. Vollkommene und unvollkommene Körper........ 139
§ 46. Einfachheit von algebraischen Erweiterungen. Der Satz vom pri¬
mitiven Element................. 140
§ 47. Normen und Spuren................ 142
Siebentes Kapitel. Fortsetzung der Gruppentheorie...... 146
§ 48. Gruppen mit Operatoren.............. 146
§ 49. Operatorisomorphismen und -homomorphismen....... 148
§ 50. Die beiden Isomorphiesätze............. 149
§ 51. Normalreihen und Kompositionsreihen......... 150
§ 52. Gruppen von der Ordnung pB............ 155
§ 53. Direkte Produkte................. 156
§ 54. Gruppencharaktere................ 159
§ 55. Die Einfachheit der alternierenden Gruppe........ 163
§ 56. Transitivität und Primitivität............. 165
Achtes Kapitel. Die Theorie von
Galois
.......... 168
§ 57. Die Galoissche Gruppe .............. 168
§ 58. Der Hauptsatz der Galoisschen Theorie......... 171
§ 59. Konjugierte Gruppen, Körper und Körperelemente..... 174
§ 60. Kreisteilungskörper................ 175
§61. Zyklische Körper und reine Gleichungen......... 182
§ 62. Die Auflösung von Gleichungen durch Radikale ...... 184
§ 63. Die allgemeine Gleichung
η
-ten
Grades.........188
Inhaltsverzeichnis
XI
r
64^ Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades...... 191
€ 65. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.......... 197
С
66. Die Berechnung der Galoisschen Gruppe. Gleichungen mit sym¬
metrischer Gruppe ................. 202
$ 67. Normalbasen.................. 205
Neuntes Kapitel. Ordnung und Wohlordnung von Mengen . . . 209
J
68. Geordnete Mengen................ 209
$69. Auswahlpostulat und Zornsches Lemma.........210
с
70. Der Wohlordnungssatz............... 213
J
71. Die
transfinite
Induktion.............. 213
Zehntes Kapitel. Unendliche Körpererweiterungen...... 215
J
72. Die algebraisch-abgeschlossenen Körper......... 215
€ 73. Einfache transzendente Erweiterungen.......... 221
$ 74. Algebraische Abhängigkeit und Unabhängigkeit...... 224
$ 75. Der Transzendenzgrad............... 227
J
76. Differentiation der algebraischen Funktionen....... 229
Elftes Kapitel. Reelle Körper.............. 234
$ 77. Angeordnete Körper................ 235
$ 78. Definition der reellen Zahlen............. 238
§ 79. Nullstellen reeller Funktionen............. 246
$ 80. Der Körper der komplexen Zahlen........... 251
J
81. Algebraische Theorie der reellen Körper......... 253
$ 82. Existenzsätze für formal-reelle Körper.......... 258
$ 83. Summen von Quadraten.........,..... 262
Sachverzeichnis................... 265
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