Nichtlineare Dynamik, Bifurkation und chaotische Systeme:
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Braunschweig [u.a.]
Vieweg
1995
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Y] Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Diskrete Systeme 3
2.1 Fixpunkte 3
2.2 Lineare und nichtlineare Abbildungen 9
2.3 Abbildungen mit chaotischem Verhalten 11
2.3.1 DieBernoulli Abbildung 11
2.3.2 Die logistische Parabel 12
2.3.3 DieHenon Abbildung 14
2.4 DiePoincare Abbildung 17
Anhang A (Verallgemeinerte Eigenvektoren und Jordan Formen) 25
Aufgaben 28
3 Kontinuierliche dynamische Systeme 31
3.1 Definitionen, Existenz und Eindeutigkeitssätze 31
3.2 Eigenschaften der Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen 33
3.2.1 Stabilität von Lösungen 34
3.2.2 Asymptotik 35
3.3 Fixpunkte 37
3.3.1 Stabilität von Fixpunkten 38
3.3.2 Struktur von Lösungen in kleinen Umgebungen von Fixpunkten 40
3.3.3 Klassifikation von Fixpunkten 45
3.3.4 Pendelschwingungen 47
3.4 Hamilton Systeme 50
3.5 Zentrale Mannigfaltigkeiten 52
3.5.1 Parameterabhängige zentrale Mannigfaltigkeiten 56
3.6 Normalformen 58
Aufgaben 69
4 Bifurkationen 71
4.1 Äquivalente und konjugierte dynamische Systeme, strukturelle Stabilität 72
4.2 Verzweigungs Grundtypen 80
4.3 DieSattel Knoten Bifurkation 81
4.4 Die transkritische Verzweigung 84
4.5 DiePitchfork Bifurkation 85
4.6 Die Hopf Bifurkation 86
4.7 Methode der Projektionen 89
Inhaltsverzeichnis yj|
4.8 Stabilität periodischer Lösungen 96
Anhang A( Fredholm Alternative) 105
Anhang B (Hopf Bifurkationen in kontinuierlichen Systemen) 106
Aufgaben 111
5 Asymptotische Methoden 116
5.1 Die Mittelwert Methode 116
5.2 Beispiele 119
5.3 Schwach nichtlineare Oszillatoren 120
5.4 Die Viel variablen Methode 125
Aufgaben 131
6 Homokline Bifurkationen 133
6.1 Die Standardabbildung 133
6.2 SattelpunkteflächenerhaltenderAbbildungen 137
6.3 Elliptische Fixpunkte flächenerhaltender Abbildungen und KAM Kurven 140
6.4 Winkel und Wirkungsvariable 140
6.5 Schwach gestörte Hamilton Systeme 143
6.6 DasMelnikov Kriterium 147
6.6.1 Homokline Koordinaten 148
6.6.2 Abstand zwischen stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten gestörter Systeme 148
6.6.3 Definition der Melnikov Funktion 149
6.7 Verallgemeinerungen des Melnikov Kriteriums 157
6.7.1 Heterokline Bifurkationen 157
6.7.2 Melnikov Kriterium für eine Klasse von Hamilton Systemen
mit zwei Freiheitsgraden 158
6.8 Das Shilnikov Phänomen 162
Aufgaben 163
7 Bifurkationen mit höherer Ko Dimension 166
7.1 Verallgemeinerung der Grundtypen von Bifurkationen eindimensionaler Systeme». 166
7.1.1 Eindimensionale Systeme mit kubischen Nichtlinearitäten 168
7.1.2 Eindimensionale Systeme mit quartären Nichtlinearitäten 171
7.2 Die Ko Dimension dynamischer Systeme 172
7.2.1 Eindimensionale Systeme 173
7.2.2 Ebene Systeme 175
7.2.2.1 Zweidimensionale Potential Systeme 175
7.2.2.2 Allgemeinezweidimensionale Systeme 179
7.3 Dynamik von Bifurkationen mit Ko Dimension Zwei 180
7.3.1 Ein doppelter Eigenwert 180
7.3.2 Zwei Paare rein imaginärer Eigenwerte 183
Anhang A Versale Entfaltung von Matrizen 185
Aufgaben 187
VIII Inhaltsverzeichnis
8 Quantitative Methoden der Beschreibung nichtlinearer und
chaotischer Systeme 188
8.1 Der (Phasen )Fluß autonomer Vektorfelder 188
8.2 Nicht autonome dynamische Systeme 190
8.3 Zur Begriffsbildung bei chaotischen Systemen 190
8.4 Der Lyapunov Exponent 192
8.4.1 Lyapunov Exponenten für diskrete, eindimensionale Systeme 193
8.4.2 Lyapunov Exponenten mehrdimensionaler Systeme 194
8.4.3 Numerische Bestimmung der Lyapunov Exponenten 198
8.4.4 Lyapunov Exponenten und Attraktorvolumen 199
8.5 Die Autokorrelationsfunktion 201
8.5.1 Die Autokorrelationsfunktion diskreter Systeme 202
8.5.2 Die Autokorrelationsfunktion kontinuierlicher Systeme 202
8.6 Das Leistungsspektrum 203
8.6.1 Das Leistungsspektrum diskreter Systeme 203
8.6.2 Das Leistungsspektrum kontinuierlicher Systeme 204
8.7 Fraktale Strukturen und Dimensionen 205
8.7.1 Selbstähnlichkeit und Selbstaffinität 205
8.7.2 Fraktale, Hausdorff Dimension 207
8.7.2.1 Zufallsfraktale 210
8.7.2.2 Multi Fraktale 211
8.7.3 Selbstähnlichkeits Dimension 213
8.7.4 Box Dimension 213
8.7.5 Die Informationsdimension 214
8.7.6 Korrelationsdimension 215
8.7.7 Lyapunov Dimension 216
8.7.8 DieRenyi Dimension 218
8.7.9 Die Kolmogorov Entropie 219
8.8 Rekonstruktion eines Attraktors aus einer Zeitreihe 221
Aufgaben 222
Literatur 224
Sachwortverzeichnis 229 |
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