Algebraische Topologie: eine Einführung ; mit zahlreichen Beispielen und Übungsaufgaben
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Stuttgart
Teubner
1994
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| Ausgabe: | 2., überarb. und erw. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Mathematische Leitfäden
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| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
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| adam_text | Inhalt s Verzeichnis
I Geometrisch Topologische Vorbereitungen 1
1 Beispiele für Räume, Abbildungen und topologische Pro 1
bleme
1.1 Das Homöomorphieproblem 1
1.2 Identifizieren 8
1.3 Beispiele zum Identifizieren 12
1.4 Flächen 17
1.5 Mannigfaltigkeiten 26
1.6 Ankleben von Zellen 31
1.7 Topologische Gruppen, Gruppenoperationen und Orbiträume 36
1.8 Schwache Topologie 40
1.9 Das Homöomorphieproblem: Fortsetzung 42
2 Homotopie 47
2.1 Homotope Abbildungen 47
2.2 Ein erstes Beispiel zur Homotopie: Abbildungen zwischen 52
Kreislinien
2.3 Fortsetzung von Abbildungen und Homotopien 59
2.4 Homotopietyp 61
2.5 Notizen 68
3 Simplizialkomplexe und Polyeder 70
3.1 Grundbegriffe und Beispiele 70
3.2 Unterteilung und simpliziale Approximation 78
3.3 Freimachen durch Deformationen 83
3.4 Notizen 85
VI
4 CW Räume 87
4.1 Definitionen und grundlegende Eigenschaften 87
4.2 Konstruktion von CW Räumen 91
4.3 Homotopieeigenschaften von CW Räumen 94
4.4 Notizen 99
• •
II Fundamentalgruppe und Überlagerungen 100
5 Die Fundamentalgruppe 100
5.1 Allgemeine Eigenschaften der Fundamentalgruppe 100
5.2 Die Fundamentalgruppe der Kreislinie 108
5.3 Der Satz von Seifert und van Kampen 110
5.4 Folgerungen aus dem Seifert van Kampen Satz 117
5.5 Freie Gruppen und Graphen 121
5.6 Gruppenbeschreibungen und CW Räume 126
5.7 Beispiele von Fundamentalgruppen 131
5.8 Homotopietypen zweidimensionaler CW Räume 141
5.9 Notizen 144
6 Überlagerungen 146
6.1 Grundbegriffe und Beispiele 146
6.2 Liften 151
6.3 Das Liftungsverhalten einer Überlagerung 155
6.4 Die universelle Überlagerung 157
6.5 Deckbewegungen 161
6.6 Klassifikation von Überlagerungen durch Untergruppen 164
der Fundamentalgruppe
6.7 Klassifikation von Überlagerungen durch Darstellungen 166
der Fundamentalgruppe
6.8 Liften von Strukturen 168
6.9 Anwendungen der Überlagerungen in der Gruppentheorie 171
VII
III Homologietheorie 175
7 Homologiegruppen von Simplizialkomplexen 175
7.1 Definition der Homologiegruppen 175
7.2 Beispiele zur Homologie 180
7.3 Simpliziale Abbildungen und Homologiegruppen 187
7.4 Relative Homologiegruppen 189
7.5 Notizen 194
8 Algebraische Hilfsmittel 195
8.1 Abelsche Gruppen 195
8.2 Exakte Sequenzen 202
8.3 Kettenkomplexe 205
8.4 Kategorien und Punktoren 210
9 Homologiegruppen topologischer Räume 215
9.1 Definition der Homologiegruppen 215
9.2 Exakte Homologiesequenzen 221
9.3 Der Homotopiesatz 223
9.4 Der Ausschneidungssatz 227
9.5 Homologie von Bällen und Sphären 233
9.6 Zelluläre Homologie 236
9.7 Vergleich von simplizialer und singulärer Homologie 241
9.8 Fundamentalgruppe und erste Homologiegruppe 245
9.9 Beispiele zur Homologie 247
9.10 Notizen 252
10 Homologie mit Koeffizienten 253
10.1 Einführung und Beispiele 253
10.2 Tensorprodukt 255
10.3 Torsionsprodukt 258
10.4 Das universelle Koeffiziententheorem 261
VIII
10.5 Homologiegruppen mit Koeffizienten 265
10.6 Beispiele und Anwendungen 268
10.7 Notizen 272
11 Einige Anwendungen der Homologietheorie 273
11.1 Topologische Eigenschaften der Sphären 273
11.2 Lokale Homologiegruppen und Invarianzsätze 275
11.3 Orientierung triangulierbarer Mannigfaltigkeiten 279
11.4 Orientierung topologischer Mannigfaltigkeiten 283
11.5 Ein zweites Beispiel zur Homotopie: Abbildungen zwischen 288
Sphären
11.6 Der Fixpunktsatz von Lefschetz 295
11.7 Der Jordan Brouwersche Separationssatz 299
12 Homologie von Produkten 305
12.1 Produktketten 305
12.2 Der Satz von Eilenberg Zilber 308
12.3 Die Künneth Formel 313
12.4 Das Homologie Kreuzprodukt 315
12.5 Künneth Formel mit Koeffizienten in einem Körper 319
12.6 Homologie von Produkten von CW Räumen 321
IV Cohomologie, Dualität und Produkte 325
13 Cohomologie 325
13.1 Gruppen von Homomorphismen 325
13.2 Hom und Ext 328
13.3 Cohomologiegruppen von Kettenkomplexen 330
13.4 Das universelle Koeffiziententheorem 332
13.5 Simpliziale, singuläre und zelluläre Cohomologie 337
13.6 Beispiele zur Cohomologie 343
13.7 Notizen 347
IX
14 Dualität in Mannigfaltigkeiten 349
14.1 Das cap Produkt 349
14.2 Poincare Dualität 352
14.3 Die duale Zerlegung einer Mannigfaltigkeit 355
14.4 Der duale Kettenkomplex 359
14.5 Beweis des Poincareschen Dualitätssatzes 361
14.6 Schnittzahlen 365
14.7 Verschlingungszahlen 370
14.8 Lefschetz und Alexander Dualität 376
14.9 Notizen 381
15 Der Cohomologiering 382
15.1 Das Cohomologie Kreuzprodukt 382
15.2 Das cup Produkt 385
15.3 Beispiele für cup Produkte und Anwendungen 386
15.4 Cup Produkt und Schnittzahlen 390
15.5 Der Cohomologiering der projektiven Räume 395
15.6 Cup Produkt und Verschlingungszahlen 398
V Fortsetzung der Homotopietheorie 404
16 Homotopiegruppen 404
16.1 Mehrfacher Zusammenhang 404
16.2 Definition der Homotopiegruppen 408
16.3 Die Rolle des Basispunktes 411
16.4 Erste Methoden zur Berechnung von Homotopiegruppen 416
16.5 Beispiele für Homotopiegruppen 420
16.6 Relative Homotopiegruppen 423
16.7 Die exakte Homotopiesequenz 428
16.8 Der Hurewicz Satz 432
16.9 Folgerungen und Beispiele 438
X
17 Faserungen und Homotopiegruppen 442
17.1 Faserräume 442
17.2 Liften von Homotopien 446
17.3 Homotopiegruppen und Faserungen 450
18 Homotopieklassifikation von Abbildungen 455
18.1 Gerüstweise Konstruktion von Abbildungen und Homotopien 455
18.2 Abbildungen in asphärische Räume 457
18.3 Hindernistheorie 460
18.4 Hindernisse gegen die Konstruktion von Schnitten (eine Skizze) 468
Literaturverzeichnis 470
Index 473
Symbole 483
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