Stochastische Analysis: eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale
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Stuttgart
Teubner
1994
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Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1. Grundlagen
1.1 Maßtheoretische Vorbereitungen 11
1.2 Stochastische Abhängigkeit. Bedingte Erwartungen 17
1.3 Markovkerne. Bedingte Verteilungen 22
1.4 Maße auf polnischen Räumen 25
1.5 Markov Halbgruppen 29
1.6 Gaußmaße 35
2. Stochastische Prozesse
2.1 Der Begriff des stochastischen Prozesses 42
2.2 Stetige Modifikation 47
2.3 Wienermaß und Brownsche Bewegung 52
2.4 Gaußprozesse 60
2.5 Markovprozesse 66
2.6 Stochastische Flüsse 73
2.7 Markovprozesse mit endlicher Lebenszeit 79
2.8 Übergang zu zeithomogenen Halbgruppen 81
3. Martingaltheorie
3.1 Filtrierungen 84
3.2 Stopzeiten 90
3.3 Stoppung von stochastischen Prozessen 95
3.4 Martingale 99
3.5 Martingal Ungleichungen 102
3.6 Martingal Konvergenz 106
3.7 Einige Anwendungen der Martingal Konvergenz 113
3.8 Diffusionen 128
3.9 Die /i Transformation und Konditionierung von Diffusionsprozessen 138
4. Stochastische Integration
4.1 Stieltjesintegral, Variation und quadratische Variation 155
4.2 Pfadweise stochastische Integrale 159
4.3 Lokale Martingale und ihre quadratische Variation 163
4.4 Der Klammerprozeß (Quadratische Kovariation) 172
4.5 Stochastische Integrale nach lokalen Martingalen 176
4.6 Rechenregeln für stochastische Integrale nach lokalen Martingalen 181
4.7 Der ItÖ Kalkül 193
4.8 Vektorwertige Semimartingale 201
4.9 Verallgemeinerte Itö Formel und Lokalzeit 203
6 Inhaltsverzeichnis
5. Weiterentwicklung und erste Anwendungen
5.1 Die Brownsche Bewegung als Martingal 217
5.2 Zeitwechsel 221
5.3 Reflexionsprinzip und starke Markoveigenschaft . 230
5.4 t,okale Maxtingale als zeittransformierte Brownsche Bewegungen 235
5.5 Brownsche Filtrierungen und stochastische Integraldarstellung 245
5.6 ISlaßwechsel und zugehörige Girsanov Transformation 249
5.7 Abstrakter Wienerraum 262
5.8 Homogenes Chaos 270
6. Stochastische Differentialgleichungen
6.1 Gewöhnliche Differentialgleichung mit Rauschterm 280
6.2 ^Existenz und Eindeutigkeit unter globalen Lipschitzbedingungen 288
6.3 3Vlaximallösungen unter lokalen Lipschitzbedingungen 297
6.4 Starke Lösungen 306
6 5 t,ösungsfluß und Markoveigenschaft von Lösungen 313
6.6 Schrödinger Halbgruppe und Feynman Kac Formeln 319
6.7 Verteilungseindeutigkeit 330
6 8 Eindimensionale stochastische Differentialgleichungen 338
7. Stochastische Analysis auf Mannigfaltigkeiten
7.1 Stochastische Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten 349
7 2 Quadratische Variation und Integration von 1 Formen 375
7 3 ^tartingale und Brownsche Bewegungen 384
7 4 J^aralleltransport und stochastisch wandernde Basen 408
7 5 3Vlorphismen von Martingalen und Brownschen Bewegungen 437
7 6 Stochastische Differentiale und Tangentialräume zweiter Ordnung 452
7 7 Konvergenz und Konfluenz von Martingalen 466
7.8 3örOwnsche Bewegung und Krümmung 480
Notationen
Literaturverzeichnis
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