Großes Lehrbuch der Mathematik für Ökonomen:
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Oldenbourg
1994
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort XI
1. Grundlagen der Mengenlehre 1
1.1 Grundbegriffe 1
1.2 Mengenoperationen 3
1.3 Direkte Produkte von Mengen 7
1.4 Abbildungen von Mengen 10
1.5 Aufgaben 13
2. Zahlenbereiche und Grundrechenarten 14
2.1 Die natürlichen Zahlen 14
2.2 Die ganzen Zahlen 15
2.3 Die rationalen Zahlen 15
2.4 Die reellen Zahlen 18
2.5 Das Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen 20
2.5.1 Kleiner- oder Größer-Beziehungen 20
2.5.2 Der Betrag einer reellen Zahl 23
2.6 Die komplexen Zahlen 26
2.7 Aufgaben 30
3. Weitere elementare Grundlagen 31
3.1 Summen und Produkte 31
3.2 Das Prinzip der vollständigen Induktion 33
3.3 Binomische Formeln und binomischer Lehrsatz 35
3.3.1 Binomische Formeln 35
3.3.2 Fakultäten und Binomialkoeffizienten 35
3.3.3 Der binomische Lehrsatz 37
3.4 Kombinatorik 38
3.5 Arithmetische und geometrische Folgen und Reihen ... 41
3.6 Aufgaben 46
4. Grundlagen der Finanzmathematik 48
4.1 Verzinsung einmaliger Einzahlungen 48
4.2 Rentenrechnung 52
4.2.1 Rentenzahlungen zu den Verzinsungszeitpunkten 52
4.2.2 Unterjährige Rentenzahlungen 54
4.2.3 Rentenzahlungen aus einem verzinsten Anfangskapital . . 56
4.3 Tilgungsrechnung 57
4.3.1 Ratentilgung 57
4.3.2 Annuitätentilgung 58
4.4 Aufgaben 60
VI Inhaltsverzeichnis
5. Folgen und Reihen 62
5.1 Grundlegende Eigenschaften von Folgen 62
5.2 Konvergente und divergente Folgen 64
5.3 Die Eulersche Zahl e 73
5.4 Reihen 75
5.5 Aufgaben 82
6. Differentialrechnung bei reellen Funktionen
einer Variablen 83
6.1 Grundbegriffe für reelle Funktionen einer Variablen ... 83
6.2 Grenzwerte von Funktionen 89
6.2.1 Grenzwerte für x—+Xq 89
6.2.2 Einseitige Grenzwerte 91
6.2.3 Grenzwerte für x-» ± oo 92
6.3 Stetige Funktionen 93
6.4 Ableitungen einer Funktion 94
6.4.1 Der Differenzenquotient 97
6.4.2 Die erste Ableitung (Ableitung erster Ordnung) 98
6.4.3 Ableitungsregeln 102
6.4.4 Das Differential einer Funktion und Grenzfunktionen . . . 106
6.4.5 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung 108
6.4.6 Ableitungen höherer Ordnung 109
6.5 Exponentialfunktion und Logarithmus 110
6.5.1 Definition der Exponentialfunktion zur Basis a 110
6.5.2 Logarithmusfunktionen 112
6.5.3 Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion u. Logarithmus 115
6.5.4 Ableitungen der Logarithmus- und Exponentialfunktion . . 115
6.6 Potenzfunktionen und Ableitung der Funktion u(x)v^ . . 117
6.7 Trigonometrische Funktionen 118
6.7.1 Trigonometrische Funktionen im Einheitskreis 118
6.7.2 Trigonometrische Funktionen im rechtwinkligen Dreieck . . 120
6.7.3 Allgemeine Sinusfunktion 121
6.8 Änderungsraten und Elastizitäten 122
6.9 Kurvendiskussion 126
6.9.1 Definitionsbereich 126
6.9.2 Symmetrie 126
6.9.3 Nullstellen 128
6.9.4 Asymptotisches Verhalten 128
6.9.5 Monotonie 129
6.9.6 Krümmungsverhalten (konvexe und konkave Bereiche) . . 129
6.9.7 Extremwerte 130
6.9.8 Wendepunkte 13g
6.10 Taylorpolynome 139
6.11 Grenzwertbestimmung bei unbestimmten Ausdrücken
- die Regel von de l Hospital 146
Inhaltsverzeichnis VII
6.11.1 Unbestimmte Ausdrücke der Form §,§§, -^l2 146
6.11.2 Unbestimmte Ausdrücke der Form 0 ¦( ± oo) 149
6.11.3 Unbestimmte Ausdrücke der Form oo — oo 149
6.11.4 Unbestimmte Ausdrücke der Form 0°; 1°°; oo° 150
6.12 Numerische Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen
(Lösung von Gleichungen) 151
6.12.1 Intervallhalbierungsmethode 151
6.12.2 Regula falsi (lineares Eingabein) 153
6.12.3 Newton-Verfahren 154
6.13 Aufgaben 158
7. Integralrechnung bei Funktionen einer Variablen . 164
7.1 Das bestimmte Integral 164
7.2 Die Integralfunktion 169
7.3 Das unbestimmte Integral und Stammfuktion 170
7.4 Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe einer
beliebigen Stammfunktion 170
7.5 Integrationsregeln 172
7.5.1 Linearitätseigenschaften 172
7.5.2 Partielle Integration 173
7.5.3 Die Substitutionsmethode
(Einführung einer neuen Veränderlichen) 175
7.6 Uneigentliche Integrale 177
7.6.1 Integrale über unbeschränkte Gebiete 177
7.6.2 Integrale von unbeschränkten Funktionen 179
7.7 Anwendungen der Integralrechnung 181
7.7.1 Bestimmung einer Funktion bei vorgegebener Grenzfunktion 181
7.7.2 Bestimmung einer Funktion aus einer
vorgegebenen Elastizität 181
7.7.3 Gesamtumsatz bei stetigen Preissenkungen 183
7.7.4 Die Konsumentenrente 185
7.7.5 Die Produzentenrente 186
7.7.6 Kapitalwert eines Ertragsstromes 187
7.8 Numerische (näherungsweise) Integration 189
7.8.1 Integration mit Hilfe von Taylorpolynomen 189
7.8.2 Integration mit Hilfe von Rechtecksapproximationen . . . 191
7.8.3 Integration mit Hilfe der Sehnen-Trapezformel 192
7.8.4 Integration mit Hilfe der Simpsonschen Regel
(Keplersche Faßregel) 193
7.9 Aufgaben 194
8. Funktionen von zwei Variablen 197
8.1 Definition und Darstellung einer Funktion zweier Variabler . 197
8.2 Stetige Funktionen von zwei Variablen 201
8.3 Partielle Ableitungen (erster Ordnung) 203
8.4 Das totale (vollständige) Differential 205
VIII Inhaltsverzeichnis
8.5 Die verallgemeinerte Kettenregel und
Ableitung impliziter Funktionen 206
8.6 Richtungsableitung und Gradient 208
8.7 Homogene Funktionen 210
8.8 Partielle Elastizitäten 212
8.9 Partielle Ableitungen höherer Ordnung 214
8.10 Taylorpolynome 215
8.11 Extremwerte (ohne Nebenbedingungen) und Sattelpunkte . 218
8.12 Extremwerte unter einer Nebenbedingung 221
8.12.1 Lösung mit Hilfe der Elimination einer Variablen .... 222
8.12.2 Lösung mit Hilfe der Methode von Lagrange 222
8.13 Aufgaben 225
9. Funktionen von mehreren Variablen 229
9.1 Stetige Funktionen von n Variablen 229
9.2 Partielle Ableitungen 231
9.3 Totales Differential, Kettenregel und
Ableitungen impliziter Funktionen 232
9.4 Homogene Funktionen und partielle Elastizitäten .... 234
9.5 Extremwerte (ohne Nebenbedingungen) 236
9.6 Extremwerte unter Nebenbedingungen 242
9.6.1 Lösung mit Hilfe der Elimination von Variablen 242
9.6.2 Lösung mit Hilfe der Methode von Lagrange 244
9.7 Aufgaben 250
10. Differential- und Differenzengleichungen 252
10.1 Differentialgleichungen 253
10.1.1 Trennung der Variablen 255
10.1.2 Die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung 256
10.1.3 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten
Koeffizienten • . 258
10.2 Differenzengleichungen 264
10.2.1 Homogene lineare Differenzengleichungen 1. und 2. Ordnung
mit konstanten Koeffizienten 266
10.2.2 Lineare Differenzengleichungen n-ter Ordnung mit konstanten
Koeffizienten 269
10.2.3 Anwendungsbeispiele 273
10.4 Aufgaben 282
11. Vektoren 285
11.1 Vektoren in der Ebene R2 285
11.2 Vektoren im dreidimensionalen Raum R3 298
11.3 Vektoren im n-dimensionalen Raum Rn 311
11.4 Aufgaben 314
Inhaltsverzeichnis jX
12. Matrizen 316
12.1 Grundbegriffe der Matrizenrechnung 316
12.1.1 Der Begriff einer Matrix 316
12.1.2 Vergleich zweier Matrizen vom gleichen Typ 318
12.1.3 Die transponierte Matrix 319
12.2 Das Rechnen mit Matrizen 321
12.2.1 Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl 321
12.2.2 Addition (Subtraktion) zweier Matrizen 321
12.2.3 Multiplikation zweier Matrizen 323
12.3 Der Rang einer Matrix 335
12.4 Aufgaben 343
13. Lineare Gleichungssysteme 346
13.1 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten 346
13.2 Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten 347
13.3 Lineare Gleichungen mit drei Unbekannten 358
13.4 Allgemeine linere Gleichungssysteme 370
13.5 Lineare Gleichungssysteme mit mehreren rechten Seiten
und Matrizengleichungen 383
13.6 Aufgaben 394
14 Determinanten 396
14.1 Determinanten von 2 x 2-Matrizen 396
14.2 Determinanten von 3 x 3-Matrizen 402
14.3 Determinanten von n x n-Matrizen 406
14.3.1 Lineare Abbildungen im Rn 406
14.3.2 Determinanten von n x n-Matrizen 406
14.3.3 Berechnung der inversen Matrix mit Determinanten . . . 413
14.3.4 Die Cramersche Regel 415
14.4 Aufgaben 417
15 Eigenwertprobleme und quadratische Formen . . . 419
15.1 Eigenwerte und Eigenvektoren 419
15.2 Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen . . 426
15.3 Quadratische Formen 436
15.3.1 Standard-Darstellung von quadratischen Formen .... 436
15.3.2 Die allgemeine quadratische Form 438
15.3.3 Hauptachsentransformation 440
15.3.4 Defmite und semidefinite Matrizen 443
15.3.5 Extremwerte von quadratischen Formen 448
15.3.6 Hauptachsentransformation durch die Bestimmung von Extrem¬
werten der quadratischen Form unter Nebenbedingungen . . 450
15.4 Aufgaben 455
X Inhaltsverzeichnis
16 Lineare Optimierung 457
16.1 Lineare Optimierung bei zwei Variablen 457
16.2 Allgemeine Problemstellung der linearen Optimierung . . . 462
16.3 Theoretische Grundlagen der linearen Optimierung .... 468
16.4 Das Simplexverfahren 476
16.4.1 Das Grundprinzip des Simplexverfahrens 476
16.4.2 Die Theorie des Simplexverfahrens 480
16.4.3 Durchführung des Simplexverfahrens 487
16.5 Aufgaben 493
Literaturverzeichnis 496
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