Ebene algebraische Kurven:
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Braunschweig [u.a.]
Vieweg
1994
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67 : Aufbaukurs Mathematik |
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
0 Einführung
0.1 Geraden ..........................................................1
0.2 Kreise ............................................................1
0.3 Neilsche Parabel ..................................................2
0.4 Newtonscher Knoten ..............................................3
0.5 Cartesisches Blatt .................................................5
0.6 Zykloiden .........................................................6
0.7 Kleinsche Quartiken...............................................8
0.8 Stetige Kurven ....................................................9
1 Affin-algebraische Kurven und ihre Gleichungen
1.1 Varietät einer Gleichung .........................................12
1.2 Affin-algebraische Kurven ........................................13
1.3 Lemma von
1.4 Komponentenzerlegung ..........................................15
1.5 Irreduzibilität und Zusammenhang ...............................15
1.6 Minimalpolynom.................................................16
1.7 Grad ............................................................16
1.8 Schnittpunkte mit einer Geraden .................................17
2 Der
2.1 Unendlich-ferne Punkte ..........................................19
2.2
2.3
2.4 Komponentenzerlegung ..........................................22
2.5 Schnittmultiplizität für Kurve und Gerade .......................23
2.6 Schnitt von zwei Kurven .........................................24
2.7 Satz von
3 Tangenten und Singularitäten
3.1 Glatte Punkte ...................................................29
3.2 Singularitätenmenge .............................................29
3.3 Lokale Ordnung..................................................30
VIII
3.4 Tangenten in singulären Punkten .................................33
3.5 Ordnung und Schnittmultiplizität ................................36
3.6 Formel von Euler ................................................37
3.7 Kurven durch vorgegebene Punkte ...............................39
3.8 Anzahl der Singularitäten ........................................40
4 Polaren und Hesse-Kurve
4.1 Polaren ..........................................................42
4.2 Eigenschaften der Polaren ........................................46
4.3 Schnitt der Kurve mit ihrer Polaren ..............................46
4.4 Hesse-Kurve .....................................................47
4.5 Schnitt der Kurve mit ihrer Hesse-Kurve .........................48
4.6 Beispiele .........................................................50
5 Duale Kurve und Plückerformeln
5.1 Duale Kurve .....................................................52
5.2 Algebraizität der dualen Kurve...................................58
5.3 Irreduzibilität der dualen Kurve ..................................59
5.4 Lokale numerische Invarianten ...................................61
5.5 Biduale Kurve ...................................................62
5.6 Einfache Doppelpunkte und Spitzen ..............................63
5.7 Plückerformeln...................................................64
5.8 Beispiele .........................................................66
5.9 Beweis der Plückerformeln .......................................66
6 Der Ring der konvergenten Potenzreihen
6.1 Globale und lokale Irreduzibilität.................................71
6.2 Formale Potenzreihen ............................................72
6.3 Konvergente Potenzreihen ........................................74
6.4 Banachalgebren ..................................................75
6.5 Substitution von Potenzreihen ...................................77
6.6 Ausgezeichnete Variable..........................................79
6.7 Weierstraßscher Vorbereitungssatz................................81
6.8 Beweise ..........................................................83
6.9 Satz über implizite Funktionen ...................................86
6.10 Henselsches Lemma......... 88
________________________________________________________________
6.11 Teibarkeit im Potenzreihenring...................................89
6.12 Keime analytischer Mengen ......................................91
6.13 Lemma von
6.14 Lokale Zweige....................................................93
7 Parametrisierung der Kurvenzweige durch
7.1 Problemstellung .................................................95
7.2 Theorem über die Puiseux-Reihe .................................96
7.3 Träger einer Potenzreihe .........................................96
7.4 Quasihomogenes Initialpolynom..................................98
7.5 Der Iterationsschritt .............................................99
7.6 Die Iteration....................................................100
7.7 Formale Parametrisierungen ....................................102
7.8 Theorem von Puiseux (geometrisch).............................103
7.9 Beweis..........................................................105
7.10 Variation der Lösungen .........................................108
7.11 Konvergenz der Puiseux-Reihe ..................................109
7.12 Linearfaktorzerlegung von Weierstraßpolynomen.................HO
8 Tangenten und Schnittmultiplizitäten von Kurvenkeimen
8.1 Tangenten von Kurvenkeimen ...................................113
8.2 Tangenten in glatten und singulären Punkten ...................114
8.3 Lokale Schnittmultiplizität mit einer Geraden ...................115
8.4 Lokale Schnittmultiplizität mit einem irreduziblen Keim.........119
8.5 Lokale Schnittmultiplizität von Kurvenkeimen...................121
8.6 Schnittmultiplizität und Ordnung ...............................122
8.7 Lokale und globale Schnittmultiplizität..........................123
9 Die Riemannsche Flache zu einer algebraischen Kurve
9.1 Riemannsche Flächen ...........................................126
9.2 Beispiele........................................................127
9.3 Desingularisierung einer algebraische Kurve .....................130
9.4 Beweis..........................................................131
9.5 Zusammenhang einer Kurve.....................................136
9.6 Formel von Riemann-Hurwitz ...................................136
9.7 Geschlechtsformel für glatte Kurven .............................137
9.8 Geschlechtsformel für Plückerkurven ............................139
9.9 Geschlechtsformel von Max Noether .............................140
Anhang
A.l Die Resultante
A
A
A
A
A.2 Überlagerungen
A
A
A
A.3 Der Satz über implizite Funktionen 149
A.4 Das Newton-Polygon
A
A
A.5 Eine numerische Invariante von Kurvensingularitäten
A
A
A
A
A
A
A.6 Die Ungleichung von Harnack
A
A
A
Literaturverzeichnis 172
Sachverzeichnis 174
Symbolverzeichnis 177
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