Gesteine: Entstehung - Zerstörung - Umbildung
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| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Darmstadt
Wiss. Buchges.
1994
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XI, 162 S. Ill., graph. Darst., Kt. 21 x 21 cm |
| ISBN: | 353412491X |
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| adam_text | TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES
GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE.
LIVRE V.
LE PLAN»
§ I. — Premières notions sur le plan.
Petes.
Positions relatives d une droite et d’un plan.......................... i
Intersection et positions relatives de deux plans...................... a
Conditions nécessaires et suffisantes pour déterminer un plan.......... 3
Positions relatives de deux droites dans l’espace...................... 4
Conditions de parallélisme de deux droites dans l’espace : conséquences.
§ II. — Droites et plans parallèles.
Positions relatives du système de deux droites parallèles et d’un plan;
droites parallèles à une troisième.................................. 6
Posilions relatives du système de deux plans parallèles et d’une droite
ou d nn plan............................ ........................... 7
Égalité des angles à côtés parallèles et de même sens. — Définition de
l’angle de deux droites; droites perpendiculaires................... S
Égalité des parallèles comprises entre droite et plan parallèles, entre
pians parallèles.................................................... ։0
Système de deux droites coupées par trois plans parallèles............. 11
§ III. — Droite et plan perpendiculaires.
Conséquences immédiates de la définition adoptée..................... n
Conditions pour qu une droite soit perpendiculaire à un plan.......... 12
Existence de la perpendiculaire au plan................................
B. et DK C. — Tr. de Géorn., (II9 Partie). Æ
VI
TAULE DES MATIÈRES.
Pages.
Parallélisme de deux droites ou d une droite et d’un plan perpendicu-
laires à un même plan ou k une même droite............................ i5
Propriétés de la perpendiculaire et des obliques..................... 17
Distance d’un point à un plan» d une droite et d’un plan parallèles, de
deux plans parallèles................................................. ։8
§ IV. — Projection d’une droite sur un plan. — Angle d’une droite
et d un plan. — Plus courte distance de deux droites·
Projection d’une droite sur un plan. — Projection de deux droites paral-
lèles................................................................. ։8
Projections de deux droites rectangulaires sur un plan parallèle à l’une
d elles; théorème des trois perpendiculaires. — Orthogonalité de la
trace d un plan et de la projection d’une perpendiculaire à ce plan.. 19
Angle d une droite et d’un plan...................................... 21
Perpendiculaire commune a deux droites non situées dans le meme plan;
distance de ecs deux droites.........................*................ 22
§ V. — Angles dièdres.
Angle dièdre droit. — Angle plan correspondant à un angle dièdre. ... 24
Mesure d’un angle dièdre............................................. 2G
Ligne de plus grande pente d’un plan................................ 28
§ VI. — Plans perpendiculaires.
Propriétés relatives a un dièdre droit et à la perpendiculaire à l une de
ses faces......................................................... 28
Plan mené par une droite donnée perpendiculairement à un plan donné. 3o
Intersection de deux plans perpendiculaires h un troisième............ 3o
§ VII. — Angles polyèdres.
Convexité d’un angle polyèdre...................................... 3i
Angles polyèdres symétriques......................................... 33
Propriétés générales des angles polyèdres convexes................... 35
Conditions pour qu’on puisse former un triedre avec trois faces données. 37
Trièdrcs supplémentaires; origine du principe de dualité............. 3g
Conditions pour qu’on puisse former un trièdre avec trois dièdres donnés. ! i
Cas d égalité des trièdres; quatre cas...............................
APPENDICE DU CINQUIÈME LIVRE.
Quadrilatère gauche coupé par un plan quelconque et, en particulier,
par un plan parallèle à deux côtés opposés........»............... 4^
Rapport anharmonlque de quatre plans................................. 48
TABLE DES MATIÈIlES.
va
Page·.
Propriétés fondamentales de la projection centrale ou perspective. —
Point de fuite d’une droite. — Condition pour que des droites aient
leurs perspectives parallèles. — Ligne de fuite d un plan; conception
de la droite de l infini d an plan................................... /jg
LIVRE VL
LES POLYÈDRES.
§ I. — Propriétés générales et aire latérale du prisme.
Propriétés relatives aux faces opposées et aux diagonales lu parallélépipède. 55
Sections d’un prisme par des plans parallèles. — Section droiLe...... 67
Aire latérale.......................................................... 58
§ II. — Volume du prisme.
Théorèmes préliminaires relatifs à la transformation du prisme oblique
en prisme droit équivalent, et à la décomposition du parallélipipède
par un plan dingonal.............................................. 60
Volume du puraUélipipède rectangle..................................... 63
Volume du parallélipipède droit et du parallélipipéde quelconque..... G5
Volume du prisme quelconque, conséquences.............................. 66
§ 111. — Propriétés générales et aire latérale de la pyramide.
Section d’une pyramide par un plan parallèle a la base : conséquences. -0
Aire latérale dune pyramide régulière et d’un tronc de pyramide
régulier............................................................... 73
§ IV. — Volume de la pyramide.
Équivalence de deux pyramides triangulaires de bases équivalentes et de
même hauteur.................................................... 74
Volume de la pyramide : conséquences. — Cas du tétraèdre régulier. —
Méthode pour évaluer le volume d’un polyèdre quelconque........... 76
Volume du tronc de pyramide à bases parallèles. — Formules relatives
soit au tronc de première espèce, soit au tronc de seconde espèce.... 7g
Volume du tronc de prisme triangulaire. — Application au tronc de
parallélipipède..................................................... 85
Volume du polyèdre ayant pour bases deux polygones quelconques situés
dans des plans parallèles et limité latéralement par des triangles ou des
trapèzes. - Application au tas de pierres, cuvettes, tombereaux, etc.. $8
VIII
TABLE DES MATIERES.
§ V. — Figures symétriques.
Pagto.
Symétrie par rapport à un centre, à un axe, à un plan............... 90
Influence de la position du centre ou du plan de symétrie. — Manière de
ramener Tune à l’autre la symétrie par rapport à un centre et la symé-
trie par rapport à un plan..................................... 9a
Propriétés relatives à deux droites symétriques, à deux plans symétriques. 93
Propriétés des polyèdres symétriques.................................... 95
Équivalence de deux polyèdres symétriques............................... 96
§ VI- — Polyèdres semblables.
Cas de similitude de deux pyramides triangulaires..................... 96
Décomposition de deux polyèdres semblables en tétraèdres semblables.
Droites homologues................................................... 99
Rapport des aires et des volumes de deux polyèdres semblables......... io3
APPENDICE DU SIXIÈME LIVRE.
Propriétés générales des polyèdres convexes. — Théorème d Euler
( S H- F = À -j- 2) et ses conséquences............................ io5
Conditions d égalité et de similitude de deux polyèdres convexes; nombre,
des conditions necessaires pour déterminer un polyèdre convexe......... rio
Projection d’une aire plane...........................................
Contre des distances proportionnelles................................. 116
Centre de gravité : triangle, trapèze, polygone; tétraèdre, polyèdre.. 120
Aire latérale cl volume d’un tronc de prisme quelconque............... i2/|
Méthode de démonstration des propriétés projectives............... 127
Régie pour reconnaître la projectivité de certaines relations métriques;
expression Irigonomélrique du rapport anharmonique d’un faisceau.. 129
Figures lioinoiogiques; leur origine; leur construction; droites limites,. i3o
Propriétés mètriques des figures homulogiques. — Coefficient d’honio-
logie, nouvelle définition......................................... i33
Homologie des projections de deux ligures planes en perspective, réci-
proque................................................................. 135
LIVRE VII.
LES CORPS RONDS.
§ I. — Cylindre de révolution.
Notions préliminaires. — Plan tangent. — Prisme inscrit ou circonscrit.
— Cylindres semblables........................................ i3y
TABLE DES MATIÈRES. IX
Pages.
Aîi e latérale du cylindre de revolution. — Développement............. î^i
Volume du cylindre de révolution......................................
§ II. — Cône de révolution.
Notions préliminaires. — Plan tangent. — Pyramide inscrite ou circon-
scrite. — Cônes semblables........................................... i/|4
Aire latérale du cône de révolution. — Développement.................. i4
Aire latérale du tronc de cône à bases parallèles..................... i4
Volume du cône de révolution............................................ ։5i
Volume du tronc de cône à bases parallèles. — Formuler soit pour le
tronc de première espèce, soit pour le troue de seconde espèce.....
Application au cubage des troncs d’arbres, au jaugeage des tonneaux
(formule pratique .................................................... ։53
§ III. — Premières notions sur la sphère.
Notions préliminaires. - Tangente à une courbe sphérique.............. i5b
Scellons planes de la sphère. — Grands cercles; petits cercles........ 107
Propriétés des pôles d’un cercle de la sphère......................... 160
Recherche du rayon d une sphère solide................................ 161
Plan tangent à la sphère. — Cône ou cylindre circonscrit.............. 162
Intorseciion de deux sphères.......................................... *6.։
Quatre points déterminent une sphère.................................. 1O0
$ IV. — Propriétés des triangles sphériques-
Angle de deux arcs de grand cercle.................................... 166
Premières propriétés des triangles et des polygones sphériques........ 168
ligures sphériques polaires ou supplémentaires ; dualité.............. 17$
Cas d’égalité des triangles sphériques.................................. 177
Définition rie la longueur d un arc de courbe gauche. — Plus court chemin
entre deux points sur la sphère.................................... 178
Arcs de grand cercle perpendiculaires et obliques à un ceiclc donné :
conséquences relatives au triangle sphérique rectangle............. 180
Positions relatives de deux cercles d une môme sphère................. i83
Lieu du sommet d’un triangle sphérique dont on donne la buse ci l’excès
de la somme des angles à la base sur l’angle au sommet............. 184
Divers tracés sur la sphère. — Construction des triangles sphériques. —
Grand cercle langent à un petit cercle, à deux petits cercles......... iyi
§ V. — Aire de la sphère.
Aire engendrée par la rotation d’une droite autour d’un axe situé dans
son plan : conséquences............................................ 198
Aire de la zone; aire de ln sphère.................................... 197
Équivalence de deux triangles sphériques symétriques : conséquences·.. 199
X
TABLE DES MATIÈRES.
Pages.
Aire d un fuseau, d un triangle sphérique, d’un polygone sphérique; théo* .
rème de Lexcll........................................................ 201
§ VI. — Volume de la sphère.
Volume engcodré par un triangle tournant autour d’un axe situé dans
son plan et passant par l uit des sommets : conséquences............ 206
Volume du secteur sphérique, de la sphère.............................. 209
Volume engendré par un segment circulaire.............................. 211
Volume du segment sphérique; cas du segment à une base; 6on expres-
sion en fonction de sa hauteur et du rayon de la sphère............... 212
Volume de la pyramide sphérique........................................ 2iâ
§ VII. — Généralités sur les surfaces.
Surfaces coniques, cylindriques, de révolution......................... 216
Sections d une surface cylindrique ou conique par des plans parallèles.. 21Ô
Aire latérale d un cylindre quelconque. — Volume d un cylindre ou d un
cène quelconque..................................................... 219
Plan tangent au cône ou au cylindre; tangente à la projection d une
courbe; cas d’exception............................................. 220
Section nnliparallèlc du cône oblique à base circulaire; lieu du centre;
cônes passant par deux cercles d’une sphère..................... 221
Existence du plan tangent à une surface quelconque; normale. — Cns des
surfaces réglées, développables ou gauches.......................... 22q
Propriété fondamentale du plan langent aux surfaces de révolution...... 226
Propriété fondamentale du plan tangent aux surfaces gauches; raccorde՝
meut des surfaces gauches............................................. 227
APPENDICE DU SEPTIÈME LIVRE.
Théorèmesde Guldin sur l aire ou le volume engendré par la rotation
d’une ligne ou d’une aire plane autour d’un axe situé dans son plan. 228
Théorèmes sur le maximum des figures. — La sphère a le plus grand
volume parmi les corps de meme surface.............................. 233
Polyèdres réguliers couvexes; il n eu existe que cinq ; leur construction;
sphères inscrite et circonscrite.................................... a36
Calcul du dièdre d un polyèdre régulier. — Calcul des rayons des sphères
inscrite et circonscrite............................................ a4i
Polygones et polyèdres réguliers d espèce supérieure. — 1! n’existe que
quatre polyèdres réguliers d’espèce supérieure...................... 2^7
Trouver l espèce d’un polyèdre régulier; généralisation de la formule
d’Euler. — Application aux polyèdres réguliers d’espèce supérieure,
leur construction................................................... ¿53
Figures homothétiques dans l espace. — Centres et axes de quatre figures
homothétiques deux à deux, et, eu particulier, de quatre sphères...... 209
TABLE DES MATIÈRES.
XI
Pages.
Similitude dans l’espace............................................... 261
Figures homologiques dans l espace. — Plan de I’intitii; — Principe de
la construction des bas-reiicis.................................... 262
POle cl plan polaire par rapport à la sphère. — Droites réciproques.... 26/)
Plan radical de deux sphères; axe radical de trois sphères; centre radical
de quatre sphères; propriétés des points anti-homologues........... 266
Complément de la théorie des figures inverses et de la méthode de trans-
formation par rayons vecteurs réciproques; figure inverse d un plan,
d’une 6phère ou d une circonférence; conservation des angles....... 268
Projection stéréographique......................................... 270
Sphère tangente à quatre sphères données, théorème de Dupuis.......... 271
Sphère tangente à quatre plans donnés, nombre des solutions, calcul des
rayons...... ...................................................... 273
Figures tracées sur la 6phère : rapport enharmonique; rapport harmo-
nique՜; pôle et polaire par rapport à un cercle de la sphère; axe radi-
cal;, centres de similitude; cercles isogonaux.................. 27S
Problèmes relatifs au contact des cercles sur la sphère.— Cercle coupant
trois cercles donnés sous des angles donnés, et problème analogue de
Géométrie plane. — Sphère coupant quatre sphères données sous des
angles donnes...............................................*......... 285
LIVRE VIII.
LES COURBES ET LES SURFACES USUELLES.
§ I. — Propriétés fondamentales de l’ellipse.
Définition et tracé de la courbe; foyers, centre et axes............ 289
Point intérieur ou extéricurà l’ellipse............................. 293
Propriété fondamentale de la tangente, normale....................... 294
Cercles directeurs, cercle principal................................. 297
Tangente par un point donné. — Lieu dos sommets des angles droits cir-
conscrits à la courbe. — Propriétés des tangentes issues d’un point
extérieur......................................................... 299
Tangente parallèle à une direction donnée; produit des distances des
foyers à une tangente............................................. 3o2
Points de rencontre d une droite avec l ellipse non tracée.......... 3o4
§ IL - Propriétés fondamentales de l’hyperbole.
Définition et tracé de lu courbe; foyers, centre et axes............ 3o5
Point intérieur ou extérieur h l’hyperbole........................... 3o8
Propriété fondamentale de la tangente. — Réciproque pour l ellipse et
l’hyperbole. — Normale............................................... 009
Xll
TABLE DES MATIÈRES.
Pages.
Cercles directeurs, cercle principal,,..,............................... 3i2
Asymptotes. — Hyperbole équilatôrc. — Hyperboles conjuguées............. 3i3
Tangente par un point donné. — Lieu des sommets des angles droits
circonscrits a la courbe. — Propriétés des tangentes issues d un point
extérieur. — Application au quadrilatère circonscriptible............ 3i6
Tangente parallèle à une direction donnée; conséquences................. 3i8
Points de rencontre d une droite avec l’hyperbole non (racée; discussion. 3ig
§ III. — Propriétés fondamentales de Ut parabole.
Définition et tracé de lu courbe : foyer, directrice, paramètre, axe...... 321
Point intérieur ou extérieur h la parabole................................ 323
Propriété fondamentale de la tangente. — Réciproque.......................
Propriété de la tangente relative à la directrice......................... 326
Normale. — Tangente au sommet.. — Le foyer est le centre du cercle cir-
conscrit au triangle formé avec l axe par la tangente et la normale... 327
La directrice est le lieu dCB points symétriques du foyer par rapport aux
tangentes, et la tangente au sommet est le lieu des projections du foyer
sur ces mômes tangentes................................................. 328
Expressions de la sous-tangente, de la sous-normale et de l’ordonnée... 331
Tangente par un point donné. — Lieu (les sommets des angles droits
circonscrits à la courbe. - - Propriétés des tangentes issues d un point
extérieur............................................................... 33a
Tangente parallèle à une direction donnée............................... 334
Points de rencontre d’une droite avec la parabole non tracée........... 334
§ IV· — Ellipse considérée comme projection orthogonale
du cercle.
La projection orthogonale d’une circonférence de cercle sur un plan est
line ellipse ։ conséquence relative à l’ordonnée....................... 335
Affinité de l’ellipse et du cercle principal. — Application au tracé des
tangentes et à l’intersection d une ellipse et d’une droite........... 337
Diamètres de l ellipse, diamètres conjugués, tangente à l extrémité d un
diamètre............................................................... 34o
Aire de l’ellipse........................................................ 3/|i
Ellipse décrite par un point quelconque d’une droite de longueur con-
stante dont les extrémités glissent sur deux droites rectangulaires. —
Construction de la normale en un point de celte ellipse : conséquence. 3.^i
Étant donnés deux diamètres conjugués de l ellipse en grandeur et en
direction, construire les axes de la courbe........................ 34-3
Théorème de Schooten et de la Hire.................................. 3/|4
§ V. — Parabole considérée comme limite de l’ellipse.
La limite d une ellipse dont un sommet èt le foyer voisin restent fixes,
tandis que l’autre foyer s’en éloigne indéfiniment dans la direction du
TABLE LES MATIÈRES.
XIII
Pages.
grand axe, est une parabole : conséquences....................... 3/}5
Parabole rapportée à un diamètre et à la tangente correspondante; con-
servation de la .propriété de la sous-tangente...................... 347
Aire d’un segment parabolique....................................... 348
§ VI. — Origine commune des trois courbes.
Sections planes du cône de révolution.
Directrices dans l’elLipse et dans l’hyperbole : propriétés fondamentales. 34 j
Lieu des points dont les distances h un point fixe et h une droite fixe
sont dans un rapport constant; conséquences...................... 351
Sections planes d’un cône circulaire droit, examen des différents cas.... 353
Définition commune aux trois sections coniques...................... 357
Placer une ellipse, une hyperbole ou une parabole donnée sur un cône
de révolution donné.. ............................................ 357
Projection de la seclion plane d’une surface gauche de révolution sur un
plan perpendiculaire à l’axe de la surface; cas du cône............. 359
§ VII. - Propriétés fondamentales de l hélice.
Ordonnée et abscisse curviligne d’un point d une surface cylindrique... 36o
Définition de l’hélicc. — Spires. — Pas............................. 36i
Transformée de l hélice dans le développement du cylindre........... 363
Tangente et suus-langente. — Conséquences........................... 364
Mouvement hélicoïdal d un solide................................... 365
APPENDICE DU HUITIÈME LIVRE.
HOMOGRAPHIE ET INVOLUTION.
Divisions homographiques. — Formes principales de la relation liomo-
graphique........................................................ 367
Cas particuliers : divisions semblables, divisions honiologiques. — Con-
dition pour que deux divisions homographiques soient homologiques. 36u
Divisions homographiques de même base; points doubles............... 371
Détermination simultanée de deux points sur une môme droite : points
imaginaires....................................................... 372
Faisceaux homographiques. — Rayons doubles. — Faisceaux résultant
de lu rotation d’un angle de grandeur constante autour de son
sommet............................................................ 374
Intersection d une droite ol d’un cercle. — Points cycliques d’un plan. 3r6
Divisions homographiques en involution. — Formes de la relation invo-
lutive. — Projectivité de ^involution. — Points doubles........... 378
Relations métriques entre trois segments en involution............... 38o
Faisceaux en involution; rayons doubles; couple de rayons homologues
rectangulaires. *................................................. 38a
XIV
TARLK DES MATIÈRES.
Pages.
Propriétés involutivcs du quadrilatère. — Théorème de Desargues sur
le quadrilatère inscrit ou circonscrit à un cercle................... 3$ty
Constructions relatives à l homographie et à l’involulion............... 386
COURBES DU SECOND ORDRE.
Génération et classification des coniques............................... 389
Ordre d une courbe algébrique. — Identité des coniques et des courbes
du second ordre...................................................... 3g3
Extension aux coniques du théorème de Pascal.— Théorème de Desargues,
généralisé par Sturm................................,................ 394
Pôle et polaire dans les coniques................................... 3q5
Point intérieur ou extérieur à une conique.............................. 397
Quadrilatères inscrits et circonscrits. — Théorème de Frégier.— Inscrire
un polygone dont les côtés passent par des points donnés, et problème
corrélatif............................................................. 397
Points et droites conjugués. — Intersection d une conique et d une droite;
tangentes à une conique par un point de son plan..................... 399
Diamètres, centre, asymptotes. — Diamètres conjugués et cordes sup-
plémentaires........................................................... 4°o
Equation de l ellipse rapportée á deux diamètres conjugués. — Angle
auxiliaire; théorèmes d’Apollonius; maximum de ľangle de deux
diamètres conjugués; diamètres conjugués égaux....................... 4^3
Equation de l hyperbole rapportée à ses asymptotes ou à deux diamètres
conjugués. — Propriétés relatives aux diamètres conjugués et aux
asymptotes; propriétés des sécantes et de la tangente; théorèmes
d Apollonius; hyperbole équilatère.................................. 4°7
Propriétés des diamètres conjugués et des tangentes dans l’ellipse et
dans ľhyperbolc...................................................... 410
Problèmes usuels relatifs à l’ellipse et à ľbyperboJc................... 413
Diamètres et tangentes dans ia parabole. — Équation de cotte courbe
rapportée à un diamètre et à la tangente à son extrémité. — Propriété
dela sous-tangente................................................... 4™
Recherche des foyers et des directrices dans les coniques; conséquences
pour la tangente et la normale; retour aux définitions élémentaires
des trois courbes.................................................... 4J^
Coniques confocaïes..................................................... 4‘2^
Généralisation de ľidéo de foyer. — Cercles de rayon nul bilaugents à
lu conique. — Points communs aux tangentes menées à la courbe par
les points cycliques du plan......................................... 42^
Tableau de formules relatives aux coniques.............................. 42*
Complément de la méthode des polaires réciproques. — Théorème de
Pappus sur le quadrilatère inscrit................................... 4a7
Classe d une courbe algébrique. — Identité des coniques el des courbes
de seconde classe. — Nombre des foyers d’une courbe d’après sa
classe........................................................... 43։
TABLE DES MATIÈRES. XV
Pages.
Propriétés des points et des droites imaginaires.......................
Cordes et tangentes communes à deux coniques........................ 4^4
triangle aulopolaire commun à deux coniques; discussion.................. 4^6
Faisceau de coniques circonscrites ou inscrites à un quadrilatère. — Théo-
rèmes de Lamé et de Newton. — Cercle oscillateur et rayon de cour-
bure d une ellipse; théorème de Mac Cullng........................ 438
Coniques tangentes, bitangentes, osculalrices............................ 44°
Coniques homologiques. — Méthode générale pour les tracés graphiques
relatifs aux coniques à l’aide d un cercle auxiliaire................. 441
Coniques homothétiques................................................... 445
.Méthode de recherche fondée sur la projection conique. — Théorèmes de
Carnot et de Newton. — Principes relatifs à la projection d une conique
ou de deux coniques d après certaines conditions...................... 446
Théorème de Laguerre sur la transformation des relations angulaires. 45°
Construction d’une conique connaissant cinq éléments (points ou tan·
gentes). — Généralisation du théorème de Pascalpar M. Aubert.......... 4^*
Détermination d’une conique d’après d’autres conditions. — Caractéris-
tiques d un groupe de coniques........................................... 4^6
Construction des points communs et des tangentes communes à deux
coniques.............................................................. 158
Normales ii une conique par un point de son plan. — Théorème de
Joachimsthal.......................................................... 4^9
Problèmes usuels relatifs à la parabole et à l hyperbole équilatère...... 46i
THÉORIE DES SURFACES DU SECOND ORDRE.
Définition. — Pôle et plan polaire....................................... 467
Points et droites conjugués; Irièdre polaire............................. 468
Plans diamétraux ; diamètres ; centre. — Sections par des plana parallèles. 469
Plans principaux et sections circulaires................................ i jo
Cônes du second ordre. ֊— Axes et plans cycliques.................... 473
Cônes supplémentaires; dualité........................................... 47^
Focales et plans directeurs. — Propriétés des focales et des plans cycliques;
leur corrélation..................................................... 4/6
Coniques sphériques.................................................. 47®
Quelques cas particuliers remarquables de l intersection de deux surfaces
du second ordre..................................................... 479
Propriétés générales des surfaces réglées du second ordre. — Distinction
entre l’hyperboloide a une nappe et le paraboloïde hyperbolique....... 480
Ilyperboloïdc à une nappe. — Cône asymptote. — Sections planes; plans
cycliques. — Equation de la surface. — Projection de la surface sur un
plan diamétral parallèlement au diamètre conjugué de ce plan.......... 483
Paraboloïde hyperbolique. — Plans directeurs. — Sections planes. —
Équation de la surface. — Divers modes de génération................... 486
Classification des surfaces non réglées du second ordre.................. 489
Ellipsoïde. — Sections planes. — Sections circulaires; ombilics. — Équa-
XVI
TABLE DES MATIÈRES.
Pag«s.
lion de la surface, — Diamètres conjugués; extension des théorèmes
d’Apollonius......................................................... ¿jçjo
Paraboloïde elliptique. — Diamètres; axe. — Sections planes. — Équa-
tion de la surface..................................................... 492
Hyperboloïde à deux nappes. — Sections planes. — Équation de la sur-
face.................................................................. ¿193
ÉTUDE DE QUELQUES SURFACES D’ORDRE SUPERIEUR.
Surfaces polaires réciproques. — Classe d’une surface................... 49;ï
Surfaces apsidales. — Plan tangent, — Apsidale do la polaire réciproque. ^96
Surface des ondes ou surface apsidale d’un ellipsoïde par rapport à son
cenLre. — Diverses manières de la faire dériver de l’ellipsoïde. — Sec-
tions principales. — Plan tangent ; théorème de T ïiven.— Singularités :
poinls coniques, plans touchant suivant un cercle.................... 499
Tore ou surface apsidale d’une sphère. — Section par un plan hitangent,
par une sphère bitangente. — Droites bitangenlcs menées pur un point
donné................................................................ 5o4
QUESTIONS PROPOSÉES SUR LA GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE.
Exercices concernant les divers paracrapues :
Du cinquième Livre (531 à 592)................................ . « 9
Du sixième Livre (593 à 710).................................. ji(
Du septième Livre (711 à 843 )................................ . .9
Du huitième Livre (811 à 1021)................................ 54-
Questions diverses de Géométrie dans l’espace ( 1022 à 1090)... 509
NOTES.
NOTE I.
Sur l’application des déterminants à la Géométrie.
Aire du triangle. — Volume du tétraèdre et rayon de la sphère circon-
scrite........................................................ ¿67
Relations entre les distances mutuelles de quatre points d’un cercle, de
cinq points d’une sphère, de cinq poinls quelconques de l’espace.
Rayons des sphères coupant quatre sphères données sous des angles
donnés, ou des sphères touchant quatre sphères doonées; formules
pour les problèmes correspondants de Géométrie plane..... 572
TAULE DES MATIÈRES.
XVII
NOTE If.
Sur la Géométrie non euclidienne.
Conception de Lobalchcffski : Pages.
Angle de parallélisme.....:...................................... .... 5^6
Somme des angles d un liiangle........................................ 5-8
Contribution de M. Poincaré :
Axiomes fondamentaux ; impossibilité pour LobatchefiVki de se heurter
à une contradiction................................................ 58r
Céométiie de lliemann. — Les iormuhs de la Trigonométrie sphérique
sont les mêmes pour les trois Géométries........................... 585
La transformation T; nouvelle interprétation de la Géométrie de Rie-
mann.............................................................. ... 588
La Géométrie plane Ricnianniène ne digère pas de la Géométrie ce lu
splière. — Formule d’où l’on déduit toutes celles de la Trigonométrie
plane nou euclidienne.............................................. 089
Liens qui rattachent la Géométrie plane non euclidienne k la Géométrie
infinitésimale des surlaces....................................... 09:1
NOTE III.
Sur les transformations linéaires et quadratiques, les coniques associées
à un triangle et les systèmes de trois figures directement sem-
blables.
Formes perspectives.................................................. 59.1
Transformations linéaires............................................ 602
Transformations quadratiques.......................................... Gin
Inversions tiiangulai es. — Jlypcrbo’es éqtrila èrcs circonscrites à un
triangle.......................................................... 61G
Transformation par points réciproques. — Ellipse do Sli iner........ (hi
Figures ovlhogonalcment affines...................................... IÏ34
Figures affines superposée«.......................................... 628
Système de deux figures semblables superposées........................ 63o
Système de trois ligures directement semblables....................... 602
Exercices............................................................. 035
NOTE IV.
Sur la Géométrie récente du tétraèdre.
Points et plans harmoniquement associés..... .................... G/j^
Sections antiparallèles d’un tétraèdre. — Rayon de la sphère circon-
scrite........................................................ 6/j6
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