Diskrete Geometrie: Einführung, Probleme, Übungen
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Heidelberg [u.a.]
Spektrum, Akad. Verl.
1994
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| adam_text | Inhalt
I. Einführung 13
1. Transformationen und Orbits 13
2. Diskretheit 18
Einführung in Begriffsbildungen 18
Grundlegende Fassungen nach Fejes Töth und
Hilbert/Cohn Vossen 19
II. Diskrete Bewegungsgruppen in der euklidischen Geometrie 25
3. Die diskreten Bewegungsgruppen der euklidischen Geraden 25
Euklidische Geometrie auf der Geraden und ihre Bewegungen 26
Diskrete Bewegungsgruppen 28
4. Einfache diskrete Bewegungsgruppen der euklidischen Ebene 30
4.1. Die Rosettengruppen 31
Rosettengruppen C„ und D„ 34
Symmetrie der Polygone 37
Rosettengruppen in Natur, Technik und Kunst 38
4.2. Die Friesgruppen 42
Klassenbildungen (Die sieben Äquivalenzklassen) 47
Entscheidungsverfahren 47
Friesgruppen in Kunst, Technik und Natur 52
5. Die Ornamentgruppen der euklidischen Ebene 53
5.1. Gitter 53
« dimensionale Gitter 54
Basistransformation 57
Minimalsysteme 59
8 Inhalt
5.2. Punktgruppen und kristallographische Beschränkung
der Ornamentgruppen 61
Punktgruppe 62
Kristallographische Beschränkung 64
5.3. Die Netzklassen 66
Äquivalenz 67
Die fünf Netzklassen 67
5.4. Die siebzehn Klassen der Ornamentgruppen 72
Konstruktion von Ornamentgruppen 74
Ein Entscheidungsverfahren zur Bestimmung
der Ornamentgruppenklasse 86
Geometrische Kristallklassen 88
Arithmetische Kristallklassen 89
Zur Geschichte der Ornamentgruppen und
zu Ornamenten in der Kunst 90
5.5. Elementare Ostwald Muster und Ornamente 92
Themen und Formen 94
Elementare Ostwald Muster 95
Muster aus vollständigen Formen 96
Muster aus Drehungen 97
Muster auf der Grundlage minimaler MEG 100
6. Diskrete Bewegungsgruppen im dreidimensionalen
euklidischen Raum 107
6.1. Die endlichen Drehgruppen 107
Die Drehgruppen der regulären Polyeder 107
Die Drehgruppen C„ und D„ 109
6.2. Die Punktgruppen 112
Die endlichen Bewegungsgruppen 113
Symmetrie der Polyeder 116
6.3. Raumgruppen 119
Kristallographische Beschränkung und die 32 geometrischen
Kristallklassen 120
Übersicht über die Bravais Gittertypen 122
Raumgruppen und ihre Äquivalenzklassen 124
Inhalt 9
Windungsäquivalenz 125
Historische Anmerkungen 129
7. Einblicke in höherdimensionale Räume 131
Diskrete Bewegungsgruppen in höherdimensionalen
euklidischen Räumen 131
Kristallstrukturen 136
III. Diskrete Systeme von Punktmengen 139
8. Lagerungen, Überdeckungen, Packungen und Zerlegungen 139
8.1. Einige Bereitstellungen 139
8.2. Spezielle diskrete Packungen 141
Poly ominös 141
Packungen mit Polyominös 145
Verwandte der Poly ominös in der ebenen Geometrie 152
Verwandte der Polyominos in der räumlichen Geometrie 154
8.3. Reguläre, halbreguläre und halbsymmetrische Zerlegungen
der Ebene in Polygone 159
Reguläre Zerlegungen 161
Archimedische und dual archimedische Zerlegungen 163
Halbsymmetrische Zerlegungen 169
8.4. Diskrete Zerlegungen von Polygonen in Polygone 171
Zerlegung eines konvexen Polygons in reguläre Polygone 172
Zerlegung eines konvexen Polygons in konvexe £ Ecke 173
Homotetische und perfekte Zerlegungen 176
8.5. Dirichletsche Kammern, Fundamentalbereiche und
diskrete Bewegungsgruppen 180
Dirichletsche Kammern und Zerlegungen 181
Fundamentalbereich 184
Eine weitere Charakterisierung von diskreten
Bewegungsgruppen 186
Neue Strukturen neue Sichten 189
9. Parkette 191
9.1. Mosaike und Parkette 191
Mosaik, Kachelung 191
10 Inhalt
Parkett 194
Parkettierung mit einfachen Polygonen 197
9.2. Klassifizierung von Parketten 201
Topologischer Aspekt 201
Aspekt der Symmetriegruppen 203
Eine feinere Einteilung der ersten beiden Aspekte 203
Die 81 Parkettklassen nach Grünbaum und Shepard 204
Dirichlet Parkerte und ihre 37 Klassen 211
9.3. Escher Parkette 212
Die Typen von Escher Mustern 213
Konstruktion von Escher Mustern 218
9.4. Spezielle Parkette im Raum 220
Parallelogone 222
Paralleloeder Parkette 223
IV. Diskrete Transformationsgruppen und diskrete Systeme
von Punktmengen in nichteuklidischen Geometrien 227
10. Diskrete Bewegungsgruppen in der pseudoeuklidischen
Ebene 227
10.1. Pseudoeuklidische Ebene und ihre Bewegungen 227
10.2. Punktgruppen (Rosettengruppen) 233
Diskretheitsbegriff 235
Klasseneinteilung bezüglich Äquivalenz und
gleichartiger Äquivalenz 238
10.3. Friesgruppen 239
10.4. Fedorowgruppen (Raumgruppen) und kristallographische
Beschränkung 241
Fedorowgruppen ohne hyperbolische Drehung 242
Fedorowgruppen mit hyperbolischer Drehung 244
11. Diskrete Sachverhalte in der zweidimensionalen
sphärischen Geometrie 247
11.1. Inzidenz, Anordnung, Abstand, Bewegung 247
11.2. Klassifizierung der diskreten Bewegungsgruppen 250
Inhalt 11
11.3. Reguläre und halbreguläre Zerlegungen in Polygone 252
Reguläre Zerlegungen 253
Halbreguläre Zerlegungen 255
12. Diskrete Strukturen in der zweidimensionalen
hyperbolischen Geometrie 257
12.1. Geometrische Sachverhalte der ebenen hyperbolischen
Geometrie, Kleinsches Modell 258
12.2. Rosetten und Friesgruppen 264
Rosettengruppen 265
Friesgruppen 268
12.3. Reguläre Zerlegungen, Parkette und Ornamentgruppen 269
Reguläre Zerlegungen 270
Ornamentgruppen 272
Parkette 273
Anhang. Bereitstellungen aus Algebra und Geometrie 277
A 1. Abbildungen 277
A 2. Gruppen (Gruppenbegriff, Untergruppen, Homomorphismus
und Isomorphismus, erzeugte Gruppen, zyklische Gruppen
und Diedergruppen, direktes und halbdirektes Produkt) 278
A 3. Metrische Räume 287
A 4. Topologische Räume 288
A 5. Bewegungen in euklidischen Räumen (Bewegungen
in der euklidischen Ebene, Bewegungen im dreidimensionalen
euklidischen Raum, analytische Darstellung) 292
Literatur 297
Quellenverzeichnis 304
Namen und Sachwortverzeichnis 305
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