Handbuch der höheren Algebra: 1
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| Sprache: | German French |
| Veröffentlicht: |
Leipzig
Teubner
1878
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|---|---|
| adam_text | I nhalts verzeichniss.
Einleitung
S. 1
Erster Theil.
Die allgemeinen Eigenschaften und die numerische
Auflösung der Gleichungen.
Erstes Kapitel.
Theorie der Kettenbrüche.
Seite
Definition der Kettenbrücbe..................................... 7
Bildung der Nähcrungsbrüehe..................................... 9
Eigenschaften der Näherungsbrnche ............................. 11
Xcbennäberungsbrüche........................................... 18
Satz von Lejeune-Dirichlet......................................21
Anwendung der Kettenbrüche zur ganzzahligen Auflösung einer
Gleichung ersten Grades mit zwei Unbekannten...............23
Ein auf die Verwandlung rationaler Brüche in Kottenbrüchc bezüg-
licher Satz..................................................25
Die Bedingnng, unter welcher die zwei irrationale Grössen darstel-
lenden Kettenbrüche mit denselben Quotienten schliessen ... 29
/weites Kapitel.
Periodische Kettenbrüche.
Entwicklung der Irrationalen zweiten Grades in Kettenbrüche . . . 32
Vergleichung der Niiberungsbrücho eines periodischen Kettenbruchs,
welche gleichen vollständigen Quotienten entsprechen .... 49
Die Quadratwurzel aus einer ganzen Zahl.......................62
Anwendung der Theorie der Kettenbrüche auf unbestimmte Glei-
chungen zweiten Grades......................................64
Drittes Kapitel.
Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Gleichungen.
Complcxc Ausdrücke...........................................71
Ganze Functionen^..............՛.............................75
IV
inhaltsverzcichniss.
Scüo
Entwicklung der ganzen Function f (z + h) nach Potenzen топ h . 7D
Fundamental-Princip der Theorie der Gleichungen................. 8 t
Grenzen für die Moduln der Wurzeln................................. 87
Bestimmung des Produkts der zweien gegebenen Polynomen gemein-
schaftlichen linearen Factoren............................... 88
Ganze Functionen, in denen mehrere lineare Factoren einander
gleich sind................................................... 91
Eigenschaft der Abgeleiteten ganzer Functionen..................... 94
Satz von Cauchy.................................................... 97
Transformation der Gleichungen.....................................110
Viertes Kapitel.
Simultane Gleichungen und Elimination.
Die Elimination....................................................119
Ucber die Anzahl der Glieder, welche eine ganze Function gege-
benen Grades enthalten kann............................120
lieber die Anzahl der Glieder einer ganzen Function, welche durch
gegebene Potenzen der Veränderlichen nicht I heilbar sind . . 125
lieduction einer ganzen Function von mehreren Grössen, welche
einer ebenso grossen Zahl von Gleichungen genügen müssen . 126
Elimination von n — 1 Unbekannten aus n algebraischen Glei-
chungen. — Satz Von Bozout über den Grad der Eudgleichung 129
Ucber die Auflösung der simultanen alg cbraischen Gleichungen. . 1:1,4
Bemerkung über Bezout’s Eliminations-Methode. — Euler’s Me-
thode .......................................................137
Der Fall dreier Gleichungen zweiten Grades mit drei Unbekannten 140
Simultane Gleichungen, in welchen die Cocflicienten besondere be-
stimmte VVerthe haben....................................... 150
Satz über den Grad der Vielfachheit der Lösungen zweier simul-
tanen Gleichungen mit zwei Unbekannten.......................157
Anwendung der Theorie des grössten gemeinschaftlichen Divisors
zur Ermittlung der zweien Gleichungen mit zwei Unbekannten
gemeinschaftlichen Lösungen...................................163
Satz von Labatie.................................................. 160
Anwendung der Elimination zur Transformation der Gleichungen . 172
Ucber die Bestimmung der Divisoren der ganzen Functionen einer
Veränderlichen............................................... 177
Ucber die Grad-Erniedrigung der Gleichungen....................... 179
Fünftes Kapitel.
Eigenschaften der Wurzeln der Einheit.
Eigenschaften der Wurzeln der binomischen Gleichung zm = 1.
Ueber primitive Wurzeln und deren Anzahl......................181
Anwendung der Methode, mittels welcher der Grad der reciproken
Gleichungen erniedrigt wird, auf die binomische Gleichung. . 195
Inhaltsverzeichniss.
V
Seite
։ __ j
Beweis einer bemerkenswerthen Eigenschaft der Gleichung· ■*_ _ - = 0,
- in welcher p eine Primzahl bezeichnet....................200
Sechstes Kapitel.
Absonderung der Wurzeln der numerischen Gleichungen.
Die numerische Auflösung der Gleichungen......................205
Grenzen der reellen Wurzeln einer Gleichung mit reellen Coëffi-
ciënten ...................................................206
Substitution zweier beliebigen Zahlen an die Stelle der Unbekannten 211
Satz von Descartos...........................................212
Satz von Bndan...............................................218
Satz von Rolle...............................................223
Satz von Sturm...............................................227
Bedingungen, unter denen alle Wurzeln einer Gleichung gegebenen
Grades reell sind........................................ 233
Ausdehnung der Sturm’sehen Methode............................235
Anwendung der Sturm’schen Methode zur Bestimmung der Anzahl
der reellen oder complexen Wurzeln, welche eine beliebige
Gleichung in einem gegebenen begrenzten Gebiete besitzt . . 241
Erste Untersuchungen über die Trennung der reellen Wurzeln der
numerischen Gleichungen. Anwendung des Stürmischen Satzes 245
Fouriers Methode zur Trennung der Wurzeln.....................251
Trennung der complexen Wurzeln................................262
Siebentes Kapitel.
Berechnung der Wurzeln der numerischen Gleichungen.
Bestimmung der commensurabcln Wurzeln der Gleichungen mit
rationalen Coëfficiënten..................................263
Theorie der Differenzen.......................................268
Anwendung auf ein Beispiel....................................277
Newton’s Näherungsmethode................................... 280
Ergänzung der Newton’schcn Methode............................282
Näherungsmethode von Lagrango.................................287
Berechnung der complexen Wurzeln .... ...... 302
Zweiter Theil.
Die symmetrische* Functionen.
Erstes Kapitel.
Theorie der symmetrischen Functionen.
Symmetrische Functionen.......................................307
Die Newton’schen Formeln zur Berechnung der Summen gleicher
Potenzen dér Wurzeln einer Gleichung......................308
VI
Inhalts verzeichniss.
Seite
Gebrauch der algebraischen Division zu demselben Zwecke . . . 311
. Bestimmung der zweiförmigen, dveiförmigen, u. s. w. symmetrischen
Functionen der Wurzeln einer Gleichung..................312
Waring’s Methode zur Berechnung einer rationalen und ganzen
symmetrischen Function der Wurzeln einer Gleichung .... 314
Cauchy s Methode................................................ 322
Bildung der Gleichung, von welcher eine rationale und nicht sym-
metrische Function der Wurzeln einer gegebenen Gleichung
abhängt.................................................327
Gleichung der quadrirten Wurzeldifferenzen....................329
Geber die Form der rationalen Functionen einer oder mehrerer
Wurzeln einer Gleichung.................................332
Eine auf der Theorie der symmetrischen Functionen beruhende
Eliminations-Methode....................................... 336
Satz von Lagrangc über die Bedingungen, unter welchen zwei
Gleichungen mehrere Wurzeln gemeinschaftlich haben .... 311
Methode von Tschirnhausen, beliebig viele Glieder einer Gleichung
zum Verschwinden zu bringen.............................346
Anwendung der Methode von Tschirnhausen auf die Gleichung
fünften Grades..........................................350
Zweites Kapitel.
Auf die Theorie der symmetrischen Functionen bezügliche
allgemeine Formeln.
Formel von Lagrange...............................................355
Die Summe der gleichen Potenzen der Wurzeln einer Gleichung,
ausgedrückt als Function der Coëfficiënten................. 365
Anwendung auf die Gleichung zweiten Grades........................368
Eine symmetrische Function beliebiger Ordnung der Wurzeln einer
Gleichung, ausgedrückt als Function der Potenzsummen der
Wurzeln.....................................................369
Die Coëfficiënten einer Gleichung, ausgedrückt als Functionen der
Potenzsummen der Wurzeln....................................376
Neue Methode zur Bildung des letzten Gliedes der Gleichung der
quadrirten Wnrzcldiffercnzen............................... 377
Neuer Beweis der Formel von Lagrangc . 3S1
Anwendungen der Formel von Lagrangc.............................. 394
Drittes Kapitel.
Excurs über die Zerlegung der rationalen Brüche und
über die recurrirenden Leihen.
Theorie der Zerlegung der rationalen Brüche in PartialbrUehe . . 397
Erörterung des Falles, in welchem der Nenner des vorgelegtcn
rationalen Bruchs nur einfache Factoren enthält.............401
T įihaLtsvc į zei chniss.
VII
Seite
Methoden, mittels welcher die Zerlegung eines rationalen Bruches
im allgemeinen Falle ausgeführt wird........................403
Neue Form des Ausdrucks einer in Partialbrüche zerlegten ratio-
nalen Function...............................................407
Zerlegung der rationalen und reellen Brüche, deren Nenner com-
plexe lineare Factoren enthalten.............................410
Die Bedingungen, unter welchen das Integral eines rationalen Dif-
ferentials eine algebraische Function ist....................410
Anwendung auf eine Aufgabe der Geometrie . . ....................418
Bestimmung einer rationalen Function mittels der Werthe, welche
gegebenen Wertlien der Veränderlichen entsprechen...........421
Becurrirende Reihen............................ .... 426
Viertes Kapitel.
Alternirende Functionen und Determinanten. Anwendung
auf die Theorie der Gleichungen.
Alternirende Functionen..........................................431
Determinanten....................................................435
Ganze und homogene Functionen zweiten Grades.....................416
Die adjungirte Function..........................................451
Bemerkung über die Reduction auf eine Summe von Quadraten . 450
Satz über die ganzen und homogenen Functionen zweiten Grades
mit reellen Coëfficiënten...................................461
Sylvester’s Satz über die Functionen, zu welchen die Anwendung
des Sturm’schen Satzes führt................................4G5
Anwendung des Sturm’schen Satzes auf eine bemorkonswerthe Klasse
von algebraischen Gleichungen...............................473
Hermite’s Methode, die Anzahl der reellen Wurzeln einer Gleichung
zu bestimmen, welche zwischen zwei gegebenen Grenzen liegen 477
Fünftes Kapitel.
Zur Theorie der Elimination.
Rationale und symmetrische Functionen der mehreren Gleichungen
gemeinschaftlichen Lösungen.................................480
Ausdehnung der Methode der Elimination mittels der symmetrischen
Functionen auf den Fall einer beliebigen Anzahl von Gleichungen 401
Satz von Bezout über den Grad der Endglcichung................. . 406
Entwicklung einer impliciten algebraischen Function in eine nach
abnehmenden Potenzen ihrer՜ Veränderlichen geordnete Reihe 498
Bildung der Endglcichung, zu welcher die Elimination einer Un-
bekannten ans zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten führt. —
Neuer Beweis des Satzes von Bezout. -- Wurzelsumme der
Endgleiohung................................................502
VIII
Inhaltsverzeichniss.
Seite
Entwicklung mehrerer durch eheuBOviele Gleichungen definirten
algebraischen Functionen in Reihen, welche nach abnehmenden
Potenzen der Veränderlichen fortschreiten..................
Bildung der Endgleichung, welche durch Elimination von zwei,
drei, u. s. w. Unbekannten aus drei, vier, u. s. w. Gleichungen
entsteht. — Neuer Beweis des Satzes von Bczont. — Wurzel-
summe der Endgleichung.....................................
Beweis einer Formel von Jacobi................................
Anwendung der vorhergehenden Theorie auf einen Satz der Geometrie
Elimination einer Unbekannten aus zwei Gleichungen, deren Coef-
fieienten irgend welche besondere Werthe haben.............
Besonderer Fall der Entwicklung einer impliciten algebraischen
Function in eine nach abnehmenden Potenzen der Veränder-
lichen fortschreitende Reihe....................................
Bildung der Endgleichung, welche durch Elimination einer Un-
bekannten aus zwei beliebigen Gleichungen mit zwei Unbe-
kannten entsteht. — Grad der Endgleichung.......................
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