Quadratische Formen und orthogonale Gruppen:
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| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin
Springer
1974
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| Schriftenreihe: | Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
63 |
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Seite
Einleitung 1
Erstes Kapitel.
Algebra der metrischen Räume.
§ 1. Der metrische Raum und seine Automorphismen . 2
1. Definition eines metrischen Raumes S. 2 — 2. Halbein¬
fache Räume S. 4. — 3. Die Automorphismen eines metri¬
schen Raumes S. 6. — 4. Darstellung der Automorphismen
durch Spiegelungen S. 7. — 6. Die Irreduzibilität der ortho¬
gonalen Gruppe S. 8. — 6. Die Ähnlichkeitstransformatio-
nen S. 10.
§ 2. Die Typen der metrischen Räume 10
§ 3. Die Automorphismengruppe eines isotropen Raumes 12
1. Die Erzeugung von O aus gewissen Untergruppen
S. 12. — 2. Eine Darstellung «ier Automorphismen durch
Matrizen S. 14. — 3. Beweis für Satz 3.1 S. 16. — 4. Die
Struktur der Gruppe £ , S. 17. — 6. Beweis für Satz 3.5
S. 19.
§4. Die Spinor-Darstellung der orthogonalen Gruppe . 22
1. Die Clif fordschen Algebren S. 22. — 2. Die Darstellung
der Automorphismengruppe von R in C, S. 25. — 3. Die
Darstellung der Ähnlichkeitstransformationen in Ct S. 27.
§ 6. Räume der Dimensionen 2 bis 6 27
1. Zweidimensionale Räume S. 27. — 2. Dreidimensionale
Räume S. 29. — 3. Die Modulargruppe S. 29. — 4. Vier¬
dimensionale Räume S. 31. — 5. Fünfdimensionale Räume
S. 33. — 6. Sechsdimensionale Räume S. 34.
Zweites Kapitel.
Metrische Bäume über perfekten diskret bewerteten Körpern.
§ 6. Die Grundeigenschaften perfekter diskret bewerte¬
ter Körper und ihrer quadratischen Erweiterungen 36
1. Quadratische Erweiterungen S. 36. — 2. Quaternionen-
Algebren S. 38.
§ 7. Invariante Kennzeichnung der Räume und Raum¬
typen 39
1. Die g-Räume S. 39. — 2. Aufzählung der anisotropen
Räume S. 42. — 3. Die Invarianten der Räume und Raum¬
typen S. 44.
§ 8. Räume und Raumtypen über den Körpern der reel¬
len und komplexen Zahlen 46
X Inhaltsverzeichnis.
Seite
§ 9. Die Gitter 47
1. Definitionen S. 47. — 2. Kanonische Basen S. 48. —
3. Maximale Gitter S. 60. — 4. Beispiele S. 54.
§ 10. Die Einheiten 66
1. Definition und elementare Eigenschaften S. 66. — 2. Die
Einheiten in isotropen Räumen S. 57. — 3. Assoziierte
Vektoren S. 69.
§ 11. Die Ideale 63
1. Ganze Ähnlichkeitstransformationen S. 63. — 2. Defi¬
nition und Grundeigenschaften der Ideale S. 65. — 3. Die
Anzahl der ganzen Ideale, welche einen Vektor teilen
S. 67. — 4. Einzelausführungen S. 69.
Drittes Kapitel.
Die elementare Arithmetik der metrischen Räume Über algebra¬
ischen Zahl- und Funktionenkörpern.
§12. Die Gitter 74
1. Die £-adischen Erweiterungen eines Gitters S. 74. —
2. Die Gitter als endliche Moduln S. 77. — 3. Die Ähnlich-
keits- und Isomorphieklassen S. 78. — 4. Fortsetzung
S. 81. — 6. Der Linearformensatz von Minkowski S. 85.
§ 13. Die Ideale 86
1. Kennzeichnung von Gittern S. 86. — 2. Grundeigen¬
schaften der Ideale S. 87. — 3. Klassen und Geschlechter
S. 88. — 4. Die Spinor-Geschlechter S. 90.
§ 14. Beziehungen zur Arithmetik der Cliffordschen Al¬
gebren 94
1. Zweidimensionale Räume und quadratische Zahlkörper
S. 94. — 2. Gitter in R und Ordnungen in Cs S. 96. —
3. Ideale in R und in C, S. 98.
§ 15. Gitter in isotropen Räumen 99
1. Spinor-verwandte Gitter S. 99. — 2. Maximale Gitter
S. 102.
§ 16. Die elementare Theorie der Einheiten 103
1. Vorbemerkungen S. 103. — Die Ordnung der Einheiten¬
gruppen S. 103. — 3. Die relativen Maße der Einheiten¬
gruppen S. 105. — 4. Die Einheitengruppen von Teilräu¬
men S. 107.
Viertes Kapitel.
Vektoren und Ideale.
§ 17. Die Anzahlmatrizen 109
1. Definition und elementare Eigenschaften S. 109. —
2. Verallgemeinerung der Anzahlmatrizen S. 112. — 3. Trans¬
formation der Anzahlmatrizen auf Normalgestalt S. 116.
Inhaltsverzeichnis. XI
Seite
§ 18. Eine Reduktion der Anzahlmatrizen 117
1. Die relativen Darstellungsmaße S. 117. — 2. Verknüpfung
mit den Anzahlmatrizen, ein Spezialfall S. 118. — 3. Der
allgemeine Fall S. 121. — 4. Multiplikative Eigenschaften
* der Darstellungsmaße S. 124. — 5. Zusätzliche Bemerkun¬
gen S. 126. — 6. Die Übertragung auf die verallgemeiner¬
ten Anzahlmatrizen S. 127.
§ 19. Eine weitere Reduktion der Anzahlmatrizen . . 130
1. Durchführung der Reduktion S. 130. — 2. Die relativen
Darstellungsmaße bez. der Halbgeschlechter S. 131.
§20. Die Thetafunktionen 133
1. Einführung S. 133. — 2. Die Reziprozitätsformel S. 136. —
3. Gaußsche Summen S. 137. — 4. Die Modulgruppe
5. 139. — 6. Die Darstellung der Modulgruppe im Raum der
Thetafunktionen S. 140.
§ 21. Modulformen und Modulfunktionen 142
1. Funktionentheoretische Grundlagen S. 142. — 2. Die
Heckeschen Operatoren S. 144. — 3. Anwendung auf die
Thetafunktionen S. 147. — 4. Weitere Ergebnisse S. 160. —
6. Formen der Stufe 1 S, 161. — 6. Quaternäre Formen mit
quadratischer Diskriminante S. 162.
Fünftes Kapitel.
Die höhere Arithmetik der metrischen Räume, insbesondere
Ober dem Körper der rationalen Zahlen.
§22. Die ß-Räume 153
1. Die Hauptsätze S. 163. — 2. Beweise für den Spezial¬
fall des rationalen Zahlkörpers S. 154. — 3. Ternäre in¬
homogene Gleichungen S. 158.
§23. Invariante Kennzeichnung der Räume und Raum¬
typen 159
1. Anisotrope Räume S. 159. — 2. Die Normaldarstellung
der Raumtypen S. 161. — 3. Die Normen der Ähnlich¬
keitstransformationen S. 165.
§ 24. Die elementare Theorie der Maße 166
1. Einführung S. 166. — 2. Das Einbettungsmaß S. 168. —
3. Beziehungen zwischen dem Einbettungsmaß und dem
Maß von Geschlechtern in Teilräumen S. 169. — 4. Die
p-adischen Maße und Einbettungsmaße S. 173. — 6. Eine
Anwendung S. 174.
§25. Das absolute Maß derp-adischen Einheitengruppen 175
1. Die Einteilung der automorphen Einheiten in Rest¬
klassen S. 175. — 2. Die Definition der absoluten Maße
S. 180. — 3. Die Einheitengruppen von Teilräumen S. 182. —
4. Berechnung der absoluten Maße S. 186.
§26. Die analytische Maßformel für definite Räume . 187
1. Die Hauptsätze S. 187. — 2. Beweis für Satz 26.1
5. 190. — 3. Weitere Ausführungen S. 197.
XII Inhaltsverzeichnis.
Seite
§27. Die geometrische Theorie der Einheiten 199
1. Einführung S. 199. — 2. Diskontinuitätsbereiche S. 200. —
3. Das invariante Volumenelement S. 202. — 4. Das absolute
Gruppenmaß S. 204. — 5. Die geometrische Bedeutung
der Einheitentheorie S. 206.
§ 28. Die analytische Maßformel für allgemeine Räume 206
1. Die Hauptsätze S. 206. — 2. Der Beweis S. 207.
Anhang.
Hinweise auf nicht berücksichtigte Literatur .... 211
Anmerkungen 212
Namen- und Sachverzeichnis 219
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