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Corps locaux:

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Bibliographische Detailangaben
1. Verfasser:	Serre, Jean-Pierre 1926- (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	French
Veröffentlicht:	Paris Hermann 1968
Ausgabe:	2. éd., rev. et corr.
Schriftenreihe:	Institut de Mathématique <Nancago>: Publications de l'Institut de Mathématique de l'Université de Nancago. 8 Actualités scientifiques et industrielles. 1296
Schlagworte:	Numeros Algebricos Algebraic fields Homology theory Körpertheorie Homologietheorie Lokale Klassenkörpertheorie Lokale Klasse Lokaler Körper Kommutative Algebra Kohomologie Klassenkörpertheorie
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adam_text	Titel: Corps locaux Autor: Serre, Jean Pierre Jahr: 1968 TABLE DES MATlfcRES INTRODUCTION..................................................................................................................u LEITFADEN............................................................................................................................i3 PREMIERE PARTIE. — CORPS LOCAUX (GfiNfiRALITfcS) Chapitre I. Anneaux de valuation discrete et anneaux de Dedekind..........................17 § 1. Definition des anneaux de valuation discrete............................................................17 §2. Caracterisations des anneaux de valuation discrete..................................................18 §3. Anneaux de Dedekind ................................................................................................2i §4. Extensions....................................................................................................................24 §5. Les homomorphismes de norme et d injection..........................................................27 § 6. Exemple : extensions monogbnes.........................................28 § 7. Extensions galoisiennes................................................................................................31 § 8. Substitution de Frobenius ..........................................................................................34 Chapitre II. Completion......................................................................................................36 § 1. Valeurs absolues et topologie definies par une valuation discrete............................36 § 2. Extensions d un corps complet ..................................................................................38 § 3. Extension et completion..............................................................................................4° § 4. Structure des anneaux de valuation discrete complets. Cas d egale caracteristique 42 § 5. Structure des anneaux de valuation discrete complets. Cas d inegale caracteris- tique ..........................................................................................................................45 §6. VecteursdeWitt..........................................................................................................49 DEUXlfcME PARTIE. — RAMIFICATION Chapitre III, Discriminant et diffErente ..........................................................................57 § 1. ...............................................................................................................................57 § 2. Discriminant d un reseau par rapport k une forme bilineaire..................................58 § 3. Discriminant et differente d une extension separable ..............................................59 §4. Proprietes eiementaires de la differente et du discriminant......................................60 § 5. Extensions non ramifiees ............................................................................................62 § 6. Calcul de la differente et du discriminant........................................64 §7. Une caracterisation differentielle de la differente ....................................................67 8 TABLE DES MATlfeRES ClIAPITRE IV. GROUPES DE RAMIFICATION................................................................................^9 § i. Definition des groupes de ramification et premieres propriety ..............................69 §2. Les quotients G;/Gi+,, i .......................................................................................73 §3. Les fonctions ? et ct le theoreme de Herbrand ......................................................°° § 4. Exemple : extensions cyclotomiques du corps Qp...............................................a4 Chapitre V. La norme .......................................-............. § 1. Lemmes............................................................ § 2. Le cas non ramifid..................... — .................... .............9 §3. Le cas cyclique d ordre premier, totalement ramifie.........^..............................91 §4. Extension du corps r£siduel dans une extension totalement ramifi6e......................95 §5. Polynomes multiplicatifs et polynomes additifs..........................................................9 § 6. Le cas galoisien totalement ramifie............................................................................99 §7. Application : demonstration du th^or^me de Hasse-Arf..........................................101 Chapitre VI. Representation d Artin............................................l05 § 1. Representations et caracteres ....................................................................................I05 § 2. Representation d Artin..............................................................................................I07 § 3. Globalisation................................................................................................................111 §4. Representations d Artin et homologie (cas des courbes algebriques)......................112 TROISI ME PARTIE. — COHOMOLOGIE DES GROUPES Chapitre VII. G£n£raut£s....................................................................................................117 § 1. G-modules....................................................................................................................117 § 2. Cohomologie des groupes.........................................................................119 § 3. Calcul de la cohomologie au moyen de cochaines......................................................120 §4. Homologie....................................................................................................................122 §5. Changement de groupe ..............................................................................................123 §6. Une suite exacte.........................................................125 §7. Sous-groupes d indice fini ..........................................................................................127 §8. Letransfert....................................................................................................................128 Annexe. Cohomologie non abelienne......................................................................................131 Chapitre VIII. Cohomologie des groupes finis..................................................................135 §1. Les groupes de cohomologie modifies........................................................................133 §2. Restriction et corestriction ........................................................................................137 § 3. Cup-produits................................................................................................................139 §4. Cohomologie des groupes cycliques finis. Quotient de Herbrand............................140 § 5» Quotient de Herbrand dans le cas cyclique d ordre premier ..................................143 Chapitre IX. Les theor^mes de Tate et de Nakayama....................................................146 § 1. /^-groupes......................................................................................................................i46 § 2. Groupes de Sylow........................................................................................147 § 3. Modules induits et modules cohomologiquement triviaux........................................148 §4. Cohomologie d un/ -groupe ......................................................................................149 §5. Cohomologie d un groupe fini....................................................................................jgj §6. Resultats duaux .................................. §7. Untheoremedecomparaison ....................................................................................134 §8. Letheor6mede Tate et Nakayama ...................156 TABLE DES MATIERES 9 CHAPITRE X. COHOMOLOGIE GALOISIENNE................................................................................158 § I. Premiersexemples........................................................................................................158 § 2. Quelques exemples de « descente »............................................................................160 §3. Extensions galoisiennes infinies ..................................................................................162 §4. Le groupe de Brauer....................................................................................................164 § 5. Comparaison avec la definition classique du groupe de Brauer ..............................165 § 6. Une interpretation geometrique du groupe de Brauer : les varies de Severi- Brauer........................................................................................................................168 §7. Exemples de groupes de Brauer..................................................................................169 Chapitre XI. Formations de classes......................................................................................172 § 1. La notion de formation................................................................................................172 §2. Formation de classes....................................................................................................74 § 3. Les classes fondamentales et l isomorphisme de reciprocity ....................................176 § 4. Extensions abeiiennes et groupes de normes..............................................................179 §5. Le theoreme d existence..............................................................................................181 Annexe. Quelques calculs de cup-produits..............................................................................184 QUATRlfcME PARTIE. — CORPS DE CLASSES LOCAL Chapitre XII. Groupe de Brauer d un corps local..........................................................189 § 1. Existence d un corps neutralisant non ramifie..........................................................189 §2. Existence d un corps neutralisant non ramifie (demonstration directe)..................19° §3. Determination du groupe de Brauer..........................................................................192 Chapitre XIII. Corps de classes local................................................................................19® § 1. Le groupe 2 et sa cohomologie....................................................................................19^ §2. Corps quasi-finis..........................................................................................................*9® §3. Le groupe de Brauer....................................................................................................200 § 4. La formation de classes..............................................................................................2°3 § 5. Le theoreme de Dwork................................................................................................207 Chapitre XIV. Symboles locaux et theoreme d existence ............................................211 § 1. Definition generate des symboles locaux....................................................................211 §2. Le symbole (a, 6)..............................................................................212 § 3. Calcul du symbole (a, b) dans le cas « moder6 »........................................................21 b §4. Calcul du symbole (a, b)v pour le corps (n = 2)....................................................2I^ § 5. Lesymbole [a, ............................................................................................................221 § 6. Le theoreme d existence..............................................................................................224 § 7. Exemple: extension abeiienne maximale de Qp........................................................22b Annexe. Cas global (enonce de resultats)................................................................................22^ Chapitre XV. Ramification..................................................................................................23° § 1. Noyau et conoyau d un polynome additif (resp. multiplicatif) ...................230 § 2. Les groupes de normes................................................................................................233 §3. Calculs explicites ........................................................................................................235 Bibliographie ............................................................. Bibliographie suppl£mentaire .............................................. Index........................................................................
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