Exercices progressifs corrigés pour une initiation aux espaces vectoriels: 1. année d'enseignement supérieur
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| adam_text | TABLE DES MATIÈRES
Pages
CHAPITRE I
1. ESPACES VECTORIELS 3
1er Exercice : L ensemble des matrices colonnes à trois lignes cons¬
tituent elles un espace vectoriel ? 3
2eme Exercice : Dans R2, un ensemble défini par deux lois don¬
nées respectivement de composition interne et de compo¬
sition externe est il un espace vectoriel ? 6
3eme Exercice : L ensemble E des nombres réels x — a + b y/1 +
+ c /3 + d y/G a t il une structure d espace vectoriel ? En
trouver diverses bases 8
4eme Exercice : Montrer que l ensemble §¦ des fonctions en esca¬
lier de [a, b] vers R, et l ensemble 3€ des fonctions affines
par morceaux de [a, b] vers R constituent deux espaces vec¬
toriels sur R 11
jeme Exercice : L ensemble des fonctions définies sur [a, b] et à
valeurs dans R telles que f(x) f(x ) Kf x x (Kf 0)
est il un espace vectoriel sur RI 16
6eme Exercice : L ensemble des suites réelles dont les termes
vérifient : un = aun_l + bun_2 constitue t il un espace vec¬
toriel ? 18
7eme Exercice : L ensemble 3E des matrices carrées d ordre 2
constitue t il un espace vectoriel par rapport aux lois, addition
et multiplication par un scalaire ? 19
geme Exercice : Montrer que les solutions de l équation différen
VIII TABLE DES MATIERES
Pages
tielle y + ay + by 0 forment un espace vectoriel. En est
il de même des polynômes P{f) vérifiant
/ e~* P(t) t df = 0 0 entier donné) ? 21
d
yme Exercice : Démontrer que l homothétie définie dans un espace
vectoriel est un automorphisme de cet espace vectoriel. En
est il de même pour la translation ? 23
2. SOUS ESPACES VECTORIELS 29
1er Exercice : Trouver dans l ensemble E des fonctions continues
sur [0,1 ] qui forment des sous espaces vectoriels de E 29
2*1 6 Exercice : a) Montrer que, dans l espace vectoriel E1 à une
dimension des vecteurs v, l ensemble des multiples de v
constitue un sous espace vectoriel de El. _^
b) Dans l espace vectoriel E2 de base u,~v;D = au +bv forme
t il un sous espace vectoriel de E2 ?
c) Dans l espace vectoriel E3 à 3 dimensions de base ~Zy, ~e2, ~e3,
l ensemble G des vecteurs V tels que x, + x2 + x3 = 0,
est il un sous espace vectoriel de E3 ? 32
3eme Exercice : Dans l ensemble S des matrices carrées d ordre 4,
l ensemble ® des matrices carrées de la forme P est il un sous
espace vectoriel de S ? 33
4ème Exercice : 1) Un vecteur Z = (11, ÎO,^ 21) appartient il
au sous espace vectoriel engendré par X = (3, 6, 5) et
Y = ( 1, 4,3) ?
2) Déterminer a pour que Z = (a, 2, — 3) appartienne au sous
espace vectoriel engendré par ï£= ( 1, 2, 3) et Y = ( 1, 0, 2) ?
3) Montrer que les deux systèmes de R3
?= (1,2,1) 7= (1,3, 2)
u =(4,9,5) t =(4,ll,7)
engendrent le même sous espace vectoriel 34
5™ Exercice : Dans l espace vectoriel à:3 avec K Z/3, quel
est le nombre de vecteurs engendrés par le sous espace vec¬
toriel contenant X= (i, 2, 1) et B = (1,1,2)? 37
6eme Exercice : Si Ex et E2 sont deux sous espaces vectoriels
de E, montrer que Et n E2 est un sous espace vectoriel de E ;
peut on en dire de même de ElUE2 1 Application 37
TABLE DES MATIERES IX
Pages
3. SOMME DE DEUX SOUS ESPACES VECTORIELS .. 39
1er Exercice : Dans l espace vectoriel pointé R3 : _^ _^
Quelle est la somme de deux droites distinctes D et D ?
Quelle est la somme d un plan (F) et d une droite ZÎ sécante ?
Quelle est la somme de deux plans sécants (F) et (/* ) ? .... 39
2eme Exercice : Dans l espace vectoriel R3, soient deux sous espaces
vectoriels £t défini par ?, = (1, 1, 2) 72 = (1, 1, 2)
?3 = (3, 1, 6) ; E2 défini par?/ = (0, 2,0) t; = ( , 0, 1).
Déterminer les dimensions de Ex et E2, ainsi que la somme
Et+E2 40
3 ane Exercice : Soit l ensemble des sous espaces vectoriels de E,
avec les deux lois de composition interne n et +. Montrer
que a une structure de treillis 41
4«ne Exercice : Dans l espace vectoriel V, trois sous espaces vec¬
toriels E, F, G tels que EOF = EnG ; E + F = E + G ;
FCG. Montrer que F = G 42
4. SOMME DIRECTE SOUS ESPACES SUPPLEMEN¬
TAIRES 43
1er Exercice : Quelle est la somme directe de deux droites dis¬
tinctes, d un plan et d une droite, de 2 plans distincts ? .... 43
2eme Exercice : Recherche de sous espaces supplémentaires à divers
sous espaces 44
jème Exercice : Dans l espace vectoriel R6 = E de base (e1, e2,
e3« e4 es eé) on considère le sous espace vectoriel Vt en¬
gendré par (ex, ~e2, ~e3) et V2 engendré par (e4, es, e6). Montrer
que V, admet une infinité de sous espaces supplémentaires .. 45
4«ne Exercice : Montrer que deux sous espaces vectoriels supplé¬
mentaires d un même sous espace sont isomorphes 46
gème Exercice : Démontrer que l ensemble des combinaisons li¬
néaires d un système fini de vecteurs de l espace vectoriel E
est un sous espace vectoriel de E 47
CHAPITRE II
1. DEPENDANCE ET INDEPENDANCE LINEAIRES .. 51
1er Exercice : Dans l espace vectoriel E survie cprps A: à 3 dimensions
et admettant trois vecteurs de base Ulf U2, U3.
X TABLE DES MATIERES
Pages
1) Démontrer que Wt = U2 + ~U3 ; W2 = U3 + Ut ;
W3 = Ul + U2 sont linéairement indépendants.
2) Démonfrer que ^ = Û1 V2 = af^ + î/2, f3 = fcf/j +
+ cU2 + U3 sont linéairement indépendants (Va) (Vfc) (Vc) G^T. 51
2ème Exercice : Dans l espace vectoriel B sur R des trinômes, dé¬
montrer que les trinômes (1, x, x2) et (x2 + 1, 2x, x2 1)
sont linéairement indépendants 53
3eme Exercice : Examiner la dépendance ou l indépendance li¬
néaires des trois vecteurs
et des trois vecteurs X (1 + i, i, 1 + 20 F= (i, 1,1 z)
C=(l 3i, 1 + i, |i) S C3 54
4e 1* Exercice : Dans l espace vectoriel K3 avec K = Z/6Z, le
trivecteur A = (2 , i , Ô) 5 = (3,4,2) ?= (0,5,1)
est il formé de vecteurs dépendants ou indépendants? En est
il de même pourZf=(2, 1,0) ^ =(3,4,2) /=(Ô,2,4)?.. 56
jeme Exercice : Dans l espace vectoriel R4 les trois vecteurs
(l , (~l (
« — I I ^=l I w = l I sont ils linéai
0 4 / V 12/
rement dépendants. Déterminer m pour que les trois vecteurs
; (D (i) (1)
soient linéairement dépendants, 58
2. SYSTEME GENERATEUR BASES 61
1er Exercice : Q) Les parties suivantes de l espace vectoriel R2
sont elles des parties génératrices de cet espace vectoriel :
* ® r Cl)¦¦»* t $) * ( %
QP Les parties suivantes de l espace vectoriel R3 sont elles
des parties génératrices de cet espace vectoriel ?
TABLE DES MATIERES XI
Pages
¦^¦(IW iMIH H)
. (JKWi »
2eme Exercice : Dans l espace vectoriel des trinômes du second
degré :
a) montrer que {1 ,x, x(x 1)} en est une base.
b) {2x2 5, Ix, 3x2 + 4} en est il une partie génératrice ?
une base ?
{x(x 1), 2x2 5, 3x2 + 4} en est il une partie géné¬
ratrice ? une base ?
{1, Ix, 3 x2 + 4} en est il une partie génératrice ? Une base? 64
3eme Exercice : Soit E l ensemble des formes linéaires
F(x,y,z) = ax + by + cz. a,b,ce.R3.
J 1) Montrer que E est un espace vectoriel sur R.
Ft = x + 2y + 2z
2) Montrer que le système de formes Gt = 2x + Zy + 2z
#, = 6x + 8y + 4z
en est une partie génératrice. En est il une base ?
/ F2 = x + 2y + 2z
3) Le système de formes | G2 = 2x + y + 2z en est il une
( H2 = 2x + Ay + 2z
partie génératrice ? En est il une base ? 67
3. BASES D UN ESPACE VECTORIEL DIMENSION .. 71
1er Exercice : Dans un espace vectoriel de dimension un constitué
par une droite vectorielle D, qui a pour vecteur unitaire i,
1 ) Montrer que tout système libre constitué d un élément de D
est une base de D . _,.
2) Existe il des bases de D ayant plus d un élément .
3) Dimension de D 1 71
2eme Exercice : 1) Dans l espace vectoriel R2 les deux vecteurs
• *=l il et ï? = I I constituent ils une base ?
2) Tout couple de vecteurs linéairement indépendants cons
titue t il une base ?
XIV TABLE DES MATIERES
Pages
^ème Exercice : Dans R3 rapporté à la base S(e j ,~e2 ,~e3) soit /
l application linéaire telle que
X = 2^ 72 + 73^
e 2 = — ex + e2 + 2e3
e3 = el + 2e2 e3
1 ) Quelle est l image par / de la base 6h ?
2) L application / est elle bijective ?
3) Définir l application réciproque f~l 106
5 me Exercice : Dans R2, on considère deux sous espaces sup¬
plémentaires f/j et U2 constitués par deux droites sécantes :
VGR2 = V = X+ Y avec ZG Uu fe U2
On pose X= projjCK) Y= proj2(K).
1) Montrer que ces deux applications sont des applications
linéaires
2) Généralisation à R3 108
2. PROPRIETES DES APPLICATIONS LINEAIRES ... 111
1er Exercice : Pour plusieurs applications linéaires données, trouver
1) l image de l espace vectoriel de départ
2) le noyau de chacune de ces applications linéaires 111
2*me Exercice : Dans R2 rapporté à la base (R (eï, e2), soit / les
applications linéaires, représentées par les matrices
— b a — b J
1 ) A quelle condition / est il un isomorphisme ?
2) Quel est le noyau de l application p de matrice .«4 (0,1) ?
3) Quelle est l image de R2 par l application p ? 113
3*me Exercice : Dans R3 rapporté à la base i , j , k soit A la
matrice
A = 10 1 il
h i oj
Soit 7* la transformation linéaire de matrice A.
1) Ecrire les formules de changement de coordonnées.
2) Quelle est l image de R3 par T ?
3) Trouver les points dont l image par T est O 115
4eme Exercice : OU 3 étant l espace vectoriel des matrices carrées
TABLE DES MATIERES XV
Pages
d ordre 3 à coefficients réels, soit / l application définie par
/ : A e 0H3 f(A) =A+A.
1) Montrer que / est une application linéaire de 3ïl3 dans 31Z3.
2) Déterminer le noyau SU de /.
3) Quelle est l image de Oîl 3 par / ? 117
jeme Exercice : Problème général sur les propriétés des applica¬
tions linéaires 119
geme Exercice : (T) Montrer que l ensemble des applications li¬
néaires de E dans F a une structure d espace vectoriel sur K.
Qp Démontrer que la composée de deux applications linéaires
g ° f est une application linéaire.
(np Démontrer que l ensemble des endomorphismes de l espace
vectoriel E a une structure d anneau unitaire par rapport
aux 2 lois + et ° 123
3. FORMES LINEAIRES 129
1er Exercice : E un espace vectoriel de dimension n sur le corps A
de base(B(e1, e2 , e3... en).
1) Démontrer que E* ensemble des formes linéaires est aussi
un espace vectoriel sur K. Que peut on en déduire ?
2) Montrer que les ft 1 i n avec /j(ë^) = 1 ; f,(ej) = 0
/ ¥=/ constituent une base de E*.
3) Dimension de E* 130
2ème Exercice : (l) Définir l ensemble L des applications linéaires
f de R dans R. Espace dual ? Base de E* ? Composantes
de / dans cette base ? Trouver une base de (B**. Donner
les composantes dans (8** d une application linéaire de E*
dans R. _,.
(H) Soit la forme linéaire/(x) = 2x — y + z dans R3 trouver
son expression dans la base duale de R3 132
3«ne Exercice : Dans/Î2 soit/* la forme linéaire telle que (S(^ , ~e2)
étant une base de R2 f*^) = ax f*(t2) = a2 (VX)SR2
X=(X) f*{X)=alX+a2y.
1) Noyau de /*.
2) Equation d un sous espace vectoriel de dimension 1 de R2.
3) Noyaux de deux formes linéaires distinctes /* et / * repré
sentant la même droite vectorielle.
4) Généralisation à R3.
5) Généralisation à R 134
XVIII TABLE DES MATIERES
Pages
1) Montrer que (AV1) V2 = (AV2) ¦ F,.
2) Trouver les matrices A telles que A ¦ A = A ¦ A. Montrer
que A V et A . V ont même norme.
3) Montrer que || f = f entraîne l orthogonalité de V+V
eXV V 203
6e 16 Exercice : Equations réduites d une conique et d une
quadrique 206
BIBLIOGRAPHIE 212
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