Lineare Modelle: algebraische Grundlagen und statistische Anwendungen
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
München u.a.
Oldenbourg
1994
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| Schriftenreihe: | Lehr- und Handbücher der Statistik
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LINEARE MODELLE
ALGEBRAISCHE GRUNDLAGEN UND
STATISTISCHE ANWENDUNGEN
VON
UNIV.-PROF. DR.-ING. WILHELM CASPARY
UND
UNIV.-PROF. DR. RER. NAT. KLAUS WICHMANN
R. OLDENBOURG VERLAG MUENCHEN WIEN
INHALTSVERZEICHNIS
V
VORWORT XI
1 VEKTOREN UND MATRIZEN 1
1.1 VEKTOREN UND VEKTORRAEUME 1
1.1.1 REELLE VEKTORRAEUME 1
1.1.2 BASIS UND DIMENSION 2
1.1.3 LINEARE ABBILDUNGEN ZWISCHEN VEKTORRAEUMEN 4
1.1.4 EUKLIDISCHE VEKTORRAEUME 4
1.1.5 SUMME UND ZERLEGUNG VON VEKTORRAEUMEN 5
1.1.6 PROJEKTIONEN 8
1.1.7 LINEARE MANNIGFALTIGKEITEN 10
1.2 MATRIZEN 12
1.2.1 ADDITION UND SKALARE MULTIPLIKATION 12
1.2.2
\MATRIZENPRODUKT
13
1.2.3 ^QUADRATISCHE MATRIZEN UND REGULAERE INVERSE 14
1.2.4 RECHENREGELN DER MATRIZENALGEBRA 15
1.2.5 PARTITIONIERUNG IN SUBMATRIZEN 16
1.2.6 DER RANG ALS CHARAKTERISTISCHE MATRIXGROESSE 17
1.2.7 ELEMENTARE UMFORMUNGEN 19
1.2.8 DARSTELLUNG VON LINEAREN ABBILDUNGEN DURCH MATRIZEN 21
1.2.9 AEQUIVALENZ- UND ORTHOGONALTRANSFORMATION 23
1.2.10 ZEILENRAUM, SPALTENRAUM UND NULLRAUM 24
1.2.11 DIE MATRIX A
25
1.2.12 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 26
1.2.13 DIE MPB-INVERSE 27
1.2.14 DETERMINANTE UND SPUR EINER QUADRATISCHEN MATRIX 29
1.2.15 DIE NEUMANNSCHE REIHE 32
1.3 EIGENWERTE UND MATRDCZERLEGUNGEN 34
1.3.1 SPEZIELLES EIGENWERTPROBLEM 34
1.3.2 ALGEBRAISCHE UND GEOMETRISCHE VIELFACHHEIT 35
1.3.3 EIGENWERTE RATIONALER MATRIXFUNKTIONEN 36
1.3.4 INVARIANZ DER EIGENWERTE BEI AEHNLICHKEITSTRANSFORMATIONEN 37
1.3.5 EIGENWERTE SYMMETRISCHER MATRIZEN 39
1.3.6 SPEKTRALZERLEGUNG 40
1.3.7 VERALLGEMEINERTES EIGENWERTPROBLEM 41
1.3.8 KANONISCHE FORM UND NORMALFORM 41
1.3.9 LR-ZERLEGUNG 42
1.3.10 SINGULAERWERTZERLEGUNG 43
1.3.11 CHOLESKY-ZERLEGUNG 45
1.4 QUADRATISCHE FORMEN
1.4.1 NICHTNEGATIV DEFINITE QUADRATISCHE FORMEN
1.4.2 HAUPTACHSENTRANSFORMATION DEFINITER MATRIZEN
1.4.3 EIGENWERTE NICHTNEGATIV DEFINITER MATRIZEN
1.4.4 ZERLEGUNG QUADRATISCHER FORMEN
1.4.5 BEDINGUNGEN FUER DIE ELEMENTE DEFINITER MATRIZEN
1.4.6 ABSCHAETZUNG DER EIGENWERTE SYMMETRISCHER MATRIZEN
1.4.7 ZERLEGUNG DER SPALTENRAEUME VON SUMMEN UND PRODUKTEN
1.5 VEKTOR- UND MATRIXNORMEN
1.5.1 NORMIERTE VEKTORRAEUME
1.5.2 KOMPATIBILITAET VON MATRIXNORMEN MIT VEKTORNORMEN
1.5.3 EIGENSCHAFTEN UND ANWENDUNGEN VON NORMEN
1.5.4 KONDITION EINER MATRIX
1.6 PROJEKTIONEN
1.6.1 PROJEKTIONSEIGENSCHAFT IDEMPOTENTER MATRIZEN
1.6.2 VORGEGEBENE PROJEKTIONSRICHTUNGEN
1.6.3 M-ORTHOGONALE PROJEKTIONEN
1.6.4 ABSTANDSMINIMIERUNG IN SEMINORMIERTEN RAEUMEN
1.6.5 Q- UND Q
_1
-ORTHOGONALE PROJEKTIONEN IM
M
1.7 DIFFERENTIATION VON MATRIZEN
2 INVERSE MATRIZEN
2.1 INVERSEN REGULAERER MATRIZEN
2.1.1 INVERSEN VON PARTITIONIERTEN MATRIZEN
2.1.2 LINKS- UND RECHTSINVERSE
2.2 DIE ALLGEMEINE INVERSE
2.2.1 DEFINITION UND RANGEIGENSCHAFTEN
2.2.2 G-INVERSE BEI VORGEGEBENER LR-ZERLEGUNG
2.2.3 UNBESTIMMTHEIT GENERALISIERTER INVERSEN
2.2.4 EINFACHE FORM EINER G-INVERSEN
2.2.5 REFLEXIVE G-INVERSE
2.2.6 GESAMTHEIT DER G-INVERSEN
2.2.7 PROJEKTOREN
2.2.8 RECHENREGELN
2.2.9 PROJEKTIONEN AUF SPALTENRAEUME BELIEBIGER MATRIZEN
2.2.10 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
2.2.11 GLEICHUNGSSYSTEME MIT MATRIZEN ALS UNBEKANNTEN
2.3 G-INVERSEN NICHTNEGATIV DEFINITER MATRIZEN
2.3.1 INVARIANZ BEZUEGLICH DER WAHL DER G-INVERSEN
2.3.2 PROJEKTOREN IN SEMINORMIERTEN SPALTENRAEUMEN
2.3.3 NICHTNEGATIV DEFINITE G-INVERSEN
VII
G-INVERSEN VON SUMMEN NICHTNEGATIV DEFINITER MATRIZEN 99
DIE MKQ-TNVERSE (METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE) 105
NORMALGLEICHUNGEN FUER INKONSISTENTE GLEICHUNGSSYSTEME 105
EXISTENZ DER MKQ-INVERSEN 105
MENGE ALLER MKQ-INVERSEN 107
MKQ-LOESUNGEN INKONSISTENTER GLEICHUNGSSYSTEME 108
REFLEXIVE MKQ-INVERSEN 109
DIE MNX-INVERSE (MINIMALE EI-NORM VON I) 112
EXISTENZ UND EIGENSCHAFTEN VON MNX-INVERSEN 112
LAGRANGE-MULTIPLIKATORENMETHODE 113
MENGE ALLER MNX-INVERSEN EINER MXN-MATRIX 114
REFLEXIVE MNX-INVERSEN 115
ZUSAMMENHANG ZWISCHEN MKQ- UND MNX-INVERSEN 117
DIE MPB-INVERSE (MOORE-EENROSE-BJERHAMMAR-INVERSE) 119
DEFINITION UND BEDINGUNGSGLEICHUNGEN 119
DARSTELLUNGEN FUER A + 120
DIE PSEUDOINVERSE A
+
122
G-INVERSEN PARTTTIONIERTER MATRIZEN 127
LX2-PARTITIONIERUNG 127
NICHTNEGATIV DEFINITE 2X2-PARTITIONEN 129
2X2-PARTITIONEN (M
IK
) MIT M
22
=0 131
BERECHNUNG VON A
+
DURCH SUKZESSIVE PARTITIONIERUNG 137
LITERATUR 139
BERECHNUNG VON MPB-INVERSEN 142
VORBETRACHTUNGEN ZU NUMERIK , KONDITION UND RANG 142
SCHLECHT KONDITIONIERTE GLEICHUNGSSYSTEME 143
STOERUNGEN UND RUNDUNGSFEHLER 145
GAUSSSCHE ELIMINATION 148
HOUSEHOLDER TRANSFORMATION 151
GRAM - SCHMIDT - ORTHOGONALISIERUNG 156
SINGULAERWERT - ZERLEGUNG 159
REGULARISFFIRUNG DURCH RAENDERN 161
REGULARISIERUNG DES PRODUKTES A'A 164
INVERSION EINER REGULAEREN BLOCKMATPJX 169
REKURSRVE BERECHNUNG VONA+ 171
LITERATUR 172
4
STATISTISCHE GRUNDLAGEN
175
4.1 NORMALVERTEILTE ZUFALLSVEKTOREN 175
4.1.1 WAHRSCHEINLICHKEITSDICHTE UND VERTEILUNGSFUNKTION 175
4.1.2 RECHENREGELN FUER DIE ERWARTUNGSWERTBILDUNG 179
4.1.3 N-DIMENSIONALE NORMALVERTEILUNG 180
4.1.4 TESTVERTEILUNGEN 184
4.2 DIE SINGULARE NORMALVERTEILUNG 188
4.3 VERTEILUNG QUADRATISCHER FORMEN 191
4.3.1 ERWARTUNGSWERT UND SPUR QUADRATISCHER FORMEN 191
4.3.2 CHI-QUADRAT VERTEILUNGEN QUADRATISCHER FORMEN 192
4.3.3 STOCHASTISCHE UNABHAENGIGKEIT QUADRATISCHER FORMEN 194
LITERATUR 196
5 LINEARE MODELLE 198
5.1 DAS GAUSS-MARKOV MODELL 199
5.1.1 MODELLDEFINITION 199
5.1.2 DER BEOBACHTUNGS- UND DER FEHLERRAUM 201
5.2 GAUSS-MARKOV MODELL MIT RESTRIKTIONEN 203
5.3 MODELLE MIT ZUFALLSPARAMETERN / 205
5.4 DAS STOCHASTISCHE MODELL 208
5.5 MODELLTRANSFORMATIONEN 211
5.5.1 HOMOGENISIERUNG DES MODELLS 211
5.5.2 AEQUIVALENZ DES QSLM ZUM BRLM 213
5.6 SCHAETZBARE FUNKTIONEN IN LINEAREN MODELLEN 215
5.6.1 SCHAETZBARKEIT DES PARAMETERVEKTORS 215
5.6.2 SCHAETZBARE LINEARFORMEN DER PARAMETER 216
5.6.3 CHARAKTERISIERUNG VON SCHAETZERN MINIMALER VARIANZ 218
5.7 DIE LINEARE HYPOTHESE 222
5.7.1 TESTBARE HYPOTHESEN IN LINEAREN MODELLEN 222
5.7.2 DIE NORMALE LINEARE HYPOTHESE 224
5.7.3 QUADRATISCHE FORMEN BEI RICHTIGER HYPOTHESE 226
LITERATUR 227
6 MODELLE MIT REGULAERER VARIANZ - KOVARIANZ MATFJX Z 231
6.1 SCHAETZBARE LINEARFORMEN 233
6.1.1 CHARAKTERISIERUNG SCHAETZBARER LINEARFORMEN 233
6.1.2 SCHAETZBARKEIT LINEARER TRANSFORMATIONEN 236
6.1.3 SCHAETZEN DES PARAMETERVEKTORS 237
IX
6.1.4 RESTRIKTIONEN ZUR SCHAETZUNG DER PARAMETER IM ASLM 238
6.1.5 REFERENZSYSTEM FUER DIE PARAMETERSCHAETZUNG 241
6.1.6 SCHAETZUNG DER MODELLKOMPONENTEN 243
6.1.7 LINEARFORMEN MIT VERSCHWINDENDEM ERWARTUNGSWERT 246
6.2 SCHAETZUNG DES VARIANZFAKTORS 248
6.2.1 ERWARTUNGSTREUE SCHAETZER DES VARIANZFAKTORS 248
6.2.2 OPTIMALE SCHAETZUNG DES VARIANZFAKTORS 249
6.3
6.3.1
6.3.2
6.3.3
6.3.4
6.3.5
6.3.6
6.3.7
6.3.8
6.4
6.4.1
6.4.2
6.4.3
6.4.4
MODELLE MIT RESTRIKTIONEN
SCHAETZBARE LINEARFORMEN
REPARAMETRISIERUNG
SEPARIERUNG DER RESTRIKTIONEN
AEUSSERE RESTRIKTIONEN IM BASLM
INNERE RESTRIKTIONEN
INNERE UND AEUSSERE RESTRIKTIONEN
SCHAETZUNG DER MODELLKOMPONENTEN
VARIANZFAKTOR IM MODELL MIT RESTRIKTIONEN
HYPOTHESENTESTS BEI REGULAERER VKM X
SCHAETZUNG BEI LINEARER HYPOTHESE
TESTSTATISTIK FUER DIE NORMALE LINEARE HYPOTHESE
PROJEKTIONSDARSTELLUNG
LINEARE HYPOTHESE IN MODELLEN MIT RESTRIKTIONEN
253
253
259
262
265
269
273
277
282
286
286
289
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295
7
7.1
7.1.1
7.1.2
7.1.3
7.1.4
7.2
7.2.1
7.2.2
7.2.3
7.2.4
7.2.5
7.2.6
7.2.7
7.3
7.4
7.4.1
7.4.2
MODELLE MIT SINGULARER VARIANZ -KOVARIANZ- MATRIX E
ANALYSE DES MODELLRAUMES
DIE MODELLRAUMMATRIX
DARSTELLUNGEN DES MODELLRAUMES
T~-ORTHOGONALE ZERLEGUNG DES MODELLRAUMES
T~ -ORTHOGONALE PROJEKTOREN IM MODELLRAUM
SCHAETZBARE LINEARFORMEN
HERLEITUNG DES SCHAETZERS NACH DER LAGRANGESCHEN METHODE
CHARAKTERISIERUNG LINEARER SCHAETZER
PROJEKTIONSDARSTELLUNG DES SCHAETZERS
LINEARE PARAMETERTRANSFORMATIONEN
SCHAETZUNG DES PARAMETERVEKTORS
DIE METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE
SCHAETZER DER MODELLKOMPONENTEN
SCHAETZUNG DES VARIANZFAKTORS
RESTRIKTIONEN
DER PARAMETERRAUM
SCHAETZBARE FUNKTIONEN
300
300
301
301
303
305
311
311
313
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316
320
326
331
336
336
339
REPARAMETRISIERUNG 343
AEUSSERE UND INNERE RESTRIKTIONEN 345
SCHAETZUNG DER MODELLKOMPONENTEN 352
QUADRATISCHE FORM UND VARIANZFAKTOR 357
TEST LINEARER HYPOTHESEN BEI SINGULAERER VKM 362
SCHAETZUNG BEI LINEARER HYPOTHESE 362
TESTSTATISTIKEN BEI SINGULAERER VKM 366
GEOMETRISCHE DEUTUNG DER LINEAREN HYPOTHESE \ 367
LITERATUR (ZU 6 UND 7) 369
MONOGRAPHIEN UND LEHRBUECHER 371
SACHWORTVERZEICHNIS 374
USTE VON SYMBOLEN UND ABKUERZUNGEN
380 |
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