Differential- und Integralrechnung: 3
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin
Dt. Verl. d. Wiss.
1992
|
| Ausgabe: | 12., berichtigte Aufl. |
| Schriftenreihe: | Hochschulbücher für Mathematik
63 |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | 564 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3817112807 9783817112807 |
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INHALT
XV. KURVENINTEGRALE.
DAS STIELTJESSCHE
INTEGRAL . 13
§ 1. KURVENINTEGRALE ERSTER ART. 13
543. DEFINITION DES KURVENINTEGRALS ERSTER ART. 13
544. ZURUECKFUEHRUNG AUF DAS GEWOEHNLICHE BESTIMMTE INTEGRAL. 15
545. BEISPIELE. 10
§ 2. KURVENINTEGRALE ZWEITER ART. 21
546. DEFINITION DES KURVENINTEGRALS ZWEITER ART. 21
547. EXISTENZ UND BERECHNUNG EINES KURVENINTEGRALS ZWEITER ART. . . 23
548. DER FALL EINER GESCHLOSSENEN KURVE. DIE ORIENTIERUNG DER EBENE . 25
549. BEISPIELE. 27
550. APPROXIMATION MIT HILFE EINES INTEGRALS UEBER EINEN STRECKENZUG . 30
551. BERECHNUNG VON FLAECHENINHALTEN MIT HILFE VON KURVENINTEGRALEN . 31
552. BEISPIELE. 34
553. DER ZUSAMMENHANG ZWISCHEN DEN KURVENINTEGRALEN BEIDER ARTEN . 38
554. PHYSIKALISCHE AUFGABEN. 39
§ 3. BEDINGUNGEN FUER DIE UNABHAENGIGKEIT DES KURVENINTEGRALS VOM WEG 44
555. PROBLEMSTELLUNG. ZUSAMMENHANG MIT DEM TOTALEN DIFFERENTIAL . 44
556. DIFFERENTIATION EINES INTEGRALS, DAS NICHT VOM WEG ABHAENGT . 45
557. BERECHNUNG EINES KURVENINTEGRALS MIT HILFE EINER STAMMFUNKTION . 47
558. EIN KRITERIUM FUER DIE VOLLSTAENDIGKEIT DES DIFFERENTIALS. DAS
AUFFIN
DEN EINER STAMMFUNKTION IM FALL EINES RECHTECKIGEN BEREICHS . . 48
559. VERALLGEMEINERUNG AUF BELIEBIGE BEREICHE. 50
560. ZUSAMMENFASSUNG. 52
561. INTEGRALE UEBER EINE GESCHLOSSENE KURVE. 52
562. MEHRFACH ZUSAMMENHAENGENDE BEREICHE. SINGULAERE PUNKTE . 54
563. DAS GAUSSSCHE INTEGRAL . 58
564. DER DREIDIMENSIONALE FALL . 61
565. BEISPIELE. 63
566. ANWENDUNG AUF PHYSIKALISCHE AUFGABEN. 67
§ 4. FUNKTIONEN ENDLICHER SCHWANKUNG. 69
567. DEFINITION DER FUNKTIONEN ENDLICHER SCHWANKUNG . 69
568. DIE KLASSEN DER FUNKTIONEN ENDLICHER SCHWANKUNG. 71
569. EIGENSCHAFTEN DER FUNKTIONEN ENDLICHER SCHWANKUNG. 73
570. KRITERIEN FUER FUNKTIONEN ENDLICHER SCHWANKUNG . 76
571. STETIGE FUNKTIONEN ENDLICHER SCHWANKUNG. 77
572. REKTIFIZIERBARE KURVEN . 79
BIBLIOGRAFISCHE INFORMATIONEN
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6
INHALT
§ 6. DAS STIELTJESSCHE INTEGRAL. 81
573. DEFINITION DES STIELTJESSCHEN INTEGRALS. 81
574. ALLGEMEINE BEDINGUNGEN FUER DIE EXISTENZ DES STIELTJESSCHEN INTE
GRALS . 82
575. KLASSEN VON FAELLEN, IN DENEN DAS STIELTJESSCHE INTEGRAL EXISTIERT .
83
576. EIGENSCHAFTEN DES STIELTJESSCHEN INTEGRALS. 86
577. PARTIELLE INTEGRATION. 87
578. ZURUECKFUEHRUNG EINES STIELTJESSCHEN INTEGRALS AUF EIN RIEMANNSCHES
INTEGRAL. 88
579. BERECHNUNG STIELTJESSCHER INTEGRALE. 90
580. BEISPIELE. 93
581. GEOMETRISCHE VERANSCHAULICHUNG DES STIELTJESSCHEN INTEGRALS . . 98
582. DER MITTELWERTSATZ. ABSCHAETZUNGEN. 99
583. GRENZUEBERGANG UNTER DEM INTEGRALZEICHEN BEIM STIELTJESSCHEN
INTEGRAL.100
584. BEISPIELE UND ERGAENZUNGEN .102
585. ZURUECKFUEHRUNG EINES KURVENINTEGRALS ZWEITER ART AUF EIN STIELTJES-
SCHES INTEGRAL.105
XVI. FLAECHENINTEGRALE
§ 1. DEFINITION UND EINFACHSTE EIGENSCHAFTEN VON FLAECHENINTEGRALEN .
107
586. DAS VOLUMEN EINES ZYLINDRISCHEN KOERPERS .107
587. ZURUECKFUEHRUNG DES FLAECHENINTEGRALS AUF EIN DOPPELINTEGRAL . 108
588. DEFINITION DES FLAECHENINTEGRALS.110
589. EXISTENZBEDINGUNGEN FUER DAS FLAECHENINTEGRAL.111
590. KLASSEN INTEGRIERBARER FUNKTIONEN.113
591. UNTERE UND OBERE INTEGRALE ALS GRENZWERTE. 115
592. EIGENSCHAFTEN VON INTEGRIERBAREN FUNKTIONEN UND VON FLAECHEN
INTEGRALEN . 116
593. DAS INTEGRAL ALS ADDITIVE FUNKTION DES BEREICHS; DIFFERENTIATION
NACH DEM BEREICH.118
§2. BERECHNUNG VON FLAECHENINTEGRALEN.121
594. DIE ZURUECKFUEHRUNG DES FLAECHENINTEGRALS AUF EIN DOPPELINTEGRAL IM
FALL EINES RECHTECKS. 121
595. BEISPIELE.124
596. ZURUECKFUEHRUNG EINES FLAECHENINTEGRALS AUF EIN DOPPELINTEGRAL IM
FALL EINES KRUMMLINIG BEGRENZTEN GEBIETS .131
597. BEISPIELE.134
598. ANWENDUNGEN IN DER MECHANIK.145
599. BEISPIELE.147
§3. DER GAUSSSCHE INTEGRALSATZ. 154
600. HERLEITUNG DES GAUSSSCHEN SATZES.154
601. DIE ANWENDUNG DES GAUSSSCHEN SATZES BEI DER UNTERSUCHUNG VON
KURVENINTEGRALEN.157
602. BEISPIELE UND ERGAENZUNGEN.153
5 4. VARIABLENTRANSFORMATION IN FLAECHENINTEGRALEN.161
603. TRANSFORMATION EBENER GEBIETE.161
604. BEISPIELE.164
INHALT
7
605. DER FLAECHENINHALT IN KRUMMLINIGEN KOORDINATEN.168
606. ERGAENZENDE BEMERKUNGEN.171
607. GEOMETRISCHE HERLEITUNG.172
608. BEISPIELE.174
609. VARIABLENTRANSFORMATION IN FLAECHENINTEGRALEN.182
610. DIE ANALOGIE ZU EINFACHEN INTEGRALEN. DAS INTEGRAL UEBER EIN ORIEN
TIERTES GEBIET. 184
611. BEISPIELE.185
§5. UNEIGENTLICHE FLAECHENINTEGRALE.192
612. INTEGRALE UEBER EIN UNBESCHRAENKTES GEBIET.192
613. SATZ UEBER DIE ABSOLUTE KONVERGENZ UNEIGENTLICHER INTEGRALE . . 193
614. DIE ZURUECKFUEHRUNG EINES FLAECHENINTEGRALS AUF EIN ITERIERTES
INTEGRAL 195
615. INTEGRALE UNBESCHRAENKTER FUNKTIONEN.197
616. VARIABLENTRANSFORMATION IN UNEIGENTLICHEN INTEGRALEN.198
617. BEISPIELE.200
XVII. FLAECHENINHALT. OBERFLAECHENINTEGRALE
§ 1. ZWEISEITIGE FLAECHEN .215
618. DIE SEITE EINER FLAECHE.215
619. BEISPIELE.216
620. DIE ORIENTIERUNG VON FLAECHEN UND DIE ORIENTIERUNG DES RAUMES . 218
621. DIE VORZEICHEN WAEHL IN DEN FORMELN FUER DIE RICHTUNGSKOSINUS DER
NORMALEN.219
622. DER FALL STUECKWEISE GLATTER FLAECHEN.221
§ 2. DER FLAECHENINHALT KRUMMER FLAECHEN.222
623. DER SCHWARZSCHE ZYLINDER.222
624. DEFINITION DES INHALTS KRUMMER FLAECHEN.224
625. BEMERKUNG. 225
626. DIE EXISTENZ DES INHALTS EINER FLAECHE UND SEINE BERECHNUNG. . . 226
627. DIE DEFINITION MIT HILFE EINBESCHRIEBENER POLYEDERFLAECHEN . . . 230
628. DEFINITION DES INHALTS IN SINGULAEREN FAELLEN.232
629. BEISPIELE.232
§ 3. OBERFLAECHENINTEGRALE ERSTER ART.244
630. DEFINITION DES OBERFLAECHENINTEGRALS ERSTER ART.244
631. ZURUECKFUEHRUNG AUF EIN GEWOEHNLICHES FLAEOHENINTEGRAL.245
632. ANWENDUNGEN VON OBERFLAEOHENINTEGRALEN ERSTER ART IN DER MECHANIK
247
633. BEISPIELE.248
§ 4. OBERFLAECHENINTEGRALE ZWEITER ART.254
634. DEFINITION DES OBERFLAECHENINTEGRALS ZWEITER ART.254
635. EINFACHSTE SPEZIALFAELLE.256
636. DER ALLGEMEINE FALL.258
637. EINE EINZELHEIT DES BEWEISES.260
638. DAS VOLUMEN EINES KOERPERS ALS OBERFLAECHENINTEGRAL.260
639. DER STOKESSCHE INTEGRALSATZ .264
640. BEISPIELE.266
641. ANWENDUNG DES STOKESSCHEN SATZES AUF DIE UNTERSUCHUNG VON KUR
VENINTEGRALEN IM RAUM.271
S INHALT
XVIII. RAUMINTEGRALE AND MEHRDIMENSIONALE INTEGRALE
§ 1. DAS RAUMINTEGRAL UND SEINE BERECHNUNG .273
642. DAS PROBLEM DER BESTIMMUNG DER MASSE EINES KOERPERS.273
643. DAS RAUMINTEGRAL. BEDINGUNGEN FUER SEINE EXISTENZ.274
644. EIGENSCHAFTEN INTEGRIERBARER FUNKTIONEN UND DREIDIMENSIONALER
INTEGRALE.275
645. DIE BERECHNUNG EINES RAUMINTEGRALS UEBER EIN PARALLELEPIPED . . 276
646. DIE BERECHNUNG EINES RAUMINTEGRALS FUER EIN BELIEBIGES GEBIET . .
278
647. UNEIGENTLICHE RAUMINTEGRALE.279
648. BEISPIELE.280
649. ANWENDUNGEN IN DER MECHANIK.286
650. BEISPIELE.288
§ 2. DER INTEGRALSATZ VON GAUSS-OSTBOGBADSKI.294
651. DER SATZ VON OSTBOGBADSKI.294
652. ANWENDUNG DES SATZES VON OSTBOGBADSKI ZUR UNTERSUCHUNG VON
OBERFLAECHENINTEGRALEN.296
653. DAS GAUSSSCHE INTEGRAL.297
654. BEISPIELE.299
§ 3. VARIABLENTRANSFORMATION IN RAUMINTEGRALEN.302
655. ABBILDUNG VON RAEUMEN UND KRUMMLINIGE KOORDINATEN.302
656. BEISPIELE.303
657. EIN AUSDRUCK FUER DAS VOLUMEN IN KRUMMLINIGEN KOORDINATEN . . 305
658. ERGAENZENDE BEMERKUNGEN.307
659. GEOMETRISCHE HERLEITUNG.308
660. BEISPIELE.310
661. VARIABLENTRANSFORMATION IN RAUMINTEGRALEN .316
662. BEISPIELE.318
663. DIE ANZIEHUNGSKRAFT UND DAS POTENTIAL EINES KOERPERS IN EINEM
INNEREN PUNKT.321
§ 4. ELEMENTE DER VEKTORANALYSIS.324
664. SKALARE UND VEKTOREN.324
665. SKALAR* UND VEKTORFELDER.324
666. DER GRADIENT.325
667. DER FLUSS EINES VEKTORS DURCH EINE FLAECHE .327
668. DER SATZ VON OSTBOGBADSKI. DIE DIVERGENZ.328
669. DIE ZIRKULATION EINES VEKTORS. DER STOKESSCHE SATZ. DIE ROTATION .
329
670. SPEZIELLE FELDER.331
671. DAS UMKEHRPROBLEM DER VEKTORANALYSIS.334
672. ANWENDUNGEN .335
$ 5. MEHRDIMENSIONALE INTEGRALE.340
673. DAS PROBLEM DER ANZIEHUNGSKRAFT UND DES POTENTIALS ZWEIER KOERPER
340
674. DAS VOLUMEN EINES N-DIMENSIONALEN KOERPERS. DAS N-DIMENSIONALE
INTEGRAL.342
675. KOORDINATENTRANSFORMATION BEI N-DIMENSIONALEN INTEGRALEN . . . 343
676. BEISPIELE.346
INHALT
9
XIX. FONRIERREIHEN
§ 1. EINFUEHRUNG.364
677. PERIODISCHE GROESSEN UND HARMONISCHE ANALYSE.364
678. DIE BESTIMMUNG DER KOEFFIZIENTEN NACH DER METHODE VON EDLEB-
FOUBIER.366
679. ORTHOGONALE FUNKTIONENSYSTEME.369
680. TRIGONOMETRISCHE INTERPOLATION.372
§ 2. ENTWICKLUNG VON FUNKTIONEN IN FOURIERREIHEN.375
681. PROBLEMSTELLUNG. DIRICHLETSCHES INTEGRAL.375
682. ERSTER FUNDAMENTALHILFSSATZ.377
683. DAS LOKALISATIONSPRINZIP.379
684. DIE KRITERIEN VON DINI UND VON LIPSCHITZ FUER DIE KONVERGENZ VON
FOURIERREIHEN.380
685. ZWEITER FUNDAMENTALHILFSSATZ.383
686. DAS KRITERIUM VON DIRICHDET-JORDAN.384
687. NICHTPERIODISCHE FUNKTIONEN. 386
688. BELIEBIGE INTERVALLE.387
689. ENTWICKLUNGEN IN REINE KOSINUSREIHEN UND REINE SINUSREIHEN . . 388
690. BEISPIELE.391
691. ENTWICKLUNG VON LN I\X).403
§ 3. ERGAENZUNGEN .406
692. REIHEN MIT ABNEHMENDEN KOEFFIZIENTEN.406
693. SUMMATION TRIGONOMETRISCHER REIHEN MIT HILFE ANALYTISCHER FUNK
TIONEN EINER KOMPLEXEN VERAENDERLICHEN.411
694. BEISPIELE.413
695. DIE KOMPLEXE FORM DER FOURIERREIHEN.417
696. DIE KONJUGIERTE REIHE.420
697. MEHRFACHE FOURIER REIHEN.422
§ 4. DER KONVERGENZCHARAKTER VON FOURIERREIHEN.424
698. EINIGE ERGAENZUNGEN ZU DEN FUNDAMENTALHILFSSAETZEN.424
699. KRITERIEN FUER DIE GLEICHMAESSIGE KONVERGENZ VON FOURIERREIHEN . . 426
700. DAS VERHALTEN EINER FOURIERREIHE IN DER NAEHE EINES UNSTETIGKEITS
PUNKTES. EIN SPEZIALFALL.429
701. DER FALL EINER BELIEBIGEN FUNKTION .433
702. SINGULARITAETEN VON FOURIERREIHEN. VORBEREITENDE BEMERKUNGEN . 435
703. DIE KONSTRUKTION VON SINGULARITAETEN.437
§ 5. RESTABSCHAETZUNGEN IN ABHAENGIGKEIT VON
DIFFERENZIERBARKEITSEIGENSCHAF
TEN DER FUNKTION .439
704. DER ZUSAMMENHANG ZWISCHEN DEN FOURIERKOEFFIZIENTEN EINER FUNK
TION UND IHREN ABLEITUNGEN.439
705. EINE ABSCHAETZUNG FUER DIE PARTIALSUMME IM FALL EINER BESCHRAENK
TEN FUNKTION.440
706. EINE ABSCHAETZUNG DES RESTES FUER EINE FUNKTION MIT BESCHRAENKTER
A:-TER ABLEITUNG.441
707. FUNKTIONEN, DEREN K-TE ABLEITUNG VON ENDLICHER SCHWANKUNG IST . 443
708. EINFLUSS VON UNSTETIGKEITEN DER FUNKTION UND IHRER ABLEITUNGEN AUF
DIE ORDNUNG DES KLEINERWERDENS DER FOURIERKOEFFIZIENTEN . . . 444
10
INHALT
709. FUNKTIONEN, DIE IN [0, TT] GEGEBEN SIND.448
710. DIE METHODE DER ABTRENNUNG DER SINGULARITAETEN.450
§ 6. DAS FOURIERINTEGRAL .456
711. DAS FOURIERINTEGRAL ALS GRENZFALL DER FOURIERREIHE.456
712. VORBEREITENDE BEMERKUNGEN.458
713. HINREICHENDE KRITERIEN.459
714. MODIFIKATION DER GRUNDVORAUSSETZUNG. 460
715. VERSCHIEDENE FORMEN DER FOURIERSCHEN FORMEL. 462
716. DIE FOURIERTRANSFORMATION. 464
717. EINIGE EIGENSCHAFTEN DER FOURIERTRANSFORMIERTEN .466
718. BEISPIELE UND ERGAENZUNGEN. 467
719. FUNKTIONEN ZWEIER VERAENDERLICHER.473
§ 7. ANWENDUNGEN.474
720. DIE ABHAENGIGKEIT DER EXZENTRISCHEN ANOMALIE EINES PLANETEN VON
SEINER MITTLEREN ANOMALIE.474
721. DAS PROBLEM DER SCHWINGENDEN SAITE.476
722. DAS PROBLEM DER WAERMEAUSBREITUNG IN EINEM ENDLICHEN STAB . . 480
723. DER FALL EINES UNENDLICHEN STABES.483
724. MODIFIKATION DER RANDBEDINGUNGEN.485
725. DIE WAERMEAUSBREITUNG IN EINER KREISFOERMIGEN PLATTE.486
726. PRAXIS DER HARMONISCHEN ANALYSE. EIN SCHEMA FUER 12 ORDINATEN . 487
727. BEISPIELE.490
728. EIN SCHEMA FUER 24 ORDINATEN.492
729. BEISPIELE.493
730. VERGLEICH DER ANGENAEHERTEN UND DER EXAKTEN WERTE DER FOURIER
KOEFFIZIENTEN .494
XX. FOURIERREIHEN (FORTSETZUNG)
§ 1. DAS RECHNEN MIT FOURIERREIHEN. ABGESCHLOSSENHEIT UND
VOLLSTAENDIGKEIT 497
731. GLIEDWEISE INTEGRATION EINER FOURIERREIHE.497
732. GLIEDWEISE DIFFERENTIATION EINER FOURIERREIHE.499
733. DIE ABGESCHLOSSENHEIT DES TRIGONOMETRISCHEN SYSTEMS.500
734. DIE GLEICHMAESSIGE APPROXIMATION VON FUNKTIONEN. DIE SAETZE VON
WEIERSTRASS.501
735. APPROXIMATION IM MITTEL. EXTREMALEIGENSCHAFTEN DER ABSCHNITTE
EINER FOURIERREIHE.504
736. DIE VOLLSTAENDIGKEIT DES TRIGONOMETRISCHEN SYSTEMS. SATZ VON
LJAPUNOFF. 506
737. DIE VERALLGEMEINERTE PARSEVALSCHE GLEICHUNG .509
738. MULTIPLIKATION VON FOURIERREIHEN.511
739. EINIGE ANWENDUNGEN DER VOLLSTAENDIGKEITSRELATION.512
§ 2. ANWENDUNG VERALLGEMEINERTER SUMMATIONSMETHODEN AUF FOURIERREIHEN .
516
740. EIN HILFSSATZ.516
741. DIE SUMMATION VON FOURIERREIHEN NACH DEM POISSON-ABELSCHEN
VERFAHREN.518
742. LOESUNG DES DIRICHLETSCHEN PROBLEMS FUER DEN KREIS.520
743. SUMMIERUNG VON FOURIERREIHEN NACH DEM CESAERO-FEJOERSCHEN VER
FAHREN .522
INHALT
11
744. EINIGE ANWENDUNGEN DER VERALLGEMEINERTEN SUMMATION VON
FOURIERREIHEN.524
745. GLIEDWEISE DIFFERENTIATION VON FOURIERREIHEN.526
§ 3. DIE EINDEUTIGKEIT DER TRIGONOMETRISCHEN REIHENENTWICKLUNG EINER
FUNK
TION .527
746. HILFSSAETZE UEBER VERALLGEMEINERTE ABLEITUNGEN.527
747. DAS RIEMANNSCHE SUMMATIONSVERFAHREN FUER TRIGONOMETRISCHE
REIHEN.530
748. EIN HILFSSATZ UEBER DIE KOEFFIZIENTEN KONVERGENTER TRIGONOMETRI
SCHER REIHEN.533
749. DIE EINDEUTIGKEIT DER TRIGONOMETRISCHEN ENTWICKLUNG.534
750. ABSCHLIESSENDE SAETZE UEBER FOURIERREIHEN.535
751. VERALLGEMEINERUNG.538
ANHANG. DER ALLGEMEINE GESICHTSPUNKT BEIM LIMESBEGRIFF
752. DIE VERSCHIEDENEN ARTEN DES GRENZWERTES, DIE IN DER ANALYSIS VOR
KOMMEN .541
753. (TOTAL-) GEORDNETE MENGEN.542
754. HALBGEORDNETE MENGEN.543
755. GEORDNETE VERAENDERLICHE UND IHR GRENZWERT .545
756. BEISPIELE.546
757. BEMERKUNG ZUM GRENZWERT EINER FUNKTION.549
758. ERWEITERUNG DER THEORIE DER GRENZWERTE.549
759. GLEICHGEORDNETE VERAENDERLICHE .552
760. ORDNUNG MIT HILFE VON ZAHLENPARAMETERN.553
761. ZURUECKFUEHRUNG AUF DISKRETE VERAENDERLICHE.554
762. OBERER UND UNTERER LIMES EINER GEORDNETEN VERAENDERLICHEN . . . 556
NAMEN* UND SACHVERZEICHNIS.558 |
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