Verfügbarkeit: Differential- und Integralrechnung

Differential- und Integralrechnung: 2

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Bibliographische Detailangaben
1. Verfasser:	Fichtengolʹc, Grigorij M. 1888-1959 (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	German
Veröffentlicht:	Berlin Dt. Verl. d. Wiss. 1990
Ausgabe:	10. Aufl.
Schriftenreihe:	Hochschulbücher für Mathematik 62
Schlagworte:	Differentialrechnung Integralrechnung Funktion > Mathematik Infinitesimalrechnung
Online-Zugang:	Inhaltsverzeichnis
Beschreibung:	732 S. graph. Darst.
ISBN:	3817112793 3326003994 9783817112791

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adam_text	Inhalt Die Stammîunktion (Das unbestimmte Integral) Das unbestimmte Integral und die einfachsten Verfahren zu seiner Berechnung 13 263. Der Begriff der Stammfunktion (und des unbestimmten Integrals) ... 13 264. Das Integral und die Bestimmung des Flächeninhalts......... 16 266. Tabelle der Grundintegrale..................... 18 266. Die einfachsten Integrationsregeln................. 19 267. Beispiele............................. 20 268. Integration durch Substitution der Veränderlichen.......... 24 269. Beispiele............................. 27 270. Partielle Integration........................ 31 271. Beispiele............................. 32 Die Integration rationaler Ausdrücke.................. 35 272. Problemstellung der Integration in geschlossener Form........ 36 273. Partialbrüche und ihre Integration................. 36 274. Die Zerlegung von echten Brüchen in Partialbrüche.......... 38 276. Bestimmung der Koeffizienten. Die Integration von Partialbrüchen ... 41 276. Abtrennung des rationalen Teils eines Integrals............ 42 277. Beispiele............................. 46 Integration von Wurzelausdrücken................... 48 ( ( ι . p x> l/—-^4· Beispiele ... 48 ]/ yx + ô/ 279. Integration von binomischen Differentialen. Beispiele......... 49 280. Rekursionsformeln........................ 61 281. Integration von Ausdrücken der Form Β (χ, у ем;2 + Ъх + с). Die Eulerschen Substitutionen.......................... 54 282. Geometrische Behandlung der Eulerschen Substitutionen....... 66 283. Beispiele............................. 57 284. Andere Verfahren zur Berechnung eines Integrals der Gestalt (4) .... 62 286. Beispiele............................. 68 Integration von trigonometrischen Funktionen und Exponentialfunktionen . . 70 286. Integration von Ausdrücken der Form iž(sin x, cos χ) dx ....... 70 287. Integration von Ausdrücken der Form sin χ cos*1 x .......... 72 288. Beispiele............................. 74 289. Überblicke über die anderen Fälle................. 78 Elliptische Integrale........................... 79 290. Allgemeine Bemerkungen und Definitionen.............. 79 291. Hilfstransformationen....................... 81 292. Reduktion auf die Normalform................... 83 293. Elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Gattung........ 86 Das bestimmte Integrai Definition und Bedingungen für die Existenz des bestimmten Integrals .... 89 294. Ein anderer Weg zur Bestimmung des Flächeninhalts......... 89 295. Definition............................ 90 296. Die Darbouxschen Summen.................... 92 297. Bedingung für die Existenz des bestimmten Integrals......... 94 298. Klassen integrierbarer Punktionen................. 96 299. Eigenschaften integrierbarer Punktionen............... 97 300. Beispiele und Ergänzungen.................... 98 301. Das untere und das obere Integral als Grenzwert........... 100 Eigenschaften der bestimmten Integrale................. 101 302. Das Integral über ein orientiertes Intervall.............. 101 303. Eigenschaften, die sich in Gleichungen ausdrücken.......... 102 304. Eigenschaften, die sich in Ungleichungen ausdrücken......... 103 306. Das bestimmte Integral als Punktion der oberen Grenze....... . 107 306. Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung............ 109 Berechnung und Darstellung bestimmter Integrale............. 111 307. Berechnung mit Hilfe der Integralsummen.............. 111 308. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung......... 115 309. Beispiele. ............................ 116 310. Eine andere Herleitung des Hauptsatzes der Differential- und Integral¬ rechnung ............................ 119 311. Bekursionsformeln........................ 120 312. Beispiele............................. 121 313. Die Substitution der Veränderlichen im bestimmten Integral...... 124 314. Beispiele............................. 125 315. Die Gaußsche Formel. Die Landensche Transformation ......... 131 316. Eine andere Herleitung der Pormel für die Substitution der Veränder¬ lichen ;.............................133 Einige Anwendungen der bestimmten Integrale.............. 135 317. Die Wallissche Pormel....................... 135 318. Die Taylorsche Pormel mit Eestglied................ 135 319. Die Transzendenz der Zahl e .................... 136 320. Die Legendreschen Polynome................... 138 321. Ungleichungen zwischen Integralen................. 140 Näherungsweise Berechnung von Integralen............... 142 322. Problemstellung. Eechteckformel und Trapezformel.......... 142 323. Parabolische Interpolation..................... 145 324. Die Zerlegung des Integrationsintervalls............... 147 325. Der Fehler bei der Bechteckformel................. 148 326. Der Fehler bei der Trapezformel.................. 150 327. Der Fehler bei der Simpsonschen Eegel............... 151 328. Beispiele............................. 152 Anwendungen der Integralrechnung in Geometrie, Mechanik und Physik Die Länge einer Kurve......................... 167 329. Berechnung der Länge einer Kurve................. 157 330. Ein anderer Weg zur Definition und zur Berechnung der Länge einer Kurve............................. 159 331. Beispiele............................. 161 332. Die natürliche Gleichung einer ebenen Kurve............. 168 333. Beispiele............................. 170 334. Die Bogenlänge einer Raumkurve.................. 173 Flächeninhalte und Volumina...................... 174 335. Definition des Flächeninhalts und seine Additivität.......... 174 336. Der Flächeninhalt als Grenzwert.................. 175 337. Klassen quadrierbarer Gebiete................... 177 338. Die Darstellung des Flächeninhalts durch ein Integral......... 178 339. Beispiele............................. 181 340. Definition des Volumens. Seine Eigenschaften............ 188 341. Die Klassen der Körper, die ein Volumen besitzen.......... 189 342. Die Berechnung des Volumens mit Hilfe eines Integrals........ 191 343. Beispiele............................. 194 344. Der Inhalt einer Eotationsfläche.................. 199 346. Beispiele............................. 202 346. Der Inhalt einer Zylinderfläche................... 204 347. Beispiele............................. 205 Die Berechnung mechanischer und physikalischer Größen ......... 208 348. Die Anwendung des bestimmten Integrals.............. 208 349. Die Berechnung des statischen Moments und des Schwerpunktes einer mit Masse belegten Kurve....................... 211 360. Beispiele............................. 213 351. Berechnung des statischen Moments und des Schwerpunktes einer ebenen Figur.............................. 214 352. Beispiele............................. 216 353. Der Begriff der mechanischen Arbeit................ 217 354. Beispiele............................. 218 365. Die Arbeit der Reibungskraft in einem flachen Zapfen......... 220 366. Aufgaben zur Summierung unendlich kleiner Größen......... 223 Die einfachsten Differentialgleichungen................. 228 357. Grundbegriffe. Differentialgleichungen erster Ordnung......... 228 358. Differentialgleichungen ersten Grades. Trennung der Veränderlichen . . . 229 359. Aufgaben............................ 232 360. Bemerkungen zur Aufstellung von Differentialgleichungen ....... 237 361. Aufgaben............................ 238 Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern Einführung.............................. 242 362. Grundbegriffe.......................... 242 363. Beispiele............................. 243 364. Hauptsätze........................... 245 Die Konvergenz positiver Beihen ....................247 366. Bedingung für die Konvergenz einer positiven Reihe.........247 366. Vergleichskriterien........................248 367. Beispiele.............................250 368. Das Cauchysche und das d Alembertsche Kriterium..........264 369. Das Raabesche Kriterium.....................266 370. Beispiele.............................258 371. Das Kummersohe Kriterium....................260 372. Das Gaußsche Kriterium.....................262 373. Das Maclaurin-Cauchysche Integrálkritérium .............264 374. Das Ermakoffsohe Kriterium....................268 376. Ergänzungen...........................270 Die Konvergenz beliebiger Reihen....................276 376. Allgemeine Bedingung für die Konvergenz einer Reihe.........276 377. Die absolute Konvergenz.....................276 378. Beispiele.............................277 379. Die Potenzreihe und ihr Konvergenzbereich.............279 380. Der Konvergenzradius in Abhängigkeit von den Koeffizienten.....280 381. Alternierende Reihen.......................282 382. Beispiele.............................283 383. Die Abelsohe partielle Summation .................285 384. Die Kriterien von Abel und Dibiohlet...............286 386. Beispiele.............................287 Eigenschaften konvergenter Reihen...................291 386. Das Assoziativgesetz....................... 291 387. Die Umordnungseigenschaft absolut konvergenter Reihen....... 293 388. Nicht-absolut konvergente Reihen................. 296 389. Die Multiplikation von Reihen.................... 297 390. Beispiele............................. 300 391. Ein allgemeiner Satz aus der Theorie der Grenzwerte......... 302 392. Weitere Sätze über die Multiplikation von Reihen........... 304 Zweifache Reihen und Doppelreihen...................305 393. Zweifache Reihen......................... 305 394. Doppelreihen........................... 308 395. Beispiele............................. 313 396. Potenzreihen in zwei Veränderliehen. Der Konvergenzbereich...... 320 397. Beispiele............................. 322 398. Mehrfache Reihen........................ 324 Unendliche Produkte.........................324 399. Grundbegriffe.......................... 324 400. Beispiele............................. 325 401. Grundlegende Sätze. Der Zusammenhang mit den unendlichen Reihen. . 327 402. Beispiele............................. 329 Die Entwicklung der elementaren Funktionen...............336 403. Die Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe. Die Taylorsche Reihe..............................336 404. Die Entwicklung der trigonometrischen Funktionen und anderer Funk¬ tionen in eine Potenzreihe.....................338 406. Die logarithmische Reihe.....................340 406. Die Stirlingsehe Formel......................341 407. Die binomische Reihe.......................343 408. Die Zerlegung von Sinus und Kosinus in unendliche Produkte.....346 і 8. Näherungsrechnungen mit Hilfe von Reihen. Reihentransformation.....349 409. Allgemeine Bemerkungen..................... 349 410. Berechnung der Zahl π ...................... 350 411. Berechnung von Logarithmen................... 352 412. Berechnung von Wurzeln..................... 264 413. Die Eulersche Reihentransformation................ 356 414. Beispiele............................ 357 415. Die Kummerche Reihentransformation............... 369 416. Die Markoff sehe Reihentransformation............... 362 • 9. Summierung divergenter Reihen....................364 417. Einführung........................... 364 418. Die Potenzreihenmethode..................... 365 419. Der Taubersche Satz....................... 368 420. Die Methode der arithmetischen Mittel............... 370 421. Die Wechselbeziehung zwischen der Abel-Poissonschen und der Cesàroschen Methode............................. 372 422. Der Hardy-Landausche Satz.................... 373 423. Anwendung der verallgemeinerten Summierung auf die Reihenmulti¬ plikation ............................ 376 424. Andere Methoden zur verallgemeinerten Summierung von Reihen .... 377 425. Beispiele............................. 381 426. Die allgemeine Klasse der linearen und regulären Summierungsmethoden . 384 Ш. Fimktionenfolgen und Funktionenreihen ¡ 1. Gleichmäßige Konvergenz.......................387 427. Einleitende Bemerkungen..................... 387 428. Gleichmäßige und ungleichmäßige Konvergenz............ 388 429. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die gleichmäßige Kon¬ vergenz ............................. 393 430. Kriterien für die gleichmäßige Konvergenz.............. 394 і 2. Eigenschaften der Summe einer Reihe..................397 431. Die Stetigkeit der Summe einer Reihe................397 432. Bemerkung über die quasi-gleichmäßige Konvergenz.........399 433. Gliedweiser Übergang zum Grenzwert................400 434. Gliedweise Integration von Reihen.................401 436. Gliedweise Differentiation von Reihen................404 436. Betrachtung vom Standpunkt der Theorie der Folgen.........406 437. Die Stetigkeit der Summe einer Potenzreihe.............408 438. Integration und. Differentiation von Potenzreihen...........411 3. Anwendungen............................414 439. Beispiele für die Stetigkeit der Summe einer Reihe und für den gliedweisen Übergang zum Grenzwert..................... 414 440. Beispiele für die gliedweise Integration von Reihen.......... 420 441. Beispiele für die gliedweise Differentiation von Reihen......... 430 422. Die Methode der sukzessiven Approximation in der Theorie der impliziten Funktionen...........................435 443. Analytische Definition der trigonometrischen Punktionen.......437 444. Beispiel einer stetigen Funktion ohne Ableitung............440 Ergänzende Ausführungen über Potenzreihen...............442 446. Operationen mit Potenzreihen...................442 446. Substitution einer Reihe in eine andere...............445 447. Beispiele.............................447 448. Division von Potenzreihen.....................451 449. Die Bernoullischen Zahlen. Entwicklungen, in denen sie auftreten . . . 464 460. Das Lösen von Gleichungen mit Hilfe von Reihen...........458 461. Umkehrung von Potenzreihen...................461 452. Die Lagrangesche Reihe......................464 Elementare Funktionen einer komplexen Veränderlichen..........467 463. Komplexe Zahlen......................... 467 464. Die komplexe Zahlenfolge und ihr Grenzwert.............470 465. Funktionen einer komplexen Veränderlichen.............472 466. Potenzreihen............................473 467. Die Exponentialfunktion......................476 458. Die logarithmische Funktion.................... 478 459. Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen .... 480 460. Die Potenzfunktion........................ 483 461. Beispiele............................. 484 Asymptotische Reihen. Die Eulersche Summenformel...........488 462. Beispiele............................. 488 463. Definitionen........................... 490 464. Die grundlegenden Eigenschaften asymptotischer Entwicklungen .... 492 465. Die Herleitung der Eulerschen Summenformel............ 496 466. Untersuchung des Restgliedes................... 498 467. Beispiele für die Anwendung der Eulerschen Summenformel...... 500 468. Eine andere Gestalt der Eulerschen Summenformel.......... 503 469. Stirlingsche Formel und Stirlingsche Reihe.............. 505 Ulieigentliche Integrale Uneigentliche Integrale mit unendlichen Grenzen.............507 470. Definition des Integrals mit unendlichen Grenzen........... 507 471. Anwendung des Hauptsatzes der Differential-und Integralrechnung. . . 609 472. Beispiele............................. 509 473. Die Analogie zu Reihen. Die einfachsten Sätze............ 512 474. Die Konvergenz eines Integrals im Fall einer positiven Funktion .... 513 475. Allgemeine Konvergenzkriterien.................. 515 476. Das Abelsche und das Dirichletsche Kriterium............ 517 477. Zurückführung eines uneigentlichen Integrals auf eine unendliche Reihe . 519 478. Beispiele............................. 522 Uneigentliche Integrale nichtbeschränkter Funktionen...........529 479. Definition des Integrals einer nichtbeschränkten Funktion....... 529 480. Eine Bemerkung über die singulären Stellen............. 532 481. Anwendung des Hauptsatzes der Integralrechnung. Beispiele...... 533 482. Bedingungen und Kriterien für die Existenz eines Integrals...... 534 483. Beispiele............................. 537 484. Die Hauptwerte uneigentlicher Integrale............... 541 485. Eine Bemerkung über verallgemeinerte Werte divergenter Integrale . . . 544 Eigenschaften und Umformung uneigentlicher Integrale.......... 546 486. Die einfachsten Eigenschaften................... 546 487. Mittelwertsätze.......................... 548 488. Partielle Integration bei uneigentlichen Integralen.......... 550 489. Beispiele...................... ....... 550 490. Variablensubstitution in uneigentlichen Integralen.......... 553 491. Beispiele............................. 553 Spezielle Verfahren zur Berechnung uneigentlicher Integrale........ 658 492. Einige bemerkenswerte Integrale.................. 558 493. Berechnung uneigentlicher Integrale mit Hilfe von Integralsummen. Inte¬ grale mit endlichen Grenzen.................... 562 494. Integrale mit unendlichen Grenzen................. 563 495. Die Frullanischen Integrale.................... 567 496. Integrale rationaler Funktionen zwischen unendlichen Grenzen..... 569 497. Beispiele und Übungen...................... 574 Angenäherte Berechnung uneigentlicher Integrale............. 586 498. Integrale mit endlichen Grenzen. Abspaltung der Singularitäten .... 585 499. Beispiele............................. 586 500. Eine Bemerkung zur angenäherten Berechnung „eigentlicher Integrale . 589 501. Angenäherte Berechnung uneigentlicher Integrale mit unendlichen Gren¬ zen ............................... 590 502. Verwendung der asymptotischen Entwicklungen........... 593 Integrale, die топ einem Parameter abhängen Elementare Theorie.......................... 597 503. Aufgabenstellung......................... 597 504. Gleichmäßige Annäherung an die Grenzfunktion........... 597 505. Vertauschung zweier Grenzübergänge................ 600 506. Grenzübergang unter dem Integralzeichen.............. 601 507. Differentiation unter dem Integralzeichen.............. 603 508. Integration unter dem Integralzeichen................ 605 509. Übertragung auf den Fall veränderlicher Integrationsgrenzen...... 606 510. Einführung eines nur von χ abhängigen Faktors........... 608 511. Beispiele............................. 610 512. Einer der vier Gaußschen Beweise für den Fundamentalsatz der Algebra 619 Gleichmäßige Konvergenz....................... 621 513. Die Definition der gleichmäßigen Konvergenz............ 621 514. Ein Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz. Der Zusammenhang mit unendlichen Reihen........................ 622 515. Hinreichende Kriterien für die gleichmäßige Konvergenz........ 623 .616. Ein anderer Fall von gleichmäßiger Konvergenz........... 625 517. Beispiele............................. 627 Die Anwendung der gleichmäßigen Konvergenz.............. 631 518. Grenzübergang unter dem Integralzeichen.............. 631 519. Beispiele............................. 634 12 Inhalt__________-____________________________________________________ 520. Stetigkeit und Differenzierbarkeit eines Integrals bezüglich des Para¬ meters ............................. 646 621. Integration eines Integrals nach dem Parameter........... 649 622. Die Berechnung einiger Integrale.................. 651 623. Beispiele für die Differentiation unter dem Integralzeichen ...... 667 624. Beispiele für die Integration unter dem Integralzeichen........ 666 § 4. ( Ergänzungen............................. 676 626. Der Satz von AkzelI....................... 676 626. Der Grenzübergang unter dem Integralzeichen............ 677 627. Die Differentiation unter dem Integralzeichen............ 680 628. Die Integration unter dem Integralzeichen.............. 681 § 5. Die Eulerschen Integrale........................ 682 529. Das Eulersche Integral erster Gattung................ 682 530. Das Eulersche Integral zweiter Gattung............... 684 531. Die einfachsten Eigenschaften der Gammafunktion.......... 686 532. Die eindeutige Definition der Gammafunktion durch ihre Eigenschaften. 691 533. Eine andere Funktionaleigenschaft der Gammafunktion........ 693 534. Beispiele............................. 694 536. Die logarithmische Ableitung der Gammafunktion........... 700 636. Der Multiplikationssatz für die Gammafunktion..... ¡ ■..... 702 637. Einige Reihenentwicklungen und Produktzerlegungen......... 704 638. Beispiele und Ergänzungen..................... 706 639. Berechnung einiger bestimmter Integrale.............. 711 640. Die Stirlingsche Formel...................... 718 541. Berechnung der Eulerschen Konstanten............... 721 542. Aufstellung von Tafeln für die dekadischen Logarithmen der Gamma¬ funktion............................. 722 Namen- und Sachverzeichnis.......................... 724
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Bestandesangaben von THWS Schweinfurt Zentralbibliothek Lesesaal
Signatur:	2000 SK 400 F445(10)
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