Numerik-Algorithmen mit ANSI-C-Programmen:
Gespeichert in:
| Hauptverfasser: | , , , , |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Mannheim u.a.
BI-Wiss.-Verl.
1993
|
| Schriftenreihe: | Bücher zur numerischen Mathematik
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Literaturangaben |
| Beschreibung: | XXVI, 1113 S. |
| ISBN: | 3411162910 |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Darstellung von Zahlen und Fehleranalyse
Kondition und Stabilität 1
1.1 Definition von Fehlergrößen 1
1.2 Dezimaldarstellung von Zahlen 3
1 .3 Fehlerquellen 6
1.3.1 Eingabefehler 7
1.3.2 Verfahrensfehler 7
1.3.3 Fehlerfortpflanzung und die Kondition
eines Problems : 8
1.3.4 Rechnungsfehler und numerische Stabilität 10
1.4 Zählen von Operationen 12
2 Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen 13
2.1 Aufgabenstellung und Anwendungsempfehlungen 13
2.2 Definitionen und Sätze über Nullstellen 14
2.3 Allgemeines Iterationsverfahren 15
2.3.1 Konstruktionsmethode und Definition 15
2.3.2 Existenz von Lösungen und Eindeutigkeit der Lösung 16
2.3.3 Konvergenz eines Iterationsverfahrens, Fehlerabschätzungen,
Rechnungsfehler 18
2.3.4 Praktische Durchführung 20
2.4 Konvergenzordnung eines Iterationsverfahrens 23
2.4.1 Definition und Sätze 23
2.4.2 Experimentelle Bestimmung der Konvergenzordnung 25
2.5 Newtonsche Verfahren 25
2.5.1 Das Newtonsche Verfahren für einfache Nullstellen 25
2.5.2 Gedämpftes Newton Verfahren 27
XVIII Inhaltsverzeichnis
2.5.3 Das Newtonsche Verfahren für mehrfache Nullstellen.
Das modifizierte Newtonsche Verfahren 28
2.6 Regula Falsi 29
2.6.1 Regula Falsi für einfache Nullstellen 29
2.6.2 Modifizierte Regula Falsi für mehrfache Nullstellen 30
2.6.3 Primitivform der Regula Falsi 30
2.7 Verfahren von Steffensen 31
2.7.1 Das Verfahren von Steffensen für einfache Nullstellen 31
2.7.2 Das modifizierte Steffensen Verfahren für mehrfache
Nullstellen 32
2.8 Einschlußverfahren 32
2.8.1 Das Bisektionsverfahren 33
2.8.2 Das Pegasus Verfahren 34
2.8.3 Das Verfahren von Anderson Björck 35
2.8.4 Die Verfahren von King und Anderson Björck King.
Das Illinois Verfahren 38
2.8.5 Das Zeroin Verfahren 38
2.9 Effizienz der Verfahren und Entscheidungshilfen 39
3 Verfahren zur Lösung algebraischer Gleichungen 41
3.1 Vorbemerkungen 41
3.2 Das Horner Schema 42
3.2.1 Das einfache Horner Schema für reelle Argumentwerte 42
3.2.2 Das einfache Horner Schema für komplexe Argumentwerte ..43
3.2.3 Das vollständige Horner Schema für reelle Argumentwerte . .45
3.2.4 Anwendungen 47
3.3 Methoden zur Bestimmung sämtlicher Lösungen algebraischer
Gleichungen 48
3.3.1 Vorbemerkungen 48
3.3.2 Das Verfahren von Muller 49
3.3.3 Das Verfahren von Bauhuber 52
3.3.4 Das Verfahren von Jenkins und Traub 53
3.3.5 Das Verfahren von Laguerre 54
3.4 Entscheidungshilfen 55
4 Direkte Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme . 57
4.1 Aufgabenstellung 57
4.2 Definitionen und Sätze 58
Inhaltsverzeichnis XIX
4.3 Lösbarkeitsbedingungen für ein lineares Gleichungssystem 64
4.4 Prinzip der direkten Methoden 65
4.5 Der Gauß Algorithmus 66
4.5.1 Gauß Algorithmus mit Spaltenpivotsuche 66
4.5.2 Pivotsuche 70
4.5.3 Gauß Algorithmus als Dreieckszerlegung 71
4.5.4 Der Gauß Algorithmus für Systeme mit
mehreren rechten Seiten 73
4.6 Matrizeninversion mit dem Gauß Algorithmus 74
4.7 Verfahren für Systeme mit symmetrischen Matrizen 75
4.7.1 Systeme mit symmetrischer, streng regulärer Matrix 76
4.7.2 Systeme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix.
Cholesky Verfahren 76
4.7.3 Systeme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix.
Verfahren der konjugierten Gradienten (CG Verfahren) 80
4.8 Das Gauß Jordan Verfahren 83
4.9 Bestimmung der zu einer Matrix inversen Matrix mit
dem Austauschverfahren 84
4.10 Gleichungssysteme mit tridiagonalen Matrizen 87
4.10.1 Systeme mit tridiagonaler Matrix 87
4.10.2 Systeme mit symmetrischer, tridiagonaler, positiv
definiter Matrix 89
4.11 Gleichungssysteme mit zyklisch tridiagonalen Matrizen 91
4.11.1 Systeme mit zyklisch tridiagonaler Matrix 91
4.11.2 Systeme mit symmetrischer, zyklisch tridiagonaler Matrix .. 93
4.12 Gleichungssysteme mit fünfdiagonalen Matrizen 96
4.12.1 Systeme mit fünfdiagonaler Matrix 96
4.12.2 Systeme mit symmetrischer, fünfdiagonaler, positiv
definiter Matrix 98
4.13 Gleichungssysteme mit Bandmatrizen 101
4.14 Lösung überbestimmter linearer Gleichungssysteme
mit Householdertransformation 106
4.15 Fehler, Kondition und Nachiteration 111
4.15.1 Fehler und Kondition 111
4.15.2 Konditionsschätzung 113
4.15.3 Möglichkeiten zur Konditionsverbesserung 116
4.15.4 Nachiteration 117
4.16 Gleichungssysteme mit Blockmatrizen 118
XX Inhaltsverzeichnis
4.16.1 Vorbemerkungen 118
4.16.2 Gauß Algorithmus für Blocksysteme 119
4.16.3 Gauß Algorithmus für tridiagonale Blocksysteme 121
4.16.4 Weitere Block Verfahren 121
4.17 Algorithmus von Cuthill McKee für dünn besetzte, sym¬
metrische Matrizen 122
4.18 Entscheidungshilfen für die Auswahl des Verfahrens 127
5 Iterationsverfahren zur Losung linearer Gleichimgssysteme 131
5.1 Vorbemerkungen und Entscheidungshilfen 131
5.2 Vektor und Matrixnormen 132
5.3 Das Iterationsverfahren in Gesamtschritten 133
5.4 Das Iterationsverfahren in Einzelschritten oder das
Gauß Seidelsche Iterationsverfahren 138
5.5 Relaxation beim Gesamtschrittverfahren 139
5.6 Relaxation beim Einzelschrittverfahren. SOR Verfahren 140
5.6.1 Iterationsvorschrift 140
5.6.2 Schätzung des Relaxationskoeffizienten.
Adaptives SOR Verfahren 141
6 Systeme nichtlinearer Gleichungen 145
6.1 Allgemeines Iterationsverfahren für Systeme 145
6.2 Spezielle Iterationsverfahren 150
6.2.1 Newtonsche Verfahren für nichtlineare Systeme 150
6.2.1.1 Das quadratisch konvergente Newton Verfahren 150
6.2.1.2 Gedämpftes Newton Verfahren für Systeme 152
6.2.2 Regula Falsi für nichtlineare Systeme 153
6.2.3 Das Verfahren des stärksten Abstiegs (Gradienten¬
verfahren) für nichtlineare Systeme 155
6.2.4 Das Verfahren von Brown für Systeme 156
6.3 Entscheidungshilfen für die Auswahl der Methode 157
7 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen 159
7.1 Definitionen und Aufgabenstellungen 159
7.2 Diagonalähnliche Matrizen 161
7.3 Das Iterationsverfahren nach v. Mises 163
7.3.1 Bestimmung des betragsgrößten Eigenwertes und des
zugehörigen Eigenvektors 163
Inhaltsverzeichnis XXI
7.3.2 Bestimmung des betragskleinsten Eigenwertes 167
7.3.3 Bestimmung weiterer Eigenwerte und Eigenvektoren 168
7.4 Konvergenzverbesserung mit Hilfe des Rayleigh Quotienten
im Falle hermitescher Matrizen 169
7.5 Das Verfahren von Krylov 170
7.5.1 Bestimmung der Eigenwerte 170
7.5.2 Bestimmung der Eigenvektoren 172
7.6 Bestimmung der Eigenwerte positiv definiter, symmetrischer,
tridiagonaler Matrizen mit Hilfe des QD Algorithmus 173
7.7 Transformationen auf Hessenbergform, LR und QR Verfahren 175
7.7.1 Transformation einer Matrix auf obere Hessenbergform 175
7.7.2 LR Verfahren 177
7.7.3 QR Verfahren 179
7.8 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix nach den Verfahren
von Martin, Parlett, Peters, Reinsch und Wilkinson 180
7.9 Entscheidungshilfen 181
8 Lineare und iiichtlineare Approximation 183
8.1 Lineare Approximation 185
8.1.1 Approximationsaufgabe und beste Approximation 185
8.1.2 Kontinuierliche lineare Approximation im quadratischen
Mittel .... 187
8.1.3 Diskrete lineare Approximation im quadratischen Mittel .. 192
8.1.3.1 Normalgleichungen für den diskreten linearen Ausgleich . 192
8.1.3.2 Diskreter Ausgleich durch algebraische Polynome
unter Verwendung orthogonaler Polynome 195
8.1.3.3 Lineare Regression. Ausgleich durch lineare
algebraische Polynome 197
8.1.3.4 Householdertransformation zur Lösung des linearen
Ausgleichsproblems 198
8.1.4 Approximation von Polynomen durch Tschebyscheff
Polynome 200
8.1.4.1 Beste gleichmäßige Approximation, Definition 201
8.1.4.2 Approximation durch Tschebyscheff Polynome 202
8.1.5 Approximation periodischer Funktionen 208
8.1.5.1 Approximation periodischer Funktionen im
quadratischen Mittel 209
8.1.5.2 Trigonometrische Interpolation 210
XXII Inhaltsverzeichnis
8.1.5.3 Komplexe diskrete Fourier Transformation (FFT) 213
8.2 Nichtlineare Approximation 214
8.2.1 Transformationsmethode beim nichtlinearen Ausgleich ....215
8.2.2 Nichtlinearer Ausgleich im quadratischen Mittel 217
8.3 Entscheidungshilfen 218
9 Polynomiale und rationale Interpolation 221
9.1 Aufgabenstellung zur Interpolation durch algebraische Polynome 221
9.2 Interpolationsformeln von Lagrange 223
9.2.1 Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen 223
9.2.2 Lagrangesche Formel für äquidistante Stützstellen 224
9.3 Das Interpolationsschema von Aitken für beliebige Stützstellen 225
9.4 Inverse Interpolation nach Aitken 227
9.5 Interpolationsformeln von Newton 228
9.5.1 Newtonsche Formel für beliebige Stützstellen 228
9.5.2 Newtonsche Formel für äquidistante Stützstellen 229
9.6 Restglied der Interpolation und Aussagen zur Abschätzung
und Schätzung des Interpolationsfehlers 231
9.7 Rationale Interpolation 233
9.8 Interpolation bei Funktionen mehrerer Veränderlichen 237
9.8.1 Interpolationsformel von Lagrange bei Funktionen von
zwei Veränderlichen 237
9.8.2 Shepard Interpolation 239
9.9 Entscheidungshilfen für die Auswahl des zweckmäßigen
Interpolationsverfahrens 243
10 Interpolierende Polynomsplines zur Konstruktion glatter
Kurven 245
10.1 Polynomsplines dritten Grades 245
10.1.1 Definition der Splinefunktionen 246
10.1.2 Berechnung der nichtparametrischen kubischen Splines ... .248
10.1.3 Berechnung der parametrischen kubischen Splines 253
10.1.4 Kombinierte interpolierende Polynom Splines 259
10.1.5 Konvergenz und Fehlerabschätzungen interpolierender
kubischer Splines 265
10.2 Hermite Splines fünften Grades 266
10.2.1 Definition der Hermite Splines 266
10.2.2 Berechnung der nichtparametrischen Hermite Splines 268
Inhaltsverzeichnis XXIII
10.2.3 Berechnung der parametrischen Hermite Splines 272
10.3 Entscheidungshilfen zur Auswahl der geeigneten inter¬
polierenden oder approximierenden Splinemethode 275
11 Polynomiale Ausgleichssplines 3. Grades zur
Konstruktion glatter Kurven 281
11.1 Problemstellung 281
11.2 Definition der Splinefunktionen 282
11.3 Berechnung der nichtparametrischen kubischen Ausgleichssplines 283
11.4 Berechnung der parametrischen kubischen Ausgleichssplines ...290
11.5 Entscheidungshilfen 291
12 Zweidimensionale Splines, Oberflächenspliiies, Bezier
Splines, B Splines 293
12.1 Interpolierende zweidimensionale Polynomsplines dritten
Grades zur Konstruktion glatter Flächen 293
12.2 Zweidimensionale interpolierende Oberflächensplines 303
12.3 Bezier Splines 307
12.3.1 Bezier Spline Kurven 307
12.3.2 Bezier Spline Flächen 311
12.3.3 Modifizierte (interpolierende) kubische Bezier Splines 318
12.4 B Splines 319
12.4.1 B Spline Kurven 319
12.4.2 B Spline Flächen 325
12.5 Entscheidungshilfen 330
13 Akima und Renner Subsplines 333
13.1 Akima Subsplines 333
13.2 Renner Subsplines 336
13.3 Abrundung von Ecken bei Akima und Renner Kurven 340
13.4 Näherungsweise Berechnung der Bogenlänge einer Kurve 341
13.5 Entscheidungshilfen 343
14 Numerische Differentiation 345
14.1 Aufgabenstellung 345
14.2 Differentiation mit Hilfe eines Interpolationspolynoms 346
14.3 Differentiation mit Hilfe interpolierender kubischer
Polynom Splines 350
XXIV Inhaltsverzeichnis
14.4 Differentiation nach dem Romberg Verfahren 350
14.5 Entscheidungshilfen 352
15 Numerische Quadratur 353
15.1 Vorbemerkungen 353
15.2 Konstruktion von Interpolationsquadraturformeln 355
15.3 Newton Cotes Formeln 357
15.3.1 Die Sehnentrapezformel 359
15.3.2 Die Simpsonsche Formel 360
15.3.3 Die 3/8 Formel 362
15.3.4 Weitere Newton Cotes Formeln 364
15.3.5 Zusammenfassung zur Fehlerordnung von
Newton Cotes Formeln 366
15.4 Quadraturformeln von Maclaurin 367
15.4.1 Die Tangententrapezformel 367
15.4.2 Weitere Maclaurin Formeln 368
15.5 Die Euler Maclaurin Formeln 370
15.6 Tschebyscheffsche Quadraturformeln 372
15.7 Quadraturformeln von Gauß 375
15.8 Einfache Berechnung von Gewichten und Stützstellen
verallgemeinerter Gauß Quadraturformeln 379
15.9 Quadraturformeln von Clenshaw Curtis 383
15.10 Das Verfahren von Romberg 384
15.11 Fehlerschätzung und Rechnungsfehler 386
15.12 Adaptive Quadraturverfahren 389
15.13 Konvergenz der Quadraturformeln 390
15.14 Entscheidungshilfen für die Auswahl der geeigneten Methode ..391
16 Numerische Kubatur 393
16.1 Problemstellung 393
16.2 Konstruktion von Interpolationskubaturformeln 396
16.3 Newton Cotes Formeln für rechteckige Integrationsbereiche ... .399
16.4 Newton Cotes Kubaturformeln für Dreieckbereiche 404
16.5 Das Romberg Kubaturverfahren für Rechteckbereiche 405
16.6 Gauß Kubaturformeln für Rechteckbereiche 408
16.7 Gauß Kubaturformeln für Dreieckbereiche 410
16.7.1 Dreieckbereiche mit achsenparallelen Katheten 410
Inhaltsverzeichnis XXV
16.7.2 Dreiecke in allgemeiner Lage 411
16.8 Berechnung des Riemannschen Flächenintegrals mit
bikubischen Splines 412
16.9 Entscheidungshilfen 413
17 Anfangswertproblenie bei gewöhnlichen Differential¬
gleichungen 415
17.1 Problemstellung 415
17.2 Prinzip der numerischen Verfahren 416
17.3 Einschrittverfahren 418
17.3.1 Das Polygonzugverfahren von Euler Cauchy 418
17.3.2 Das verbesserte Euler Cauchy Verfahren 419
17.3.3 Praediktor Korrektor Verfahren von Heun 420
17.3.4 Explizite Runge Kutta Verfahren 422
17.3.4.1 Konstruktion von Runge Kutta Verfahren 422
17.3.4.2 Klassisches Runge Kutta Verfahren 423
17.3.4.3 Zusammenstellung expliziter Runge Kutta Formeln 425
17.3.4.4 Einbettungsformeln 429
17.3.5 Implizite Runge Kutta Verfahren vom Gauß Typ 442
17.3.6 Gemeinsame Darstellung aller Einschrittverfahren.
Verfahrensfunktion eines Einschrittverfahrens.
Konsistenz 444
17.3.7 Fehlerschätzung und Schrittweitensteuerung 446
17.3.7.1 Fehlerschätzung 446
17.3.7.2 Methoden zur automatischen Schrittweitensteuerung,
adaptive Anfangswertproblemlöser 447
17.4 Mehrschrittverfahren 450
17.4.1 Prinzip der Mehrschrittverfahren 450
17.4.2 Das explizite Verfahren von Adams Bashforth 452
17.4.3 Das Praediktor Korrektor Verfahren von Adams Moulton . 454
17.4.4 Verfahren von Adams Störmer 459
17.4.5 Fehlerschätzungsformeln für Mehrschrittverfahren 460
17.4.6 Rechnungsfehler für Ein und Mehrschrittverfahren 462
17.5 Extrapolationsverfahren von Bulirsch Stoer Gragg 462
17.6 Stabilität 466
17.6.1 Vorbemerkungen 466
17.6.2 Stabilität der Differentialgleichung 466
17.6.3 Stabilität des numerischen Verfahrens 467
XXVI Inhaltsverzeichnis
17.7 Steife Differentialgleichungssysteme 472
17.7.1 Problemstellung 472
17.7.2 Kriterien für Steifheit eines Systems 472
17.7.3 Das Verfahren von Gear zur Integration steifer Systeme ... 473
17.8 Entscheidungshilfen bei der Wahl des Verfahrens 479
18 Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differential¬
gleichungen 485
18.1 Problemstellung 485
18.2 Zurückführung des Randwertproblems auf ein
Anfangswertproblem 486
18.2.1 Randwertprobleme für nichtlineare Differentialgleichungen
zweiter Ordnung v 486
18.2.2 Randwertprobleme für Systeme von Differential¬
gleichungen erster Ordnung 489
18.2.3 Mehrzielverfahren 490
18.3 Differenzenverfahren 494
18.3.1 Das gewöhnliche Differenzenverfahren 494
18.3.2 Differenzenverfahren höherer Näherung 500
18.3.3 Iterative Auflösung der linearen Gleichungssysteme
zu speziellen Randwertproblemen 502
18.3.4 Lineare Eigenwertprobleme 503
Anhang: ANSI C Programme 505
Vorwort zum Anhang 507
Informationen für Hochschulangehörige und Studenten 509
Inhaltsverzeichnis des Anhangs 511
ANSI C Programme 515
Symbolverzeichnis des Anhangs 1069
Literaturverzeichnis 1075
Literatur zu weiteren Themengebieten 1095
Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen 1095
Methode der Finiten Elemente 1096
Sachwortverzeichnis 1101
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