Décomposition spectrale et séries d'Eisenstein: une paraphrase de l'écriture
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Basel u.a.
Birkhäuser
1994
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| adam_text | TABLE DES MATIÈRES
Préambule xiii
Table des Notations xxvii
I Hypothèses, formes automorphes,
termes constants
1.1 Hypothèses et notations générales 1
1.1.1 Définitions 1
1.1.2 Description de G 2
1.1.3 Le revêtement G^G(A); hypothèses et propriétés 3
1.1.4 Sous groupes de Levi et caractères 4
1.1.5 Description de G, suite 8
1.1.6 Racines et coracines 10
1.1.7 Groupes de Weyl 12
1.1.8 Décomposition en symétries élémentaires 14
1.1.9 Un lemme de composition 15
1.1.10 Décomposition de Reùm 15
1.1.11 Retour aux coracines 16
1.1.12 Produit scalaire 17
1.1.13 Mesures 18
1.2 Formes automorphes: croissance, termes
constants 18
1.2.1 Domaines de Siegel 18
1.2.2 Hauteurs 20
vi Table des Matières
1.2.3 Fonctions à croissance modérée 25
1.2.4 Un lemme de majoration 25
1.2.5 Construction de fonctions à croissance modérée 26
1.2.6 Termes constants 27
1.2.7 Approximation d une fonction par son terme
constant, cas des corps de fonctions 28
1.2.8 CoroUaire 29
1.2.9 Corollaire 29
1.2.10 Le cas des corps de nombres 30
1.2.11 Corollaire 33
1.2.12 Fonctions à décroissance rapide 34
1.2.13 Troncature 35
1.2.14 ATAT = AT 35
1.2.15 Ar* = AT 36
1.2.16 Majoration de / T(j 36
1.2.17 Formes automorphes 36
1.2.18 Formes cuspidales 39
1.3 Composantes cuspidales 40
1.3.1 Fonctions AM finies 40
1.3.2 Décomposition d une forme automorphe 41
1.3.3 Exposants des formes automorphes cuspidales 43
1.3.4 Composantes cuspidales 45
1.3.5 Composantes cuspidales et automorphie 47
1.3.6 Cas des corps de fonctions: indépendance
du choix de vq 48
1.4 Majorations en fonction du terme constant 49
1.4.1 Lemme 49
1.4.2 Fonctions polynômes exponentiels 51
1.4.3 Une majoration uniforme des formes automorphes 56
1.4.4 Suites de formes automorphes 59
1.4.5 Preuve de I.4.4(a) 60
1.4.6 Preuve partielle de I.4.4(c) 62
1.4.7 Preuve de I.4.4(b) 63
1.4.8 Fin de la preuve de 1.4.4 66
1.4.9 Espaces de Fréchet et fonctions holomorphes 66
1.4.10 Formes automorphes dépendant holomorphiquement
d un paramètre 68
1.4.11 Exposants des formes automorphes de carré
intégrable 75
Table des Matières vii
II Décomposition suivant les données cuspidales
II.l Définitions 79
11.1.1 Classes d équivalence de sous représentations irréducibles
de l espace des formes automorphes et structure
analytique complexe 79
11.1.2 Fonctions de Paley Wiener 81
11.1.3 Transformation de Fourier 82
11.1.4 Les espaces PR^ „¦. 85
11.1.5 Série d Eisenstein 86
11.1.6 Opérateurs d entrelacement 88
11.1.7 Termes constants des séries d Eisenstein 92
II. 1.8 Adjonction des opérateurs d entrelacement 94
II. 1.9 Développement eulérien des opérateurs
d entrelacements 95
IL 1.10 Pseudo série d Eisenstein 96
II.l.11 Lien entre pseudo série d Eisenstein et
série d Eisenstein 100
IL 1.12 Densité des pseudo séries d Eisenstein 100
II. 2 Calcul du produit scalaire de deux pseudo séries
d Eisenstein 101
11.2.1 Enoncé 101
11.2.2 Calcul des termes constants des pseudo séries
d Eisenstein 103
11.2.3 Fin du calcul du produit scalaire 107
11.2.4 Décomposition de L2(G(k) G)ç suivant le support
cuspidal 107
11.2.5 Unlemme 108
III Opérateurs Hilbertiens et formes automorphes
III.l Opérateurs Hilbertiens 111
IH.1.1 Une famille d opérateurs 111
III. 1.2 Opération sur les pseudo séries d Eisenstein 112
III. 1.3 Transformations des espaces de Hilbert 113
111.1.4 Opérateurs bornés 114
111.1.5 Adjonction d opérateurs non bornés 114
111.1.6 Projections spectrales 115
IH.1.7 Transformations de L2(G(fe) G)ç 117
viii Table des Matières
III. 2 Une décomposition de l espace des formes
automorphes 117
111.2.1 Opérateurs sur l espace des formes automorphes 117
111.2.2 Composantes cuspidales 118
111.2.3 Généralisation 121
111.2.4 Une sous algèbre d opérateurs 121
111.2.5 Démonstration de la proposition III.2.1 125
111.2.6 Décomposition de l espace des formes automorphes 130
III.3 Exposants cuspidaux et formes automorphes
de carré intégrable 131
111.3.1 Le résultat 131
111.3.2 Définition de N(G) 132
111.3.3 Réduction du problème 133
111.3.4 Démonstration de la proposition III.3.1 133
IV Prolongement des séries d Eisenstein
IV.l Les résultats 137
IV.1.1 Les espaces 137
IV.l.2 Les représentations 138
IV. 1.3 Fonctions holomorphes 138
IV. 1.4 Opérateurs holomorphes 139
IV.1.5 Rationalité 139
IV.l.6 Singularités le long d hyperplans 140
IV.l.7 Holomorphie des séries d Eisenstein 140
IV.1.8 Prolongement des séries d Eisenstein 141
IV. 1.9 Propriétés des séries d Eisenstein 142
IV.l.10 Equation fonctionnelle 142
IV.l.11 Singularités des séries d Eisenstein 143
IV.l.12 Cas des corps de fonctions 143
IV.2 Quelques préparatifs 143
IV.2.1 Transformation du problème 143
TV.2.2 Choix de fonctions dans l algèbre de Hecke 144
TV.2.3 Opérateurs compacts 145
IV.2.4 La troncature est une projection orthogonale 146
IV.2.5 Majoration d un noyau tronqué 147
TV.2.6 Compacité d opérateurs tronqués 149
IV.2.7 Un lemme géométrique 149
IV.2.8 Remarque 150
Table des Matières ix
IV.3 Le cas de rang relatif 1 151
IV.3.1 La situation en rang relatif 1 151
IV.3.2 Une série auxiliaire 151
IV.3.3 Troncature de séries auxiliaires 154
IV.3.4 L équation fonctionnelle des troncatures de séries
d Eisenstein 155
IV.3.5 Résolution d une équation fonctionnelle 156
IV.3.6 Une décomposition des séries d Eisenstein 157
IV.3.7 Corollaire 158
IV.3.8 Un lemme d injectivité 158
IV.3.9 Démonstration du théorème IV. 1.8 159
IV.3.10 Démonstration de la proposition IV.1.9 159
IV.3.11 Démonstration du théorème IV.1.10 162
IV.3.12 Démonstration de la proposition IV.1.11 162
IV.3.13 Démonstration de la proposition IV.1.12(b) 164
IV.3.14 Démonstration de la proposition IV.1.12(a) 165
IV.4 Le cas général 166
IV.4.1 Prolongement des opérateurs d entrelacement 166
IV.4.2 Les séries auxiliaires 167
IV.4.3 Prolongement des séries d Eisenstein 168
IV.4.4 Fin de la démonstration 169
IV.4.5 Remarque 169
V Construction du spectre discret par résidus
V.l Généralités et théorème des résidus 171
V.l.l Sous espace affine dans une classe d équivalence
de représentations 171
V.l.2 Fonctions méromorphes à singularités polynomiales
sur S* 173
V.1.3 Données de résidus 175
V.1.4 Remarque sur les choix faits en V.1.3 176
V.1.5 Théorème des résidus 177
V.2 Décomposition du produit scalaire des
pseudo séries d Eisenstein 182
V.2.1 Notations 182
V.2.2 Enoncé du théorème 184
V.2.3 Début de la preuve: première étape 185
V.2.4 Deuxième étape 187
V.2.5 Corollaire 188
x Table des Matières
V.2.6 Corollaire 189
V.2.7 Fin de la preuve de V.2.2 189
V.2.8 Remarque sur le cas des corps de nombres 190
V.2.9 Unlemme 191
V.2.10 Unlemme 193
V.2.11 Un sous lemme 194
V.3 Décomposition suivant le spectre des
opérateurs A(/) 198
V.3.1 Hypothèses et notations pour cette partie 198
V.3.2 Enoncé 200
V.3.3 Définition de la famille de projections 201
V.3.4 Schéma et début de la preuve 202
V.3.5 Lemme 205
V.3.6 Remarque 205
V.3.7 Preuve des assertions de V.3.2(4) 210
V.3.8 Encore un lemme 211
V.3.9 Preuve de V.3.2 (5)(i) pour n général 212
V.3.10 Action des opérateurs A(/) 215
V.3.11 Décomposition spectrale de L/^T 216
V.3.12 Preuve de V.3.2 219
V.3.13 Décomposition de qTL2(G(k) G)x,s 222
V.3.14 Décomposition de L2(G(k) G)x . . 228
V.3.15 Formule d adjonction pour les résidus d opérateurs
d entrelacement 229
V.3.16 Exposants cuspidaux des résidus des séries
d Eisenstein 231
V.3.17 Généralisation; décomposition
de L2(UL(A)L(k) G)ih 232
VI Décomposition spectrale à l aide du spectre
discret des Levi
VI. 1 Paramètre discret 238
VLl.l Levi standard associé à un élément de Sx 238
VI. 1.2 Singularités des résidus de séries d Eisenstein 238
VI.1.3 Corollaire 244
VI.1.4 Réduction au Levi 245
VI. 1.5 Equation fonctionnelle pour les résidus de séries
d Eisenstein 254
VI. 1.6 Propriété de positivité de l origine des plans
singuliers 255
Table des Matières xi
VI.1.7 Classe d association de Levi standard attachée à une
classe singulière 260
VI.1.8 Réalité de l origine des plans singuliers 261
VI.1.9 Paramètre discret 262
VI.2 Décomposition spectrale 263
VI.2.1 Enoncé le plus général 263
VI.2.2 Enoncé plus technique mais plus précis 265
VI.2.3 Preuve de VI.2.1(i) 267
VI.2.4 Description de A r^ (n général) 269
VI.2.5 Preuve de la décomposition spectrale de VI.2.2
(corps de nombres) 273
VI.2.6 Preuve de la décomposition spectrale de VI.2.1
(corps de nombres) 275
VI.2.7 Le cas des corps de fonctions 276
Appendice I Relèvement des sous groupes unipotents
dans une extension centrale 277
Appendice II Formes automorphes et séries d Eisenstein
sur un corps de fonctions 283
1. Dérivées de séries d Eisenstein 283
1.1 Quelques rappels 283
1.2 Séries d Eisenstein 284
1.3 Dérivations 284
1.4 Dérivées de séries d Eisenstein 285
1.5 Les corps de fonctions 285
2. Relations entre les termes constants des formes
automorphes 286
2.1 Notations 286
2.2 Calcul d un produit scalaire 287
2.3 Nullité d une pseudo série d Eisenstein 289
2.4 Les sections globales engendrent les sections locales 290
2.5 Un système linéaire 291
2.6 Résolution du système 292
2.7 Expression d une forme automorphe comme dérivée
de séries d Eisenstein 294
2.8 Théorème 297
2.9 Remarques 297
xii Table des Matières
3. Démonstration de la proposition 2.4 297
3.1 Transformation du problème 297
3.2 Calcul dans le complété 298
3.3 Fin de la preuve 299
Appendice III A propos du spectre discret de G2 303
1. Le résultat 303
2. Calculs explicites pour G2 304
3. Rappel de la méthode 307
4. Calcul d un résidu 308
5. Idem 310
6. Expression du produit scalaire 312
7. L algèbre de Hecke 313
8. Les opérateurs d entrelacement 315
9. Le calcul final 317
Appendice IV Groupes non connexes 319
1. Définitions 319
2. Sous groupes de Levi 320
3. Groupe de Weyl 322
4. Sous groupe compact 323
5. Revêtements, centres 324
6. Formes automorphes 325
7. Composantes cuspidales 327
8. Séries d Eisenstein 327
9. Fonctions mp et trivialisation des fibres 329
10. Fonctions de Paley Wiener, P(m, $) et i3^,«p) 332
11. Pseudo séries d Eisenstein 333
12. Termes constants des pseudo séries d Eisenstein et
produit scalaire 333
13. Opérateurs A(/) 334
14. Décomposition spectrale 336
Bibliographie 339
Index terminologique 343
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