Methoden der mathematischen Physik:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
1993
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| Ausgabe: | 4. Aufl. |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XVIII, 545 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3540567968 9783642634475 |
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Inhaltsverzeichnis.
Erstes Kapitel.
Die Algebra der linearen Transformationen und
quadratischen Formen.
§ i. Lineare Gleichungen und lineare Transformationen. 1
1. Vektoren S. 1. — 2. Orthogonale Vektorensysteme. Vollständigkeit
S. 3. — 3. Lineare Transformationen, Matrizen S. 5. — 4. Bilinearformen,
quadratische und hermitesche Formen S. 10. — 5. Orthogonale und
unitäre Transformationen S. 13.
§ 2. Lineare Transformationen mit linearem Parameter.14
g
3- Die Hauptachsentransformation der quadratischen und Hermiteschen
Formen.19
1. Die Durchführung der Hauptachsentransformation auf Grund eines
Maximumprinzips S. 20. — 2. Charakteristische Zahlen und Eigenwerte
5. 22. — 3. Verallgemeinerung auf Hermitesche Formen S. 23. — 4. Träg¬
heitsgesetz der quadratischen Formen S. 24. — 5. Darstellung der Re¬
solvente einer Form S. 24. — 6. Lösung des zu einer Form gehörigen
linearen Gleichungssystems S. 25-
§ 4. Die Minimum-Maximum-Eigenschaft der Eigenwerte.26
1. Kennzeichnung der charakteristischen Zahlen durch ein Minimum-
Maximumproblem S. 26. — 2. Anwendungen S. 28.
§ 5· Ergänzungen und Aufgaben zum ersten Kapitel.29
1. Lineare Unabhängigkeit und Gramsche Determinante S. 29· — 2.
De¬
terminan
tenabschätzung von
Hadamard
S.
31. — 3. Simultane Trans¬
formation zweier quadratischer Formen in kanonische Gestalt S. 32. —
4. Bilinearformen und quadratische Formen von unendlich vielen Va¬
riablen S. 33. — 5. Unendlich kleine lineare Transformationen S. 33. —
6. Variierte Systeme S. 34. — 7- Die Auferlegung einer Bindung S. 36.
— 8. Elementarteiler einer Matrix oder einer Büinearform. S. 36. —
9. Spektrum einer unitären Matrix S. 37. — Literatur zum ersten Kapitel
5. 38.
Zweites Kapitel.
Das Problem der Reihenentwicklung willkürlicher
Funktionen.
g
1. Orthogonale Funktionensysteme.40
1. Definitionen S. 40. — 2. Orthogonalisierung von Funktionen S. 41.
— 3. Besselsche Ungleichung. Vollständigkeitsrelation. Approximation
im Mittel S. 42. — 4. Orthogonale und unitäre Transformationen in un¬
endlich vielen Veränderlichen S. 45. — 5- Gültigkeit der Ergebnisse bei
mehreren unabhängigen Veränderlichen. Erweiterung der Voraus¬
setzungen S. 46. — 6. Erzeugung vollständiger Funktionensysteme in
mehreren
Variabeln
S.
46.
g z.
Das Häufungsprinzip für Funktionen.47
1. Konvergenz im Funktionenraum S. 47.
XJJ
Inhaltsverzeichnis.
§ 3. Unabhängigkeitsmaß und Dimensionenzahl.51
1. Unabhängigkeitsmaß S. 51. — 2. Asymptotische Dimensionenzahl
einer Funktionenfolge S. 53.
§ 4. Der Weierstraßsche Approximationssatz. Vollständigkeit der Potenzen
und der trigonometrischen Funktionen.55
1. Der Weierstraßsche Approximationssatz S. 55. — 2. Ausdehnung
des Ergebnisses auf Funktionen von mehreren Veränderlichen S. 57. —
3. Gleichzeitige Approximation der Ableitungen S. 57. — 4. Vollständig¬
keit der trigonometrischen Funktionen S. 57-
§ 5. Die Fouriersche Reihe.58
1. Beweis des Hauptsatzes S. 58. — 2. Mehrfache Fouriersche Reihen
S. 62. —
З.
Die Größenordnung der Fourierschen Entwicklungskoeffi¬
zienten S. 62. — 4. Streckung des Grundgebietes S.
63.
— 5· Einige
Beispiele S. 63 ·
§ 6. Das Fouriersche Integral.65
1. Beweis des Hauptsatzes S. 65. — 2. Ausdehnung des Resultates
auf mehr Variable S. 67. — 3· Reziprozitätsformeln S. 68.
§ 7. Beispiele für das Fouriersche Integral.69
§ 8. Die Polynome von Legendre.70
1. Erzeugung durch Orthogonalisierung der Potenzen i, x, x2 S. 70. —
2. Die erzeugende Funktion S. 72. —
3.
Weitere Eigenschaften S. 73.
g
9. Beispiele anderer Orthogonalsysteme.74
і
. Verallgemeinerung der zu den Legendreschen Polynomen führenden
Fragestellung S. 74. — 2. Die Tschebyscheffschen Polynome S. 75. —
3. Die Jacobischen Polynome S. 76. — 4. Die Hermiteschen Polynome
S. 77. — 5. Die Laguerrescben Polynome S. 79. — 6. Vollständigkeit der
Laguerreschen und Hermiteschen Polynome S. 81.
§ 10. Ergänzungen und Aufgaben zum zweiten Kapitel.82
1. Die Hurwitzsche Lösung des isoperimetrischen Problems S. 82. —
2. Reziprozitätsiormeln S.
8З.
—
З.
Fouriersches Integral und mittlere
Konvergenz S. 84. — 4. Spektrale Zerlegung durch Fouriersche Reihe
und Fouriersches Integral S. 85· — 5· Dichte Funktionensysteme S. 85.
— 6. Ein Satz von H.
Muntz
über die Vollständigkeit von Potenzen
S. 86. — 7. Der
Fejérsche
Summationssatz S. 86. — 8. Die Mellinschen
Umkehrformeln S. 87. — 9. Das Gibbssche Phänomen S. 90. — 10. Ein
Satz über die
Granisene
Determinante S. 91. — 11. Anwendung des
Lebesgueschen Integralbegriffes S. 92. — Literatur zum zweiten Ka¬
pitel S. 94.
Drittes Kapitel.
Theorie der linearen Integralgleichungen.
§ 1. Vorbereitende Betrachtungen.96
1. Bezeichnungen und Grundbegriffe S. 96. — 2. Quellenmäßig dar¬
gestellte Funktionen S. 97. — 3. Ausgeartete Kerne S. 98.
g
2. Die Fredholmschen Sätze für ausgeartete Kerne.99
§ 3. Die Fredholmschen Sätze für einen beliebigen Kern.101
§ 4. Die symmetrischen Kerne und ihre Eigenwerte.104
1. Existenz eines Eigenwertes bei einem symmetrischen Kern S. 104.
— 2. Die Gesamtheit der Eigenfunktionen und Eigenwerte S. 107- —
3. Die Maximum-Minimum-Eigenscnaft der Eigenwerte S.
1І2.
§5. Der Entwicklungssatz und seine Anwendungen.114
1. Der Entwickhmgssatz S. 114- — 2. Auflösung der inhomogenen
linearen Integralgleichung S. 115. — 3. Die Bffinearformel für die
iterierten Kerne S.
Hö.
— 4. Der Mercersche Satz S. 117.
Inhaltsverzeichnis. XIII
§
б.
Die Neumannsche Reihe und der reziproke Kern.119
§ 7. Die Fredholmschen Formeln.121
§ 8. Neubegründung der Theorie.124
1. Ein Hilfssatz S. 125. — 2. Die Eigenfunktionen eines symmetrischen
Kernes S. 126. — 3. Unsymmetrische Kerne S. 127. — 4. Stetige Ab¬
hängigkeit der Eigenwerte und Eigenfunktionen vom Kern S. 128.
g
9. Erweiterung der Gültigkeitsgrenzen der Theorie.128
§10. Ergänzungen und Aufgaben zum dritten Kapitel.130
1. Beispiele S. 130. — 2.
Singulare
Integralgleichungen S. 130. —
3.
Me¬
thode von E. Schmidt zur Herleitimg der Sätze von Fredholm S. 131.
— 4. Methode von Enskog zur Auflösung symmetrischer Integral¬
gleichungen S. 132. — 5. Methode von Kellogg zur Bestimmung von
Eigenrunktionen S. 132. — 6. Symbolische Funktionen eines Kerns und
ihre Eigenwerte
S. 132.
— 7. Beispiel eines unsymmetrischen Kerns
ohne Nullösungen S. 133. — 8. Volterrasche Integralgleichungen S. 133.
— 9. Abelsche Integralgleichung S. 134. — 10. Die zu einem unsymme¬
trischen Kerne gehörigen adjungierten Orthogonalsysteme S. 134. —
11. Integralgleichungen erster Art S. 135. — 12. Die Methode der un¬
endlich vielen Variablen S. 136. —
ІЗ-
Minimumeigenschaften der Eigen¬
funktionen S. 136. — 14. Polare Integralgleichungen S. 136. — 15· Sym-
metrisierbare Kerne S. 137. — 16. Bestimmung des lösenden Kernes
durch Funktionalgleichungen S. 137. — I7. Die Stetigkeit der definiten
Kerne S. 137. — 18. Satz von Hammerstein S. 137. — Literatur zum
dritten Kapitel
S. 137-
Viertes Kapitel.
Die Grundtatsachen der Variationsrechnung.
g
1. Die Problemstellung der Variationsrechnung.139
1.
Maxima
und
Minima
von Funktionen S. 139· — 2. Funktionen¬
funktionen S. 142. — 3. Die typischen Probleme der Variationsrechnung
S. 144. — 4. Die charakteristischen Schwierigkeiten der Variations¬
rechnung S. 147-
§ 2. Ansätze zur direkten Lösung.148
1. Isoperimetrisches Problem S. 149. — 2. Das Ritzsche Verfahren.
Minimalfolgen S. 149. — 3- Weitere direkte Methoden. Differenzen¬
verfahren. Unendlich viele Veränderliche S. 151. — 4. Prinzipielles über
die direkten Methoden der Variationsrechnung S. 156.
§3. Die Eulerschen Gleichungen der Variationsrechnung.157
1. Das einfachste Problem der Variationsrechnung S. 158. — 2. Mehrere
gesuchte Funktionen S. 16I. —
3.
Auftreten höherer Ableitungen S. 163.
— 4. Mehrere unabhängige Variable S. 164. — 5. Identisches Ver¬
schwinden des Eulerschen Differentialausdruckes. Divergenzausdrücke
S. 165. — 6. Homogene Form der Eulerschen Differentialgleichungen
S. 168. — 7- Variationsprobleme mit Erweiterung der Zulassungs-
bedingungen. Sätze von du Bois-Reymond und Haar S. 171. — 8. An¬
dere Variationsprobleme und ihre Funktionalgleichungen S. 176.
§ 4. Bemerkungen und Beispiele zur Integration der Eulerschen Differential¬
gleichung. .177
§ 5. Handbedingungen.179
1. Natürliche Randbedingungen bei freien Rändern S. 179. — 2. Geo¬
metrische Probleme. Transversalität S. 181.
§ 6. Die zweite Variation
vată
die Legendresche Bedingung.184
XIV Inhaltsverzeichnis.
§ 7. Variationsprobleme mit Nebenbedingungen.186
1. Isoperimetrische Probleme S. 187. — 2. Endliche Bedingungs-
gleicłmngen
S.
189. — 3. Differentialgleichungen als Nebenbedingungen
S. 191.
§ 8. Der invariante Charakter der Eulerschen Differentialgleichungen . . . 192
1. Der Eulersche Ausdruck als Gradient im Funktionenraume. Invarianz
des Eulerschen Ausdruckes S. 192. — 2. Transformationen von
Л и.
Polar¬
koordinaten
S.
194. — 3. Elliptische Koordinaten S. 195.
§ 9. Transformation von Variationsproblemen in die kanonische und involu-
torische Gestalt.199
1. Transformation bei gewöhnlichen Minimumproblemen mit Neben¬
bedingungen S. 199. — 2. Die involutorische Transformation der ein¬
fachsten Variationsprobleme S. 201. —
З.
Die Transformation des
Variationsproblems in die kanonische Gestalt S. 206. — 4. Verall¬
gemeinerungen s. 207.
g
10. Variationsrechnung und Differentialgleichungen der mathematischen
Physik.210
1. Allgemeines S. 210. — 2. Schwingende Saite (Seil) und schwin¬
gender Stab S. 212. — 3. Membran und Platte S. 214.
§ 11. Ergänzungen und Aufgaben zum vierten Kapitel.219
1. Variationsproblem zu gegebener Differentialgleichung S. 219- —
2. Reziprozität bei isoperimetrischen Problemen S. 219· — 3· Kreis¬
förmige Lichtstrahlen S. 219. — 4. Das Problem der Dido
S. 219.
—
5. Beispiel eines räumlichen Problems
S. 219.
— 6. Das isoperimetrische
Problem auf einer krummen Fläche S. 220. — 7. Die Indikatrix und ihre
Anwendungen S. 220. — 8. Variation bei veränderlichem Gebiet S. 221.
— 9. Die Sätze von E. Noether über invariante Variationsprobleme.
Integrale in der Punktmechanik S. 223. — 10. Transversalität bei mehr¬
fachen Integralen S. 226. — 11. Eulersche Differentialausdrücke auf
krummen Flächen S. 227. — 12. Das Thomsonsche Prinzip der Elektro¬
statik S. 227. — 13· Gleichgewichtsprobleme beim elastischen Körper.
Prinzip von Castigliano S. 228. — 14. Das Prinzip von Castigliano in
der Balkentheorie S.
23О.
— IS- Das Variationsproblem der Knickung
S. 232. — Literatur zum vierten Kapitel S. 233-
Fünftes Kapitel
Die Schwingungs- und Eigenwertprobleme der
mathematischen Physik.
§ 1. Vorbemerkungen über lineare Differentialgleichungen.234
1. Allgemeines. Das Superpositionsprinzip S. 234. — 2. Homogene und
unhomogene Probleme. Randbedingungen S. 236. —
3.
Formale Be¬
ziehungen. Adjungierte Differentialansdrücke. Greensche Formeln S. 236.
4. Lineare Funktionalgleichungen als Grenzfälle und Analoga von
Systemen linearer Gleichungen S. 239.
§ 2. Systeme von endlich vielen Freiheitsgraden.240
1. Hauptschwingungen. Normalkoordinaten. Allgemeine Theorie des
Bewegungsvorganges S. 240. — 2. Allgemeine Eigenschaften der schwin¬
genden Systeme S. 244.
g
3. Die schwingende Saite.245
1. Freie Bewegungen der homogenen Saite
S. 24S.
— 2. Erzwungene
Bewegungen S. 248. — 3. Die allgemeine unhomogene Saite und das
Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem S. 249.
Inhaltsverzeichnis.
XV
§ 4. Der schwingende Stab.253
§ 5. Die schwingende Membran.255
1. Das allgemeine Eigenwertproblem der homogenen Membran S. 255.
— 2: Erzwungene Bewegungen S. 257. —
3.
Knotenlinien S. 257. —
4. Rechteckige Membran S. 258. — 5- Kreisförmige Membran. Besselsche
Funktionen S. 260. — 6. Die unhomogene Membran S. 263.
§ 6. Die schwingende Platte.263
i. Allgemeines S. 263· — 2. Kreisförmige Begrenzung S. 264.
g
7. Allgemeines über die Methode der Eigenfunktionen.265
1. Die Methode bei Schwingungs- und Gleichgewichtsproblemen S. 265.
— 2. Wärmeleitung und Eigenwertprobleme S. 268. —
3.
Sonstiges Auf¬
treten von Eigenwertproblemen S. 269.
§ 8. Schwingungen dreidimensionaler
Kontinua
.269
§
д.
Randwertproblem der Potentialtheorie und Eigenfunktionen.271
1. Kreis, Kugel, Kugelschale
S. 271.
— 2. Zylindrisches Gebiet S. 274.
— 3. Das
Lamésche
Problem 275.
§ 10. Probleme vom Sturm-Liouvilleschen Typus.
Singulare
Randpunkte . . 280
і
. Besselsche Funktionen S. 280. — 2. Legendresche Funktionen
beliebiger Ordnung S. 280. — 3. Jacobische und Tschebyscheffsche
Polynome
S
282. — 4. Hermitesche und Laguerresche Polynome S. 283.
§11. Über das asymptotische Verhalten der Lösungen Sturm-Liouvillescher
Differentialgleichungen.28J
1. Beschränktheit bei unendlich anwachsender unabhängiger Va¬
riabler S. 285. — 2. Verschärfung des Resultates (Besselsche Funk¬
tionen) S. 286. — 3· Beschränktheit bei wachsendem Parameter S. 288.
— 4. Asymptotische Darstellung der Lösungen S. 289. — 5· Asympto¬
tische Darstellung der Sturm-Liouvilleschen Eigenfunktionen S. 290.
g
12. Eigenwertprobleme mit kontinuierlichem Spektrum.293
1. Die trigonometrischen Funktionen S. 293· — 2. Die Besselschen
Funktionen S. 293. — 3. Das Eigenwertproblem der Schwingungs¬
gleichung für die unendliche Ebene S. 294. — 4. Das Schrödingersche
Eigenwertproblem S. 294.
§ 13. Störungsrechnung.296
1. Einfache Eigenwerte S. 297. — 2. Mehrfache Eigenwerte S. 298. —
3. Ein Beispiel zur Störungstheorie S. 300-
§ 14. Die Greensche Funktion (Einflußfunktion) und die Zurückführung von
Differentialgleichungsproblemen auf Integralgleichungen.302
1. Die Greensche Funktion und das Randwertproblem für gewöhnliche
Differentialgleichungen S. 302. — 2. Die Konstruktion der Greenschen
Funktion und die Greensche Funktion im erweiterten Sinne S. 306. —
3. Äquivalenz von Differentialgleichungs- und Integralgleichungs¬
problem S. 309. — 4- Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer
Ordnung S. 313- — 5- Partielle Differentialgleichungen S. 314.
§ 15. Beispiele für Greensche Funktionen.321
1. Gewöhnliche Differentialgleichungen
S. 32I.
— 2. Greensche
Funktion von Au für Kreis und Kugel S. 326. — 3· Greensche Funktion
und konforme Abbildung S. 327. — 4. Die Greensche Funktion der
Potentialgleichung für eine Kugeloberfläche S. 327. — 5. Die Greensche
Funktion der Gleichung Au — 0 für ein Rechtflach S. 328. — 6. Die
Greensche Funktion von Au für das Innere eines Rechtecks S. 333. —
7. Die Greensche Funktion für einen Kreisring S. 335.
XVI Inhaltsverzeichnis.
S
їб.
Ergänzungen zum fünften Kapitel.337
1. Beispiele zur schwingenden Saite S. 337. — 2. Schwingungen des frei
herabhängenden Seils und Besselsche Funktionen S. 338. — 3· Weitere
Beispiele für explizit lösbare Fälle der Schwingungsgleichung. Funk¬
tionen von
Mathieu S.
ЗЗ9.
— 4. Parameter in den Randbedingungen
S. 340. — 5. Greensche Tensoren für Differentialgleichungssysteme
S. 341. — 6. Analytische Fortsetzung der Lösungen der Gleichung
Au +
λ«
=
o S.
342. — 7. Ein Satz
йЪет
die Knotenlinien der
Lösungen von
¿Í«
+
Дм
= 0
S.
342. — 8. Beispiel für einen Eigenwert
unendlich hoher Ordnung S. 342. — 9. Grenzen für die Gültigkeit
der Entwicklungssätze. S. 343- — Literatur zum fünften Kapitel
S. 343-
Sechstes Kapitel.
Anwendung der Variationsrechnung auf die
Eigenwertprobleme.
g
1. Die Extremumseigenschaften der Eigenwerte.345
1. Die klassischen Extremumseigenschaften S. 345. — 2. Ergänzungen
und Verallgemeinerungen S. 348. —
З-
Eigenwertprobleme für Bereiche
mit getrennten Bestandteilen S. 351. — 4. Die Maximum-Minimum-
Eigenschaft der Eigenwerte
S. 351.
g
2. Allgemeine Polgerungen aus den Extremumseigenschaften der Eigenwerte 353
1. Allgemeine Sätze S. 353. — 2. Das unendliche Anwachsen der Eigen¬
werte S. 358. — 3. Asymptotisches Verhalten der Eigenwerte beim Sturm-
Liouvilleschen Problem S. 360. — 4.
Singulare
Differentialgleichungen
S. 36-1. — 5. Weitere Bemerkungen über das Anwachsen der Eigenwerte.
Auftreten negativer Eigenwerte S. 362. — 6. Stetigkeitseigenschaften der
Eigenwerte S.
36З.
g
3. Der Vollständigkeitssatz und der Entwicklungssatz.
З68
1. Die Vollständigkeit der Eigenfunktionen S. 368. — 2. Der Ent¬
wicklungssatz S. 370. —
З.
Verschärfung des Entwicklungssatzes S. 371·
g
4. Die asymptotische Verteilung der Eigenwerte.373
1. Die Differentialgleichung
Δα
+
λν
— 0 für ein Rechteck S. 373- —
2. Die Differentialgleichung
Δι*
Ą-
Аи =
0 bei Gebieten, welche aus
endlich vielen Quadraten oder Würfeln bestehen S. 374. — 3. Ausdehnung
des Resultates auf die allgemeine Differentialgleichung X-fifJ +
ÍQU
=
О
S.
З77.
— 4. Die Gesetze der asymptotischen Eigenwertverteilung für
einen beliebigen Bereich S. 379. — 5. Die Gesetze der asymptotischen
Eigenwertverteilung für die Differentialgleichung
Δ
и
+
Я«
= 0 in
verschärfter Form
S.
385.
g
5. Eigenwertprobleme vom Schrödingerschen Typus.387
§6. Die Knoten der Eigenfunktionen.392
g
7. Ergänzungen und Aufgaben zum sechsten Kapitel.397
•i. Ableitung der Mininmmeigenschafteii der Eigenwerte aus ihrer Voll¬
ständigkeit S. 397. — 2. Charakterisierung der ersten Eigenfunktion
durch
Виге
Nullstellenfreiheit S. 398. —
З.
Andere Minimumeigenschaften
der Eigenwerte S. 399. — 4, Asymptotische Eigenwertverteilung bei der
schwingenden Platte S. 400. — 5. bis 7. Aufgaben S. 400. — 8. Parameter
in
dea
Randbedingungen
S.
400. — 9. Eigenwertprobleme
rte
geschlossene
Flächen S.401. — 10. Eigenwertabschätzungen beim Auftreten von singu-
lären Punkten S. 401. — 11. Minimumsätze für Membran und Platte
S. 402i — 12. Mmimumprobleme bei variabler MassenverteUvmg S.403. —
13. Knotenpunkte beim Sturm-Lxouvfltoschen. Problem -and Maximum-
Mininmin-Prinrip S. 403. —
literatur
zum sechsten Kapitel S. 404.
Inhaltsverzeichnis. XVII
Siebentes Kapitel.
Spezielle durch Eigenwertprobleme definierte Funktionen.
§ i. Vorbemerkungen über lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung . 405
§ 2. Die Besselschen Funktionen.406
1. Durchführung der Integraltransformation S. 407. — 2. Die Hankel-
schen Funktionen S. 407. — 3· Die Besselschen und Neumannschen
Funktionen S. 410. — 4. Integraldarstellungen der Besselschen Funk¬
tionen S. 412. — 5. Eine andere Integraldarstellung der Hankeischen und
Besselschen Funktionen S. 414. — 6. Potenzreihenentwicklung der Bessel¬
schen Funktionen S. 418. — 7. Relationen zwischen den Besselschen
Funktionen S. 420. — 8. Die Nullstellen der Besselschen Funktionen
S. 426. — 9. Die Neumannschen Funktionen S. 429.
§ 3. Die Kugelfunktionen von Legendre.433
1. Das Schläflische Integral S. 433. — 2. Die Integraldarstellungen von
Laplace
S.
435. —
3·
Die Legendreschen Funktionen zweiter Art S. 435-
— 4. Zugeordnete Kugelfunktionen (Legendresche Funktionen höherer
Ordnung)
S. 437-
§ 4. Anwendung der Methode der Integraltransformation auf die Legendreschen,
Tschebyscheffschen, Hermiteschen und Laguerreschen Differentialglei¬
chungen.437
1. Legendresche Funktionen S. 437. — 2. Die Tschebyscheffschen
Funktionen S. 439. — 3. Die Hermiteschen Funktionen S. 440. — 4. Die
Laguerreschen Funktionen S. 440.
§ 5. Die Kugelfunktionen von
Laplace
.441
1. Aufstellung von
2я + 1
Kugelfunktionen
»ter
Ordnung S. 442. —
2. Vollständigkeit des gewonnenen Funktionensystems S. 443. — 3· Der
Entwicklungssatz S. 443. — 4. Das Poissonsche Integral S. 444. —
5. Die Maxwell-Sylvestersche Darstellung der Kugelfunktionen S. 445·
S
6. Asymptotische Entwicklungen.451
1. Die Stirlingsche Formel S. 452. — 2. Asymptotische Berechnung der
Hankeischen und Besselschen Funktionen für große Argumente
S. 453-
— 3. Sattelpunktmethode S. 455. — 4. Anwendung der Sattelpunkt¬
methode zur Berechnung der Hankeischen und Besselschen Funktionen
bei großem Parameter und großem Argument S. 456. — 5· Allgemeine
Bemerkungen über die Sattelpunktmethode S. 460. — 6. Methode von
Darboüx S.46O. — 7. Anwendung der Darbouxschen Methode zur asymp¬
totischen Entwicklung der Legendreschen Polynome S. 461.
Anhang
Entnommen aus dem dem Band
II
von
Courant
— Hubert:
Methoden der mathematischen Physik
Seitenangaben der Überschriften, die sich einem § unterordnen
beziehen sich auf den erwähnten Band,
dessen Seitenzahlen der Leser dort am Fuß der Seite findet
Siebentes Kapitel.
Lösung der Rand- und Eigenwertprobleme auf Grund der
Variationsrechnung.
§
I.
Vorbereitungen.467
1. Das Dirichletsche Prinzip für den Kreis S. 473- — 2. Allgemeine
Problemstellungen S. 476. —
З.
Lineare Fanktionenräume mit quadrati¬
scher Metrik. Definitionen S. 478. — 4. Randbedingungen S. 482.
XVIII
Inhaltsverzeichnis.
§ 2. Die erste Randwertaufgabe.477
1. Problemstellung S. 483- — 2. Greensche Formel. Hauptungleichung
zwischen
Ώ
und H. Eindeutigkeit S. 484. — 3- Minimalfolgen und
Lösung des Randwertproblems S. 486.
§ 3. Das Eigenwertproblem bei verschwindenden Randwerten.482
1. Integralungleichungen S. 488. ·— 2. Das erste Eigenwertproblem
S. 490. — 3- Höhere Eigenwerte und
-funktionen.
Vollständigkeit
S. 492.
§ 4. Annahme der Randwerte bei zwei unabhängigen Veränderlichen . . . 489
§ 5. Konstruktion der Grenzfunktionen und Konvergenzeigenschaften der
Integrale E,D,H.491
1. Konstruktion der Grenzfunktionen S. 497. — 2. Konvergenz¬
eigenschaften der Integrale
D
und
H S.
504.
§ 6. Zweite und dritte Randbedingung. Randwertaufgabe.602
1. Greensche Formel und Randbedingungen S. 508. — 2. Formu¬
lierung des Randwertproblems und Variationsproblems S. 509. — 3. Ein¬
schränkung der Klasse zulässiger Gebiete S. 511. — 4. Äquivalenz
von Minimumproblem und Randwertproblem. Eindeutigkeit S. 512. —
5. Lösung des Variationsproblems und Randwertproblems S. 512.
§ 7. Das Eigenwertproblem bei zweiter und dritter Randwertbildung . . . 507
§ 8. Diskussion der bei der zweiten und dritten Randbedingung zugrunde
gelegten Gebiete. 509
1. Gebiete vom Typus
9Î
S. 515. — 2. Notwendigkeit von einschrän¬
kenden Bedingungen für das Gebiet S. 521.
§ 9. Ergänzungen und Aufgaben . '.517
1. Die Greensche Funktion von Au S. 523. — 2. Dipolsingularität
S. 525. — 3· Randverhalten bei
Δ
и =
0 und zwei unabhängigen Ver¬
änderlichen für die zweite Randbedingung S. 526. — 4. Stetige Ab¬
hängigkeit vom Gebiet S. 526. — 5. Übertragung der Theorie auf un¬
endlich ausgedehnte Gebiete
G S.
527. —
б.
Anwendung der Methode
auf Differentialgleichungen vierter Ordnung. Transversaldeformation
und Schwingungen von Platten S. 528. — 7. Erste Randwert- und
Eigenwertauf gabe der Elastizitätstheorie bei zwei Dimensionen S. 530. —
S. Andere Methode zur Konstruktion der Grenzfunktion S. 532.
§
1Θ.
Das Problem von Plateau.529
1. Problemstellung und Ansatz zur Lösung S. 535. — 2. Beweis der
Variationsrelationen S. 538. — 3· Existenz der Lösung des Variations¬
problems S. 541.
Ergänzende Literaturangaben.538
Sachverzeichnis.639
Sachverzeichnis zum Anhang. 545 |
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