Diskrete Mathematik: mit 500 Übungsaufgaben
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| Veröffentlicht: |
Braunschweig ; Wiesbaden
Vieweg
1993
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| Schriftenreihe: | Vieweg-Studium
68 : Aufbaukurs Mathematik |
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|---|---|
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Inhaltsverzeichnis
Teil
I:
Abzählung 1
1 Grundlagen 3
1.1 Elementare Zählprinzipien........................ 3
1.2 Die fundamentalen Zählkoeffizienten.................. 6
1.3 Permutationen.............................. 10
1.4 Rekursionen................................ 12
1.5 Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung................. 18
1.6 Existenzaussagen............................. 24
Übungen.................................. 27
2
Summation
34
2.1 Direkte Methoden ............................ 34
2.2 Differenzenrechnung........................... 39
2.3 Inversion.................................. 44
2.4 Inklusion-Exklusion............................ 48
Übungen.................................. 52
3 Erzeugende Funktionen 57
3.1 Definition und Beispiele......................... 57
3.2 Lösung von Rekursionen......................... 59
3.3 Erzeugende Funktionen vom Exponentialtyp.............. 66
Übungen.................................. 69
4 Asymptotische Analyse 74
4.1 Wachstum von Funktionen........................ 74
4.2 Größenordnung von Rekursionen.................... 78
4.3 Laufzeit von Algorithmen........................ 81
Übungen.................................. 83
Literatur zu Teil
I
87
Teil
II:
Graphen und Algorithmen 88
5 Graphen 89
5.1 Definition und Beispiele......................... 89
5.2 Darstellung von Graphen ........................ 93
5.3 Wege und Kreise............................. 96
5.4 Gerichtete Graphen............................ 99
Übungen.................................. 102
VIII
______________________________________________Inhaltsverzeichnis
6 Bäume 105
6.1 Begriff und Charakterisierung...................... 105
6.2 Breadth-First und
Depth-First
Suche................. 108
6.3 Minimale aufspannende Bäume..................... 110
6.4 Kürzeste Wege in Graphen ....................... 113
Übungen.................................. 115
7 Matchings und Netzwerke 120
7.1 Matchings in bipartiten Graphen.................... 120
7.2 Konstruktion von optimalen Matchings ................ 124
7.3 Flüsse in Netzwerken........................... 130
7.4 Eulersche Graphen, das
Traveling Salesman
Problem......... 136
7.5 Die Komplexitätsklassen
Ρ
und NP................... 144
Übungen.................................. 147
8 Suchen und Sortieren 152
8.1 Suchprobleme und Entscheidungsbäume................ 152
8.2 Der Hauptsatz der Suchtheorie..................... 155
8.3 Sortieren von Listen........................... 161
8.4 Binäre Suchbäume............................ 167
Übungen.................................. 173
9 Allgemeine Optimierungsmethoden 178
9.1 Backtrack................................. 178
9.2 Dynamisches Programmieren...................... 182
9.3 Der
Greedy
Algorithmus......................... 188
Übungen.................................. 191
Literatur zu Teil
II
195
Teil
III:
Algebraische Systeme 196
10 Boolesche Algebren 197
10.1 Definition und Eigenschaften...................... 197
10.2 Aussagenlogik und Boolesche Funktionen ............... 199
10.3 Logische Netze.............................. 203
10.4 Boolesche Verbände, Ordnungen, Hypergraphen............ 207
Übungen.................................. 212
11 Modulare Arithmetik 216
11.1 Rechnen mit Kongruenzen........................ 216
11.2 Endliche Körper ............................. 219
11.3 Lateinische Quadrate........................... 221
11.4 Kombinatorische Designs ........................ 225
Übungen.................................. 232
___________________________________________________________________
IX
12
Codes
und Kryptographie 236
12.1 Problemstellung.............................. 236
12.2 Quellencodierung............................. 237
12.3 Entdecken und Korrigieren von Fehlern ................ 239
12.4 Lineare Codes............................... 243
12.5 Kryptographie .............................. 247
Übungen.................................. 252
13 Lineare Optimierung 256
13.1 Beispiele und Definitionen........................ 256
13.2 Dualität.................................. 258
13.3 Der Hauptsatz der linearen Optimierung................ 263
13.4 Zulässige Lösungen und optimale Lösungen.............. 268
13.5 Der Simplexalgorithmus......................... 272
13.6 Ganzzahlige lineare Optimierung.................... 278
Übungen.................................. 281
Literatur zu Teil
III
285
Lösungen zu ausgewählten Übungen 286
Sachwortverzeichnis 311
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