Euklidische und nichteuklidische Geometrie:
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1993
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Inhaltsverzeichnis
1 Geometrie auf der Kugeloberfläche 1
1.1 Grundlagen der sphärischen Geometrie 2
1.1.1 Kugel, Sphäre, Kugelkoordinaten 2
1.1.2 Klein und Großkreise, diametrale Punktepaare, Ge¬
raden, Strecken und Abstände auf der Sphäre . 5
1.1.3 Winkel zwischen sphärischen Geraden; Bewegungen
und Kongruenz von Figuren auf der Sphäre 10
1.2 Sphärische Zwei und Dreiecke 13
1.2.1 Sphärische Zweiecke und ihr Flächeninhalt 13
1.2.2 Sphärische Dreiecke 15
1.2.3 Flächeninhalt, Winkelsumme und Seitensumme Eu
lerscher Dreiecke; Polardreiecke 18
1.3 Sphärische Trigonometrie 22
1.3.1 Das rechtwinklige sphärische Dreieck 22
1.3.2 Schiefwinklige Eulersche Dreiecke 27
1.3.3 Berechnungen an sphärischen Dreiecken 30
1.4 Mathematische Geographie 33
1.4.1 Berechnung der Orthodromen und der Kurswinkel . 33
1.4.2 Loxodrome 34
1.4.3 Bestimmung des Scheitelpunktes 35
1.4.4 Die Methode der Funkpeilung 36
1.5 Sphärische Astronomie 37
1.5.1 Grundlagen, astronomische Koordinatensysteme . . 37
1.5.2 Nautisches Dreieck, Ortsbestimmung 39
1.6 Geschichte der sphärischen Geometrie 42
1.7 Wege des Aufbaus der sphärischen Geometrie 45
1.7.1 Überblick über mögliche Varianten, sphärische Geo¬
metrie zu betreiben 45
1.7.2 Vektorielle Behandlung der sphärischen Geometrie . 46
VIII INHALTSVERZEICHNIS
2 Axiomatischer Aufbau der Geometrie 51
2.1 Einführung in die Axiomatik der Geometrie 51
2.1.1 Die Anfänge der Geometrie und die Herausbildung
der axiomatischen Arbeitsweise 51
2.1.2 Einige Probleme bei der euklidischen Axiomatik . . 55
2.1.3 Forderungen an ein Axiomensystem; geometrische
Axiomatik und Realität 58
2.1.4 Ein Axiomensystem der euklidischen Geometrie . 61
2.2 Inzidenzgeometrie 64
2.2.1 Folgerungen aus den Inzidenzaxiomen 65
2.2.2 Modelle der Inzidenzaxiome 67
2.3 Abstandsaxiome, Folgerungen und Modelle 73
2.3.1 Modelle der Inzidenz und Abstandsaxiome 73
2.3.2 Folgerungen aus den Axiomengruppen I und II;
Strecken und Halbgeraden 76
2.4 Anordnungsgeometrie 80
2.4.1 Folgerungen aus den Axiomengruppen I III . 80
2.4.2 Winkel 81
2.5 Bewegungen und Kongruenz 83
2.5.1 Bewegungen 83
2.5.2 Kongruenz geometrischer Figuren 89
2.5.3 Mittelpunkt, Winkelhalbierende, spezielle Winkel, Lot 92
2.5.4 Winkelgröße und Winkelmaß 97
2.5.5 Weitere Sätze der absoluten Geometrie 105
2.6 Euklidische Geometrie 110
2.6.1 Das Parallelenaxiom und einige Folgerungen 110
2.6.2 Die Strahlensätze 113
2.6.3 Ähnlichkeit geometrischer Figuren 117
2.6.4 Die Satzgruppe des Pythagoras 121
2.7 Andere Axiomensysteme 124
2.7.1 Varianten der Axiomengruppen I V 124
Inzidenzaxiome 124
Abstandsaxiome 126
Anordnungsaxiome 127
Bewegungsaxiome 127
Parallelenaxiom 129
2.7.2 Das Hilbertsche Axiomensystem und Varianten die¬
ses Axiomensystems 130
2.7.3 Algebraisch orientierte Axiomensysteme 134
2.7.4 Erweiterung zu einem Axiomensystem der Raumgeo¬
metrie 137
2.7.5 Ein Axiomensystem der sphärischen Geometrie . 139
INHALTSVERZEICHNIS IX
3 Lobatschewski Geometrie 143
3.1 Das Parallelenproblem 145
3.1.1 Das V. Postulat von Euklid 145
3.1.2 Beweisversuche für das euklidische Parallelenaxiom . 148
Parallelenaxiom und Innenwinkelsumme 149
Die Beweisversuche von Saccheri und Lambert . 156
Parallelenaxiom und Ähnlichkeit 158
Zusammenfassung 159
3.2 Grundzüge der Lobatschewski Geometrie 162
3.2.1 Entstehungsgeschichte, weltanschauliche Probleme . 162
3.2.2 Das Parallelenaxiom von Lobatschewski und erste
Folgerungen 166
3.2.3 Parallele und divergierende Geraden 169
3.3 Das Poincare Modell 174
3.3.1 Widerspruchsfreiheit und Modelle 174
3.3.2 Punkte und Geraden im Poincare Modell 176
3.3.3 Abstände von Punkten im Poincare Modell 178
3.3.4 Bewegungen im Poincare Modell 182
3.3.5 Winkelmaß, Parallele und divergierende Geraden im
Poincare Modell 191
3.3.6 Abstandslinien im Poincare Modell 193
3.3.7 Das Modell von Cayley und Klein 194
3.4 Die Lobatschewskische Funktion II 196
3.4.1 Sätze über parallele und divergierende Geraden . . . 196
3.4.2 Eigenschaften der Funktion II 197
3.4.3 Schlußfolgerungen aus den Eigenschaften der Funk¬
tion II 202
3.5 Hyperbolische Trigonometrie 204
3.5.1 Gleichungsdarstellung der Funktion II 204
Hyperbolische Funktionen 205
3.5.2 Beziehungen in rechtwinkligen Dreiecken 206
3.5.3 Beziehungen in schiefwinkligen Dreiecken 210
3.6 Geometrie auf Flächen konstanter Krümmung 213
3.6.1 Ebene und Sphäre als Flächen konstanter Krümmung 214
3.6.2 Der pseudoeuklidische Raum 218
3.6.3 Die Geometrie auf einer Sphäre mit imaginärem Ra¬
dius als Modell der Lobatschewski Geometrie . 222
3.7 Ausblick 226
3.7.1 Entwicklung der Geometrie nach der Herausbildung
nichteuklidischer Geometrien 226
3.7.2 Nichteuklidische Geometrien und unser realer Raum 230
X INHALTSVERZEICHNIS
A Lösungen der Aufgaben 233
A.l Lösungen der Aufgaben des 1. Kapitels 233
A.2 Lösungen der Aufgaben des 2. Kapitels 237
A.3 Lösungen der Aufgaben des 3. Kapitels 241
Literaturverzeichnis 247
Stichwortverzeichnis 251 |
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