Processus stochastiques et applications:
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| Published: |
Paris
Hermann
1988
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CHAPITRE I. GENERALITES SUR LES PROCESSUS 13
Connaissances préalables 13
Rappels sur les espérances conditionnelles 14
Le théorème de classe monotone 17
Construction de processus, processus canoniques 20
. Exercices de maniement 26
Exposé : Filtrage de Kalman à temps discret 29
Exposé : Un exemple d analyse numérique stochastique, l algorithme
d approximation de Robbins Monro 34
. Bibliographie 46
CHAPITRE II. CHAINES DE MARKOV 47
Eléments de la théorie des chaînes de Markov 47
Le caractère markovien chaînes dénombrables — classifi¬
cation des états classes irréductibles théorèmes limites
des chaînes récurrentes — chaînes à espace d état non
dénornbrable.
. Exercices de maniement 52
Etude de quelques chaînes particulières 70
Promenades aléatoires. 70
Exposé : L urne de Polya 72
Exposé : Chaînes de Galton Watson 74
. Exercices 79
. Bibliographie 86
CHAPITRE III. PROCESSUS DE SAUTS HARKOVIENS ET PROCESSUS POHCTDELS 87
— Processus de sauts markoviens 87
Processus de Harkov à temps continu processus de sauts
construction — comportement asymptotique.
— Exposé : Explosion de processus de sauts d intensité non bornée 101
— Exposé : Processus de branchement 103
. Exercices de maniement 105
— Processus de Poisson 107
Définition phénomènes sans vieillissement superposition
de processus de Poisson indépendants superposition d un
grand nombre de phénomènes sans vieillissement nombre
d instants de sauts dans un ensemble borélien.
. Exercices 117
— Application aux files d attente 122
Généralités la chaîne M/M/l étude de quelques autres
files.
. Exercices 132
— Processus ponctuels 134
. Le processus de Poisson comme processus ponctuel — mesure de
concentration (intensité) d un processus ponctuel cons¬
truction — Exemple — fonctionnelle génératrice de Laplace.
— Exposé : Modèles de trafic poissoniens 140
— Exposé : Texture des filtres en chromatographie et en granulométrie 144
. Bibliographie 148
CHAPITRE IV. PROCESSUS A ACCROISSEMENTS INDEPENDANTS 151
— Processus à accroissements indépendants, définition 152
PAIS et lois indéfiniment divisibles processus de sauts
à accroissements indépendants.
— Mouvement brownien 155
Mouvement d une particule dans un liquide — définition
propriétés des trajectoires.
— Processus de Lévy : subordinateurs 161
Mesure de Lévy.
. Exercices de maniement 166
. Exercices 167
Exposé : Théorie des réservoirsr des stocks et des assurances 170
. Bibliographie 180
CHAPITRE V. PROCESSUS DP SECOND ORDRE 181
— Processus du second ordre 181
Processus gaussiens réels et complexes — processus station—
naires.
Représentation spectrale des processus stationnaires 185
Intégrale de Wiener représentation spectrale dérivation
interprétation physique de la mesure spectrale bruit
blanc — cas multivarié.
. Exercices de maniement 202
. Exercices 206
— Transformations linéaires et processus stationnaires 211
Cas déterministe cas aléatoire — exemples — combinaisons
linéaires — moyennes mobiles — dérivations — équations
différentielles.
. Exercices de maniement 219
. Exercices 220
Exposé : Equations différentielles stochastiques linéaires à coef¬
ficients non constants 225
Prédiction et filtrage 233
Généralités — cas stationnaire.
— Exposé : Principe du filtrage de Wiener 237
— Propriétés ergodiques des processus stationnaires du second ordre 241
. Exercices 245
Processus du second ordre à temps discret, prévisions des séries
temporelles 248
. Bibliographie 259
CHAPITRE VI. INTRODBCTION AP CALCPL DE ITO 261
Intégrale stochastique de processus
Formule de Ito, processus de Ito, calcul différentiel de Ito, cas
multivariéf martingales exponentielles! propriété de
Cameron—Martin—Girsanov
Exposé : Application de la propriété de Cameron—Martin—Girsanov à la
détection d un signal 275
. Exercices 281
. Bibliographie 283
CHAPITRE VII. EQPATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES 285
Définitions et notations 286
Théorème de Ito 286
Propriétés de la solution unicité trajectorielle et unicité en loi,
dépendance par rapport à la donnée initiale 289
. Exemples 292
. Exercices 295
. Bibliographie 297
CHAPITRE VIII. PROCESSUS DE HARKOV ET DIFFUSIONS 299
Caractère markovien, semigroupe, exemples 299
Propriété de Markov forte 306
Exposé : Théorème de Kakutani (1944) 313
Générateur infinitésimal, exemples 315
Générateur infinitésimal d une diffusion, équations de Kolmogorov 320
Exposé : Processus d Ornstein Uhlenbeck 328
Exposé : Introduction aux modèles financiers : stratégies de
couverture des actifs conditionnels 332
. Problème et exercices 336
. Bibliographie 340
Remerciements 343
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