Geometrie auf Varietäten:
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Berlin
Dt. Verl. der Wiss.
1975
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| adam_text | Inhalt
1. Stellentheoretische Methoden in der kommutativen Algebra 13
1.1. Stellen und Bewertungen 13
1.1.1. Funktionentheoretisch-anschauliche Vorbetrachtung 13
1.1.2. Stellen und Bewertungsringe 15
1.1.3. Bewertungen und Bewertungsringe 18
1.1.4. Zuordnung zwischen Stellen und Bewertungen 20
1.1.5. Das Fortsetzungstheorem für Stellen 21
1.1.6. Stellenfortsetzung für algebraische Elemente 23
1.1.7. Ganze Elemente 25
1.1.8. Stellen einfacher Erweiterungskörper, Stellen algebraischer Erweiterungskörper 30
1.2. Lineare Disjunktheit, ip-Disjunktheit; Freiheit, p-Freiheit 32
1.2.1. Sätze über das Tensorprodukt 32
1.2.2. Lineare Disjunktheit 36
1.2.3. Separable, primäre und reguläre Erweiterungen 38
1.2.4. p-Disjunktheit 43
1.2.5. Freiheit und (^-Freiheit 48
2. Varietäten 54
2.1. Algebraische Mengen und Varietäten 54
2.1.1. Algebraische Mengen und assoziierte Ideale 54
2.1.2. Durchschnitt und Vereinigung algebraischer Mengen 56
2.1.3. Varietäten und Primideale 57
2.1.4. Primideale und allgemeine Nullstellen 59
2.1.5. Varietäten und allgemeine Punkte 61
2.1.6. Spezialisierungen 61
2.1.7. Zusammenfassung der Zuordnungen 62
2.1.8. Bemerkungen zur geschichtlichen Entwicklung 63
2.1.9. Algebraische Spezialisierungen 65
2.1.10. Beispiele; Parameterspezialisierung 67
2.1.11. Die Dimension 68
2.2. Algebraische Mengen auf einer festen Varietät 72
2.2.1. Der Koordinatenring 72
2.2.2. Nullstellen eines Ideals im Koordinatenring 73
10 Inhalt
2.2.3. Übertragung der Theorie 74
2.2.4. Lokalisierungen des Koordinatenringes 75
2.2.5. Der Hilbertsehe Nullstellensatz 77
2.3. Beziehungen zwischen Dimensionen 79
2.3.1. Übergang zum algebraischen Abschluß; Dimensionsinvarianz bei Nichtzerfall . 79
2.3.2. Das kartesische Produkt 81
2.3.3. Durchschnittbildung: Der Dimensionssatz 84
2.3.4. Dimensionsbetrachtungen auf einer festen Varietät 88
2.3.5. Reguläre Punkte, einfache Punkte 92
2.4. Zugeordnetes Polynom und Zerfall von Varietäten 98
2.4.1. Die methodische Bedeutung des zugeordneten Polynoms 98
2.4.2. Vorbereitende Sätze 99
2.4.3. Definition des zugeordneten Polynoms e(Y) und des zugeordneten Homo¬
morphismus £ 101
2.4.4. Eigenschaften des zugeordneten Polynoms 101
2.4.5. Absolute Varietäten 106
2.4.6. Unzerlegbarkeit und lineare Disjunktheit 108
2.5. Topologische Aspekte 110
2.5.1. Grundbegriffe der -Topologie 110
2.5.2. fc-Abschließung und Spezialisierung 114
2.5.3. Topologische Fassung des Hilbertschen Nullstellensatzes 116
2.5.4. Verschärfung zu Aussagen über separabel algebraische Punkte 117
2.5.5. Die Zariski-Topologie 119
2.5.6. Zur Einführung des Garbenbegriffs 122
3. Spezialisierungen über Körpern 130
3.1. Spezialisierungsfortsetzung bei Erweiterung des Grundkörpers 130
3.1.1. Übersicht über die Fragestellungen 130
3.1.2. Körpererweiterung und y-Disjunktheit 131
3.1.3. Simultane Spezialisierungsfortsetzungen und primäre Körpererweiterung .... 132
3.1.4. Die erste Spezialisierungsklasse 136
3.1.5. Die zweite Spezialisierungsklasse 137
3.2. Zusammensetzung von Spezialisierungen 138
3.2.1. Zusammensetzung und Disjunktheitseigenschaften 138
3.2.2. Zusammensetzung in Spezialisierungsklassen 141
3.3. Unendliche und unendlich viele Koordinaten 142
3.3.1. Punkte mit Koordinaten oo 142
3.3.2. „Punkte mit unendlich vielen Koordinaten 144
3.4. Fortsetzung von Spezialisierungen 145
3.4.1. Der Fortsetzungssatz 145
3.4.2. Varietäten und Spezialisierungen im projektiven Baum 146
4. Spezialisierungen über lokalen Ringen 149
4.1. Motivierung und Vorbetrachtungen 149
4.1.1. Noethersche Ringe 151
4.1.2. Oberringe von noetherschen Ringen 154
Inhalt 11
4.1.3. Komplette lokale und semilokale noethersehe Ringe 157
4.1.4. Zur Komplettierung lokaler Ringe 162
4.2. Spezialisierungen und Multiplizitäten 165
4.2.1. Definition und einfache Eigenschaften von Spezialisierungen über lokalen Ringen 165
4.2.2. Spezialisierungsringe 167
4.2.3. Eigentliche Spezialisierungen 168
4.2.4. Zum Verhalten von Spezialisierungen bei Erweiterung des Bezugsbereiches . . . 171
4.2.5. Zum Multiplizitätsbegriff 173
4.3. Spezialisierungen von algebraischen Mengen und Zyklen 179
4.3.1. Spezialisierung einer ^-algebraischen Menge 179
4.3.2. Spezialisierungen von rationalen Zyklen 183
4.3.3. Spezialisierungen von Zyklen auf Varietäten 187
4.3.4. Quotientenstrukturen von abstrakten Varietäten 192
Literatur 201
Namen- und Sachverzeichnis 204
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